Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В случае .0 = А, как следует из (22), итерационные параметры' рассчитываются по формулам: (ш«,г«) т«,1 —— й = 0,1,..., (Ав»,в») ' 180 1)»ава 4. Стационарные задачи теплопроводности где 1 (1/т 1 + (1/2' 4.6.7. Задачи Задача 1. Покажите, что норма оператора Я(ы) = (Е+ыА) ~(Š— ыА) (24) при А=А, бЕ<А<б»Е, б>0 минимальна при и = ые = (бЬ) ' и равна (25) НЯ(ыо)П Е ' 6 д (26) Решение.
Будем рассматривать оператор Я как оператор перехода, т. е. х»ь~ —— Ях». Оператор (24) соответствует канонической форме В + Ая» = О, В = .Е+ ыА, т = 2ы. я»н — х» т С учетом (25) получим (с» ' +ы)А < В < (б ' + ы)А, Поэтому для постоянных энергетической эквивалентности (см.
(9)) получим 7! = б(1+ ыб) 7» = с»(1+ ыс») (27) Оптимальное значение (теорема 1) т = то = 2/(7~ + 7») лает < б /5 Отсюда и следует искомое выражение (25) для ы. Минимальная норма определяется выражением ш!п~!Я!1 = ре = —, 1 — 6 7) и 1+1 7» Подстановка (25), (27) приводит к (26). ь Расчет итерационных параметров трехслойного итерационного метода (19) в соответствии с (23) определяет метод сопряженных градиентов, который наиболее широко используется в вычислительной практике. Теорема б. Метод сопряженных градиентов (19), (23) при выполнении (8), (9) сходится в Нл и для числа итераций и, необходимых для достизкения точности е, справедлива оценка 1п2е ' и > по(г) =— 1" Рь 181 4.7. Нтераиионные методы решения сеточных уравнений ! Задача 2. Получите расчетные формулы (17) для двухслойного итераиионногометода. Решение. При исследовании погрешности а Нр положим гь = еь для еь получим уравнение ел+! = Яеы Я= — тС, я=0,1,..., где С = РчзВ 'АР !!з, а Я вЂ” оператор перехода от одной итерации к другой.
Естественно выбирать итерационный параметр та+! из условия минимума нормы погрешности гьч! в Но (е„е! в Н). Имеем Цеь„!Ц~ = ((Н вЂ” тьч!С)еь, (Я вЂ” т„+!С)еь) = = ЦеьЦ вЂ” 2тле!(Сеы еь) + та+!(Сеы Сеь) = з е) ° з = (Сеы Сел) ть+! — ' ~ + ЦеьЦ (Сеы Сел),! (Сеы Сеь) Отсюда следует, что минимум нормы достигается при выборе (Сею еь) (Сем Сел) Принимая во внимание определение С и обозначая невязку те=Аул-у и поправку мь — — В 'гю из (28) получим расчетную формулу для итерационных параметров в искомом виде (17).
ь 4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 4.7.1. Разностная задача стационарной теплопроводности В качестве модельной рассматривается задача стационарной теплопроводности с условиями первого рода в прямоугольнике. Разностная задача на прямоугольной равномерной сетке (см. п.4.2) имеет вид; (1) (2) Лу= р(х), хбы, у(х) = р(х), х б ды, где з лд=~ лу, Лчу = (аа3Ь' )ч ° а=1 Исследование сходимости итерационных процессов проводится в прооянстве сеточных фчнкпий Н, заданных на й и равных нулю на ды.
182 132вва 4. Стационарные задачи теллол72оводиости (4) Ау = 7, обозначим 2 Ау=Лу=~ Лчу, убВ. (5) а=! В приведенной записи уже у(х) = О, х б д!и, т. е. в граничных узлах эта сеточная функция не совпадает с разностным решением. Неоднородность граничного условия учитывается дополнительной неоднородностью правой части разностного уравнения (1). Правая часть уравнения (4) отлична от правой части разностного уравнения (1) лишь в приграничных узлах. Нетрудно убедиться, что У = <р + у2!Ь, 2+ ~р2Ь ', где а!(Ь! х2)у(0 х2) 2у!(х) = О, а,(1!, Х2)у(1п Х2), а2(х!, Ь2)у(Х„О), срз(х) = О, аг(х!, 12)у(х!,12), х! = Ь!, 2Ь! < х! < 1! — 2Ь!, х! — — 1! — Ь„ Х2 = Ь2, 2Ь2 < Х2 < 12 — 2Ь2, Х2 = 12 — Ь2. Аналогичная процедура применяется и для разностных задач с другими типами неоднородных граничных условий.
Свойства разностного оператора А исследованы в п.4.4. В частности, показана самосопряженность и положительность оператора А. Кроме того, при 0 < и, < а,(х) < к2, х б ы оператор А энергетически эквивалентен сеточному оператору Лапласа, т. е. выполняется двухстороннее операторное неравенство к,А<А<к2А. (6) 4.7.2.
Двухслойный итерационный метод Для приближенного решения сеточной задачи (1)-(3), записанной в виде уравнения (4), будем использовать итерационный метод В +Аул= г, Ь=0,1,... (7) тьч.! при заданном начальном приближении уе. Проблема выбора итерацион- ных параметров рассматривалась выше. Теперь обсудим вопросы выбора оператора В в итерационном методе (7). Для этого в разностной задаче (1)-(3) исключаются с учетом (2) граничные узлы. Скалярное произведение в В определяется обычным образом: (у, е) = (у, е)и = (у, е),.
Для того, чтобы писать разносгную задачу (1)-(3) в виде операторного уравнения первого рода 18З 4.7. 1гтврациоииые методы 1гетения сеточных уравнений Скорость сходимости при А = А' > О, В = В' > 0 определяется константами энергетической эквивалентности 7~ и уг. (8) 71В(А(7гВ, 7~ >О, точнее, величиной С = 7~/7г. Поэтому выбор оператора В должен быть, с одной стороны, таким, чтобы он был легко обратим, и с другой стороны, таким, чтобы величина с была максимальной.
Различные классы легко обратимых операторов обсуждаются ниже. Среди них можно выделить простейший класс операторов умножения на выбранную сеточную функцию, которым соответствует диагональная матрица. Просто обрашаются треугольные сеточные операторы, которые соответствуют нижней или верхней треугольной матрице. Естественно, что то же относится и к произведению таких операторов (факторизованный оператор В). Метод переменных направлений также строится на основе использования факторизованного оператора.
Важное значение при построении итерационных методов имеет оринцио регуляризации итерационных методов. При выборе В будем исходить из некоторого оператора В = В' > 0 (регуляризатора), который энергетически эквивалентен оператору А: (9) с|В ( А ( сгВ, с| > О. Пусть теперь оператор В строится на основе регуляризатора В, т.е. на основе выполнения оценки 7,В < В < 7гВ, 7, > О. (10) Из (9), (10) следует необходимое неравенство (8) с 7~ = с17ы 7г = сг7г причем (11) 7г Регуляризатор В выбирается так, чтобы отношение с~/сг не зависело от шагов сетки и имело более простую структуру. В случае нашей задачи (1)-(3) в качестве регуляризатора естественно выбрать оператор Лапласа у, причем в силу (6) с = и, а = 1, 2, т. е, постоянные выбираются непосредственно по заданному коэффициенту теплопроводности.
В силу этого отношение с, /сг не зависит от параметров сетки. При отмеченном выборе регуляризатора В имеются две возможности. Первая из них связана с тем, что отношение к1/цг в задаче стационарной теплопроводности не очень мало. Вторая возможность обусловлена тем, что это отношение слишком мало и зависимость числа итераций от этого отношения не может устроить. В этом случае требуется исследование скорости сходимости итерационных процессов, которые строятся непосредственно по оператору А без введения регуляризатора В.
йсава 4. Стоииоиарные задачи теллолроводиоети 184 4.7.3. Диагональный оператор В Простейший класс итерационных методов связан с выбором диагонального оператора В. В этом случае В = Ь(х)Е, (12) у!.с!д — 2уг+ у; 24 у),г.с! — 2уг+ угд -4у —— ),г 2 положим в (12) Ь(х) = 2(й! + Ьг ) (13) Для получения оценки (10) (при В = А) при выборе (12), (13) можно использовать минимальное (б) и максимальное (22) собственные значения оператора Лапласа: бЕ ~ (А ( ссЕ. (14) Собственные значения задачи Ау = Лу складываются из собственных значений соответствующих сеточных операторов по переменной х! и хг и представляются в виде (см, задачу 2 из п.
4.5): Л =Л +Л =~ — згп —. 1!) 12) ч-~ 4 . гкал)га с ч Отсюда для минимального и максимального собственных значений по- лучим: 4, гх)г, ч 8 2 б,= у — з)п — > 2 ~ )гг 21, ~ 12' 2 ° а ! ч 4 2 я)2„4 а=! (15) и расчет нового итерационного приближения проводится по явным формулам. К этому классу методов принадлежит и итераииоииыб метод Якоби, который соответствует выбору в качестве В диагональной части оператора А и тс = т = 1. Задача построения оптимального выбора В в классе операторов (12) решена. Отношение С = 7)/уг в двухстороннем операторном неравенстве (8) для А = А" > 0 будем максимальным, если в качестве В выбрать диагональную часть оператора А.
И в этом смысле метод Якоби является оптимальным. исследование скорости сходимости итерационного метода (7), (12) проведем на основе использования регуляризатора В, в качестве которого выберем сеточный оператор Лапласа у. Принимая во внимание то, что 185 4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений Из (14), (15) при выполнении (12), (13) получим оценку (10) с — — = — = О(!Уг| ), у, б (16) 7г где !Уг(~ = Уг1, + Угг. На основании (16) и (1!) получим соответствующие оценки для числа итераций итерационного метода (7), (12), (13).
В соответствии с п.4.6 для числа итераций метода простой итерации с оптимальным значением т = тс —— 2/(7~ + Уг) и метода скоРейшего спуска при выборе В согласно (12), (13) справедлива оценка аунг 1 1Ч пе(е) = О( — —,1и -) . , ~д!г )' Тем самым число итераций пропорционально общему числу узлов (неизвестных) и отношению максимального значения коэффициента теплопроводности к минимальному. Для чебышевского итерационного метода и метода сопряженных градиентов вместо (17) имеем (см.
теоремы 2 и 5 в и. 4.6) следующую оценку: пе(е) = Π— — 1и— (18) По сравнению с методом простой итерации метод с чебышевским набором итерационных параметров сходится значительно быстрее. В случае, когда отношение уг = кг/к1 (задачи стационарной теплопроводности в составных телах с разномасштабными теплофизическими параметрами), зависимость числа итераций в (18) от т может оказаться неприемлемой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
