Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Теорема доказана. В настоящее время имеются обобшения альтернируюшего метода Шварца в различных направлениях. Заслуживает упоминания, в частности, асинхронный вариант. Классический (синхронный) вариант метода Шварца, рассмотренный выше, соответствует решению задачи сначала в одной подобласти (в нашем случае — в й~), уточнению граничного условия (на у~) и переходу к решению задачи в другой подобласти (в Йз). Такая жесткая (синхронная) последовательность вычислений может препятствовать эффективному использованию альтернируюшего метода Шварца на параллельных ЭВМ.
Асинхронный вариант свободен от такого недостатка и основан на использовании вместо (43) итерационной процедуры и,~'(х) — и,(а) + и,(а) — и,(*) = О, а 6 йн (62) т т.е. граничное условие на 71 уточняется по решению задачи в области йз на й-ой итерации. По сравнению с классическим вариантом метода Шварца (задача 2) скорость сходнмости асинхронного варианта значительно ниже (при д~ —— дз в два раза). При исследовании сеточных аналогов альтернируюшего метода Шварца, подобно рассмотренным, может использоваться принцип максимума для сеточных задач (см.
и. 4.3). Достаточное условие сходимости (!Б(т)(( < 1 приводит к следующим ограничениям на итерационный параметр т (О < т < 2г'(! + дпдз)), которые фигурируют в формулировке теоремы. Из (61) непосредственно вытекает, что поп !!Б(т))! достигается при г т = то — — 1. При таком значении итерационного параметра из (60) получаем 215 4.8. Численное решение задач в нерегулярных областях 4.8.8. Задачи Задача 1. Для уравнения (10) рассмотрите аппроксимацию граничного условия третьего рода ди — + о(х)и = д(х), х Е дй (63) ди на согласованной сетке.
Решение. Рассмотрим узел О, лежащий на границе (рис.4.5). Перепишем (63) в виде ди ди соз(и, х,) — + соо (и, хз) — + о(х)в = д(х), дх1 дхз (64) где сов (и, х ), а = 1,2 — направляющие косинусы внешней нормали. Простейн«ая аппроксимация (64) дает соз (и, х«) —, + соз (и, хз), + о(х)у = д(х). (65) У~ — Уо Уо — Уг "1 2 Ь2ди «2 «2 ор(х) = сов(и, х~) — — — соя(и, хо) — — + 0((Ь1) +(Ьз) ). 2 дхз 2 дхз Если имеет место следующее соотношение между шагами Ь; Ь," соз (и, х~) — ' = — соз (и, хз) —, (67) то с учетом (10) дпя аппроксимации соз (и, х|) —, + сов (и, хз) —, + сов (и, х1) — у(х) + в(х)У = д(х) У1 Уо Уо — Уз 1ь~~ 1 2 погрешность имеет вид ор(х) = 0((Ь;)о+ (Ьз)з).
Конечно, само постро- ение согласованной сетки, а тем более с условием (67) на шаги, удается провести только в некоторых частных случаях. Дпя погрешности аппроксимации имеем / ди Ь' д~и'~ / ди Ь',д и1 ор(х) — соз (и, х1) — + — — + соо (и, хз) — + — — + 1,дх~ 2 дх~) 1,дхз 2 дхг) + о(х)и — д(х) + 0((Ь~)'+ (Ьз) ). (66) Тем самым (65) аппроксимирует с первым порядком граничное условие (64).
Повышения порядка аппроксимации на решениях уравнения (!0) в некоторых случаях можно достичь за счет специального выбора шагов Ь"„, а = 1, 2 согласованной сетки. Запишем (66) в виде 216 Пгава 4. Стационарные задачи тенлонроводности Задача 2. Исследуйте скорость сходимости асинхронного варианта альтернирующего метода Шварца, когда граничное условие уточняетсл согласно (62). Решение. Сходимость асинхронного метода Шварца (40)-(42), (44), (45), (62) рассмотрим на прямой сумме пространств Н = Н~ Ю Нз, где Н, = С(оа), о = 1, 2. Длл злемента 11 = (ен ег) Е Н ноРмУ опРеДелим выРажением (!Ц! = !!е1!!с1тд + !!ез!!сгтд.
ДлЯ пагРешности И' = (гон вз) итерационный процесс (40)-(42), (44), (45), (62) записывается в виде И и+' — И'" +АИ' =О. (68) т С учетом введенных ранее обозначений для оператора А теперь имеем х=~ ]= ° — Р. (69) С учетом (69) перепишем (68) в виде И'"+' = (1 — т)ИГ~ + тРИ'". (70) Учитывая полученные выше оценки для Я„о = 1, 2, из (69), (70) получим !(1т' ~'!! < (! — т( (!Иг"!!+ тдДеДсйн1+ тдйиДсгт! < < (1 — т! !!И'" )! + т шах 9„!(И'"((.
а Следовательно, итерационный процесс (40) — (42), (44), (45), (62) сходитсЯ пРи 0 < т < 2/(1+ д), где д = шахйа со скоРостью геомеа трической прогрессии к решению задач (10), (11). При оптимальном значении ите~!ационного параметра т = ть = 1 выполняется оценка М!с17,1+ !1к21!с!70 < !м9~. Сравнивая зту оценку с оценкой (49), заключаем, что асийхронный вариант метода Шварца сходится значительно медленнее, чем синхронный. Число итераций увеличивается не менее, чем в два раза.
4.9. Нелинейные задачи стационарной теплопроводности 4.9.1. Краевая задача для квааилинейиого уравнения Обсудим некоторые вопросы, которые возникают при численном решении нелинейных задач теплопроводности. В качестве модельной рассмотрим задачу стационарной теплопроводности в прямоугольной области Й в случае, когда теплофизические характеристики среды зависят 217 4.9. ГГелинейные задачи стационарной тенлолроеодности от температуры. Температура определяется как решение следующей задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка: д Г ди1 — ~~> — (Й(х,и) — ) = Г(х,и), , о*.
(, ' ох.) и(х) = д(х), хбй, (1) х Е дй. (2) Как обычно, предполагаем выполненными условия к, < й(х, и) < кз, к1 > О. — — (й(х,ио) — ) = Г(х,ао), х Е П, д Г дал'1 (4) , ох,(~ ' ох,) ад(х) = у(х), х Е дй. Пусть а~(х) = 1из(х) + (! — 1)и~(х), зо(х) = аз(х) — и,(х), тогда Г дР .е (х, из) — е'(х, и~) = зо(х) / — (х, и~) Й. ,/ да о С учетом введенных обозначений для разности решений из (4), (5) получим 1 д Г дзо Г дй ди~ — (й(х, из) — + / — (х, а~) г11 — зо Ох.(, * Ох.
/ О ' дх„Г а=! о = / — (х,иДагзо, Г дГ /о хай, (6) о х Е дй. зо(х) = О, Таким образом, проблема единственности решения нелинейной задачи (1), (2) свелась к исследованию единственности решения однородной краевой задачи Днрихле для линейного уравнения (б). Простейшая ситуация имеет место, когда коэффициент теплопроводности не зависит от температуры (й = й(х)).
Тогда прн дà — (х,а) < О Сначала установим достаточные условия, прн которых решение задачи (1), (2) единственно. Исследование единственности решения нелинейных задач базируется на рассмотрении ссютветствующих линейных задач. Это общее положение проиллюстрнруем на примере задачи (1), (2). Будем считать, что есть два решения и,з(х), О = 1, 2, т.е. 2!8 Евва 4. Свационарные задачи яеннолроводносаи для уравнения (5) справедлив классический принцип максимума (см.
и.4.1). Это позволяет сделать вывод, что имеется только тривиальиое решение краевой задачи (6), (7) гн(х) = О, т, е, решение задачи (!), (2) при линейном коэффициеите теплопроводиости и выполнении (8) единственно. Более интересной представляется ситуация с Ь = Ь(х,в).
Оказывается, что принцип максимума выполиеи и лля линейных уравнений типа (б) (см. задачу !). Это имеет место, когда дополнительно к (3) считается выполненным условие ограниченности и производной коэффициента теплопроводиости по температуре: — (х,в) (М. (9) Условие (8) также предполагается выполиеииым. На основании этого устанавливается единственность решения задачи (1), (2) при выполиеиии (3), (8), (9). На основании принципа максимума устанавливается единственность и более общих, чем (!), (2) нелинейных стациоиариых задач. В этой связи отметим лишь случай, когда коэффициент теплопроводиости зависит и от производных от температуры, а также задачи с нелинейными граничными условиями. Некоторые важнейшие примеры таких задач рассматриваются в других частях работы.
4.9.2. Раэиостные схемы Приведем некоторые разиостиые схемы для квазилииейиой задачи стационарной теплопроводиости. Будем считать, что в прямоугольиике П введена равномерная прямоугольная сетка й = ы 0 ды с шагами Ь| и Ьз по переменным х1 и хз соответственно.
Поставим в соответствие задаче (1), (2) нелинейную разиостиую схему Лу=х, хЕы, (10) у(х) =у(х), х Е ды. (! !) Для достаточно гладких функций у(х, и) правую часть (10) можно взять в виде (12) 1а=з(х,у), хбы. Разиостиый оператор в (10) представляется следующим образом: 2 Лу = ~~' Лау~ Лоу = (аа(х, у)ун ) а=! Козффициеиты нелинейного разиостиого оператора можно взять в простейшем (см. п.4.2) виде а~(х, у) = Ь(х~ — 0,5Ьп хм 0,5(у(х) + у(х1 — Ьп хз))), (14) аз(х, у) = Ь(хп хз — 0,5Ьп 0,5(у(х) + у(хп хз — Ьг))1 219 4.9.
Нелинейные задачи стационарной тенлонроводносоги Можно использовать и лругие аппроксимации, например, 1г а~(х, у) = -(й(х~ — йн хг, у(х1 — Ьг, хг)) + й(х, у)), 1г аг(х,у) = — ~й(хихг йьу(хи хг йг)) +й(х у)). (15) Разностную схему (10)-(12) при выборе аппроксимации (15) удобно записать в виде г Лу=~ Л.у, «=! Л«у = (й(х у)у«) (й(х у)у )- а = 1 2. (16) 4.9.3. Скодимость простейшей рааиостиой схемы Рассматривается разностная схема (! 0)-(12) с линейным разностным оператором г у — ~ Л«у Л у = — (а«(х)уе,), а = 1, 2.
(17) «=1 Первая проблема, с которой мы сталкиваемся, связана с однозначной разрешимостью разностной задачи. Для нелинейных сеточных уравнений разрешимость не следует как в случае линейных задач из того, что соответствующая однородная задача имеет лишь тривиальное решение. ~с, ~ и,% ~от озппп пппячемм пязпешимости Исследование погрешности для нелинейных разностных схем (10) — (14) ((10) — (!3), (15) илн (10) — (!2)„(!6)) проводится аналогично линейным задачам (см. п.4.2). Кажлая приведенная схема аппраксимирует исходную краевую задачу с достаточно гладкими коэффициентами и решением со вторым порядком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
