Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 37
Текст из файла (страница 37)
16 4) Тем самым лля 7~ имеет место ш = шо — — 2(6Ь) (44) и он равен 20цг с = с(шо) = пг' (45) 71 = б 1+ шб+ шгбЬ/4 (42) Для получения постоянной 7г представим оператор В на основании (41) в следующем виде В = 27 — ш(А~ +Аг)+ш А 27 'Аз+ 2ш(Аг+Аг) = = (27 — шА1)Хг '(З вЂ” шА,) + 2шА. Так как оператор 27 положителен, получаем (Ву,у) > 2ш(Ау, у), т.е. А < у,В„где 1 7г = —. (43) 2ш Сейчас мы можем выбрать параметр ш в (40) исходя из условия максимума б = б(ш) = у1/ уг.
С учетом (42), (43) получим у1 2ш6 7г 1+ шб+ шгб/5/4 Максимум б(ш) достигается при !!~ива 4. Стационарные задачи теплопроводности 192 !п(2е ') б на(е) =, 1! =— 2Л00 ' Л (46) Существенным моментом для попеременно-треугольного метода является задание априорной информации в виде операторных неравенств (33). Попеременно-треугольный метод может реализовываться и в варианте метода сопряженных градиентов.
И в этом случае число итераций характеризуется оценкой (46). Класс попеременно-треугольных итерационных методов определяется выбором оператора В в виде (40) и конкретизируется заданием оператора й. Отметим некоторые возможности в этом направлении. Снова рассмотрим задачу (4) с А = А. Стандартный вариант попеременно-треупиьного итерационного метода связан с выбором Р = Е. (47) При этом постоянная б в первом неравенстве (33) есть минимальное собственное значение оператора А: 4, зяп1 4 гх!гз б = — ьйп — + — з!и Ь', 21, й', 21, ' (48) Операторы А„а = 1, 2 определены согласно (Зб).
На основе полученной выше оценки (37) заключаем 4 4 сх = — + —. 12 12' (49) 1 2 С учетом (48), (49) определяется оптимальное значение параметра ы в (40), при котором для чебышеаского итерационного метода верна оценка числа итераций ич(е) = О ( —, 1и — ) . (50) На основании полученных оценок можно сформулировать соответствующий вывод о сходимости попеременно-треугольного итерационного метода при оптимальном выборе параметра ы. Теорема 2. Попеременно-треугольный итерационный метод (7), (29), (33), (40), (44) с чебышевским набором итерационных параметров сходится в Нл и Нл, причем для числа итераций справедлива оценка и ) ио(е) = 1п (2е ')/ !и (р, '), где (цн Р 1 бчз' а б определяется согласно (45).
Учитывая малость и, для числа итераций можно получить более простое выражение 4.7. ехтероционные методы решения сеточных уравнений 193 ххах, +1 (а,и;),,=- —, кбы, и (а)=0, а Аналогично с = шах ао (х), где ах во, 1и„. ! (ваш- )~, = — — ', к Е ш, к,=0,1 . а При таком выборе оператора хх имеют место неравенства б= 1, их = 4шах(шах(с~(к2)+Ь| (к2)), шах(сз(кю)+Ь2 (кю)) ~ ххеы~ хна, к, =0,1а 2о (к)=0, Таким образом, число итераций пропорционально корню квадратному от числа узлов по одному направлению (в нашей двумерной задаче— корню четвертой степени от общего числа узлов). Оценка (50) значительно предпочтительнее оценок, полученных ранее для других итерационных методов.
При решении задачи (1)-(3) с переменными коэффициентами попеременно-треугольный итерационный метод может строиться на основе регуляризатора Л, в качестве которого можно взять сеточный оператор Лапласа. В этом случае вместо оценки (50) будем иметь яо(е) О 2 1п (51) Для таких задач построен попеременно-треугольный метод с выбором дИаГОНаЛЬНОГО ОПЕратОра тх. ПОдсбНО раССМОтрЕННЫМ раНЕЕ ИтЕрацнОН- ным методам с диагональным оператором В, удается а ряде случаев ослабить зависимость числа итераций от отношения к~ /кз.
При разложении оператора А, соответствующего задаче (1) — (3), аналогично (Зб) имеем 2 хх= х;( — "а.х — ""х). (52) Ьа " 2йа Здесь использованы следующие обозначения: а+,'(к) = а~(к~ + Ьпаз), а2~'(х) = и2(кы х2 + Ь2). Оператор 22 задается в виде Хзр = д(х)Л, где Ц а У Сеточные функции Ь, с, а = 1, 2 определяются из решения трехточечных краевых задач. Для нахождения Ь, = шах и'(к) решается задача 194 Рева 4.
Стационарные задачи теллолроводности Зависимость числа итераций от числа узлов и отношения к1)кз анализируется на основе исследования решений приведенных одномерных сеточных задач. Параметр ы в попеременно-треугольном методе (7), (40) можно включить в оператор Р и использовать (7) с В = (Р+ А1)Э '(2з+ Аз).
Оптимизация итерационного метода достигается только за счет выбора оператора Р. Заслуживает внимание попеременно-треугольный итерационный метод в форме В = (Р+ ь)2З '(77+с"'). (53) Если в качестве Р взять ВР, где й — постоянная, а Р— диагональная часть А, то выбор (53), как и в случае треугольных итерационных методов, эквивалентен ранее рассмотренному выбору. Конечно, если 27 ~ ВР, то эквивалентности между этими вариантами попеременно-треугольного итерационного метода уже нет. Вариант попеременно-треугольного метода (7), (53) известен как метод лриблилгенной факторизации. Приведем возможный выбор оператора Р в (53).
Подчиним выбор диагонального оператора Р условию равенства строчных сумм: Ве= Ае, (54) где е — единичный вектор (е = (1, 1,..., 1)). Условие (54) позволяет конструктивно определять 27 без привлечения какой-либо априорной информации о границах оператора А. Рассмотрим вопросы построения оператора В в условиях (53), (54) применительно к модельной задаче (1)-(3). В частности, необходимо показать, что 27 > О и поэтому В = В' > О. Запишем задачу (1)-(3) в виде — абу;,4 — Ь; р,й ~+гЛу, — а;~цр;„1З вЂ” Ь;„~~рцы — -Д~, (55) з = 1, 2, ..., Лг~ — 1, 7' = 1, 2,, Фг — 1. В записи (55) соответствуюшие коэффициенты обрашаются в нуль, если у(х),х б ды.
В противном случае они определяются следуюшим образом: а; = Л, за~(х), Ь; = Л~ ~аз(х), Для диагональной части из (1) — (3) имеем 4д' = Л~ (а~(х1+ Лп хз) + а~(х)) + Лз (аз(хи хз+Лз) + аз(х)) ° Для задачи (55) выполнено условие диагонального преобладания гу = 4Π— (об +аг,1З+ Ь, +Ь;З~~) > О, гц р1 О. (56) Строгое неравенство имеет место для приграничных узлов (4 = 1, ЛГ~ — 1, 7 = 1, Лгз — 1). 195 4,7.
Итерационные методы решения сеточных уравнений Получим расчетную формулу для элементов дг сеточного оператора 77 на основании условия «близости» (54) операторов А и В. Имеем ((77+ ь )у)г = д! уц — а;«!Ау;+!д — Ь, «!у!4«!, (ау)ц — — -ацу!-!о — Ьцу,,з-!, и поэтому (Ву)ц = ((В+С77 ')(Э+а')у),. = =дцдц — а; У;, — Ь! У;., — а!«! У; !„— Ь«д«!У!4«!+ 2 -! 2 -! †! + а! д ! .уц + Ьцд! !уц + ацй; ! «!9! !Оу! ! «! + -! +Ь; аи»! . !9,4 !у!+!д ! = — 7 = (Ау)ц + (дц — Ац + а!,д;,„+ Ьцд;,,) уц + -! + ацЬ! ! !«!д! ! 1у! иу«!+ Ьцаоы1 !9«д !уь»!д Равенство строчных сумм (54) с учетом этого равенства дает: 2 -! 2 -! дц — д! +ацд, !4+Ь! д; !+ацЬ; !аи!9! ! +Ь; а!«!д !9«„, = О. Из этого равенства следует следующая рекуррентная формула для нахо- ждения элементов сеточного оператора 77: дц = Ац — ац(ац+ Ь !„,.!)д; ',„— Ьц(Ь;+а„.!д !)9, „(57) причем вычисления начинаются с расчета д!!. Покажем, что при выполнении условия диагонального преобладания (56) следует положительность дц, определяемых по (57).
Пусть — ! Р! = (а»»!4 + Ьд«!)дгд, (58) тогда (57) можно записать в виде д; = Ац — ацр! г1 — Ьцргд !. Это равенство преобразуется следующим образом: дц — а»»! — Ь;„, =(1-рц)дц=гц+ац(1 — р! !4)+Ь! (1-рг; !). (59) Соотношение (59) с учетом (5б) позволяет по индукции доказать выполнение условий дц > О, рц ( 1, т.
е, В = В' > О. Для исследования скорости сходимости попеременно-треугольного метода (7), (53), (54) приведем оценки постоянных энергетической эквивалентности в неравенстве (8). На основе (57) имеем представление: (бб) В=А — С, где С вЂ” сеточный оператор, определяемый выражением (Су)ц = ацЬ; !д+!9«,;(у; — у; !4«!)+Ь«уа«+!д-!д,;-!(уц — у!+!д-!).
196 Пгава 4. Снгоционарные задачи н2еллонроводносн2и Непосредственные выкладки дают — ! 2 (Су, у) = ~~~ ~+гдЬ|,„д,2 (у;„„— у;,+,) Ь,Ь2. (61) Поэтому С > 0 и 71 — — 1 в (8). Более проблематична оценка для 72. Среди существующих возможностей отметим случай, когда имеет место (62) р12(1-~, (>б, вбю. Из (61) имеем (Су,у) = 2 д; ((и. ЬУЬгдч.,) (у;еьу — у; )+ 1/2 цз 2 + (иьыдЬ24+!) (Уьу У|,2+1)) Ь!Ь2 (63) Применяя е — неравенство (а+Ь) < (1+с)а +(1+е ')Ь при выборе е = аг+2о/Ь;д~, к правой части (63), получим (Су, у) = „у у, '((а;ч,д+ Ьгд+2)а2егд(умь — у24) + чьи 2 + (и,,к2+ Ь,,„)ь,д„(у,.д — УЬзл) ) Ь,Ь,.
Так как прн диагональном преобладании 2 2 (Ау,у) > ~) (а2ыд(угыд — уьу) +ЬЬ2ч~(уд — у;„+,) )Ь,Ь2, пе(е) = О (Ц'1и — 1, ез где г, — постоянная в (62). Для широкого класса сеточных эллиптических задач имеет место оценка г, = О(1ч1+ 21Г2) и тем самым попеременно-треугольный метод в варианте метода приближенной факторизации сходится с числом итераций, пропорциональным корню квадратному от числа узлов по одному направлению. то прн выполнении (62) приходим к оценке (Су,у) < (1 — ь)(АУ,У).
Тем самым 72 = ~ ' в неравенстве (8). Таким образом, прн выполнении (62) итерационный метод (7), (53), (54) с чебышевским набором итерационных параметров сходится, а для числа итераций справедлива оценка 197 4.7. Итерационные методы решения сеточных уравнений 4.7.6. Задачи Задача 1. Пусть р(х) > О, р(х) х 0 и а(х) > к > 0 но равномерной сетке ш. Покажите, что для любой сеточной функции у(х), такой, что у(0) = О, у(1) = О, имеет место оценка (ау;, 1)ч+ > М(ру, у)„ (64) где М ' = тахе(х), а е(х) — решение задачи (аее), = -р(х), х Е ш, о(0) = О, е(1) = О. (65) Решение. На множестве сеточных функций, обращаюшнхся в нуль на концах отрезка (0,1], определим сеточный оператор А = А' > 0 соотношением Ау = — (аув)„х Е ьр.
Рассмотрим задачу на собственные значения Ау = Лр(х)у, Для задачи (66) при всех у(х) имеет место (66) (Ау,у) < Л„„„(ру,у), (67) Это неравенство противоречит тому, что минимум отношения достигается при выборе ш(х). (ру', 1) Рассмотрим теперь равенство Аш = Лш„р(х)в. Отсюда в силу ш(х) > О, х Е ш имеем (Ав, 1) (р 1) Принимая во внимание (66), для знаменателя получим (68) (ргв, 1) = (Ае, те) = (е, Аш) < тах е(х)(Ачв, 1), так как и Ат > О, х б ш.
Тем самым, нз (68) следУет Лев„> М, что где (ч ) = (з ) . Равенство достигается на собственных функциях, соответствуюших минимальному собственному значению Л и, которую будем обозначать ю(х) . Так как (Ау, у) = (ауз, 1)+, то в силу (67) искомая оценка (64) будет установлена, если мы покажем, что М < Лмм. Прежде всего поясним, что ю(х) > О, х Е ш (более точно, зв(х)— знакопостоянна). Предположим, что зто не так и чв(х) меняет знак на сетке ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
