Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Определим оператор б. соотношением ди би = с(х) — + Ьи д! Теорема 1. Пусть Юи ( О (ки ) 0) в ограниченной области Е3. Тогда максимум (минимум) функции и(х, !) достигается на границе облас- пги дй и (или) при ! = О, т, е. На основе принципа максимума легко устанавливается единственность решения первой краевой задачи (1), (3), (4), (7), (9). Как и в стационарных задачах, большое значение имеют теоремы сравнения, которые следуют из принципа максимума.
Примером может служить следуюшее утверждение. Теорема 2. Пусть для функции и(х, !) и э(х, !) имеют место нера- венства Си < бо, (х, !) б !2, и(х,!) (о(х,!), (х,!) 6 Г, и(х, 0) ( о(х, О), х 6 !2, тогда и(х, С) < о(х, С) во всей области Е;>. Приведем априорные оценки в равномерной норме лля параболических краевых задач, основанных на принципе максимума. Теорема З.,зля решения первой краевой задачи (!), (3), (4), (7), (9) справедлива оценка ~~и(х,!)Цс1е>> < < гпах(Пд(х, !)Пс1г>, >>ие(хИ!с1п>) + МНУ(х ф!с10> (!2) где тктоянная М зависит от диаметра обчасти П и коэффициентов уравнения (1), (3), (4). и рассмотрим уравнение (1), (3), (4).
пзах и(х, !) = >пах(гпах и(х, г), хеч хЕГ ( ппп и(х, !) = лцп(гп!и и(х, !), хей хЕГ гпахи(х, 0)), (1О) гп! и и(х, 0) ) ) . хел 5.1. Краевые задачи для параболических уравнений атарова порядка 235 5.1.3. Операторная формулировка задач неетационарной тенлопроводностн Задачи нестационарной теплолроводности будем рассматривать при однородных граничных условиях (в (7), (8) функция а(х, Ф) = О, (х, Ф) б Г) в гильбертовом пространстве Я = Хз(й).
Пусть А есть оператор теплопроволности, который соответствует определению Ь согласно (2) при граничных условиях первого, третьего рода. Оператор А введен и обсуждается в л. 4.2. Дополнительно определим оператор В = с(х)Е. В силу этого уравнение теплопроводности (1) запишем в виде эволюционного уравнения первого порядка в 'Н:  — +Аи=у, 0<1<Т. Ыи д1 (!3) Это уравнение дополняется начальным условием и(0) = ио.
(14) Для рассматриваемых краевых задач оператор А самосолряжен и положительно определен, т. е. А=А >бЕ, б>0. Считая, что с(х) > со > О, в силу определения оператора В имеем В = В' > соЕ, со > О. (16) В важнейшем частном случае однородной среды (см. (б)) В = Е. Кроме того, операторы А и В постоянны, т. е. не зависят от $. Оценки устойчивости для нестационарных задач основываются на использовании леммы Грануалла. Сформулируем ее в следующей простейшей редакции.
Лемма 1. Пусть ги(1), в(1) > О, т > 0 и для всех 0 < 1 < Т, Т > 0 выполнено нвравенсгпво — < пози(1) + в(1). дои д1 (17) (15) Тогда зи(1) < е ' гв(0)+ е 'в(т) дт о (18) Из оценки (12) следует непрерывная зависимость решения первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка от начальных данных, правой части н граничных условий.
Постоянная М определяется аналогично тому, как это делается для стационарных задач (см, п.4.1). Утверждения, аналогичные теоремам 2 и 3, можно сформулировать и дпя задач с граничным условием третьего рода (8) при естественных ограничениях а(х, 1) > ао > О. 236 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроеодности Несколько загрубляя оценку (18), получим неравенство: с (~с~ "( со)~-~*с сс ). о Получим на основе этой леммы простейшие оценки устойчивости решений задачи (13), ( 14), если операторы подчинены условиям (15), (16). Эти оценки будут служить ориентиром при получении соответствующих оценок разностного решения.
Скалярно домножая уравнение (13) на а(1), придем к равенству 1д — — (Ва, а) + (Аа, а) = (у, а). 2 «Ы (19) С оператором В свяжем гильбертово пространство 'Нв, для которого Цаь = (Ва, а). Принимая во внимание положительность оператора А и используя неравенство (У )<Цлв-Ц Цю из (19) получим д ЦаЦв < Цс Цв-' сй' На основании леммы отсюла следует оценка устойчивости по начальным данным и правой части для задачи (13)-(16) вида Ца(1)Цв < Ца(0)Цв+ снах И1)Цв-' (20) Приведем некоторые другие априорные оценки для задачи (13) — (16), которые, не являясь оптимальными для дифференциальных задач, в тоже самое время ориентируют нас при получении соответствующих оценок разностных решений. Принимая во внимание (15)„из (19) получим неравенство — — ЦаЦв + бЦаЦ < (У, а). г 2 сМ Для правой части используем оценку (У, а) < бЦаЦ + — ЦД .
Это дает неравенство дЦ Цг< д1 2б нз которого следует оценка Ца(1)Цв~ < Ца(0)Цвг+ — гпах ЦУ"(1)Ц~. (21) с В отличие от (20) здесь дается оценка для квадрата нормы решения, а для опенки правой части нспользчется норма в Н 5.1. Краевые задачи для параболических уравнений вгпорого порядка 237 Аналогичная оценка для задачи (13)-(16) может быть получена (см. задачу 2) и в 'Нл. Отметим также возможность получения оценок устойчивости в некоторых общих пространствах 'Нр, порожденных постоянным оператором гл = 'й* > О. Пусть операторы В и А перестановочны.
В силу условий (16) существует обратный оператор В ' и от уравнения (13) можем перейти к уравнению — '+Аи=в 'У, О<С<т, (22) дС где А' = В 'А. Для перестановочных операторов А и В в силу (15), (16) получим А' = (А')* > О. Оценка (20) для уравнения (22) приобретает вид Ии(С)И < Ии(0)И + С щах ИВ 'Х!1 (23) Для рассматриваемых задач теплопроводности условие перестановочности операторов А и В будет выполнено прн с(х) = совы. Если дополнительно оператор 1г перестановочен с А', то из (22) следует оценка Ии(С)Ип < Ии(0)Ив+ С гпахИВ уИп, (24) которая обобщает (23).
6,1.4. Задачи Задача 1. Получиюе для первой краевой задачи для параболического уравнения Юи + д(х, С)и = ~(х, С), (х, С) Е (3 (25) при д(х, С) — рс(х) > О, р < 0 априорную оценку в равномерной норме. решение. Для получения априорной оценки решения первой краевой задачи для уравнения (25) в равномерной норме воспользуемся преобразованием о(х, С) = еыи(х, С). Для о(х, С) получим уравнение 1о+ (д(х, С) — рс(х))о = е"~С(х, С). Для этого уравнения при выполнении условия д(х, С) — рс(х) > 0 справедлива априорная оценка типа (12).
В наиболее интересном случае р < 0 приходим к следующему утверждению. Для решения первой краевой задачи (25), (7), (9) при д(х, С) — рс(х) > О, р < 0 справедлива оценка Ии(х, С)Ис(о> < е " шах(Ид(х, С)Ис(гр Иио(х)Ис(о1) + + Ме "тИ7(х, С)Ис(ср (26) Приведенная оценка (26) отражает факт возможного ограниченного роста решения (температуры), который обусловлен источником тепла пропорниональныч темпеоатчое (слагаемое д(х, Пи в (25П. и 238 Йыва 5. Неетационарные задачи теплопроводноети Задача 2. Для задачи (15)-(18) получите априорную оценку в Я ч. 1 Решение.
Покажем, что для рассматриваемой задачи имеет место неравенство !!в(1)!!л < !!и(0)!!А + — глах !!Я)!!, 2со Домножая скалярно уравнение (! 5) на Ыв/Ж, получим (27)  —, — + 2 1 (Аи, и) = 1 д (28) С учетом (18) имеем  —, — р сов а для правой части используется оценка ди л —,, — „", +,— !!~!!' Постановка в (28) дает неравенство -'!!и!!А < — '!Л', д1 2ог из которого следует искомая оценка (27). 5.2. Разностные схемы для нестационарных задач Врупьр + Вг-~Уччр-~ + ° ° + Верч = 1вп~ и = О~ 11 ° ° ~ (1) 8.2.1. Многослойные рааноетные схемы Отметим некоторые общие особенности разностного решения не- стационарных задач.
Будем считать, что рассматривается приближенное решение задачи в области П на отрезке времени (О, Т!. В П вводится пространственная сетка юн, с которой связывается некоторое конечномерное пространство Нь. Введем сетку и ло времени, для простоты, равномерную, иг, = (1 ! 1 = 1„= пт, и = О, 1,..., Ф, Ит = Т) с шагом т ) О. Приближенное решение рассматривается как функция уь(1„) дискретного аргумента 1„Е ы, со значениями из пространства Нь (уь(1„) 6 Нь), В дальнейшем будем использовать обозначения у„= уь(1„).
Пусть В, а = 0,1,...,р — некоторые линейные операторы, действующие в Нь, а чз„— некоторая сеточная функция. Назовем (р+ 1)-слойной олераторно-разностной схемой разностное уравнение 23О 5.2. Разнастные схемы для нестационарнык задач которое связывает разиостиое решение на (р+ 1) временных слоях. Для однозначного определения решения из (1) иеобходимо задать р начальных значений у„а = О, 1,..., р — 1. В наших дальнейших рассуждениях основное внимание уделяется двух- и трехслойным схемам.
При р = 1 имеем двухсловную разнастную схему ~ + Вар, = уг и = О 1 (2) при лаииом уе 6 Нн Аиююгичио лри р = 2 определяется тр,йная разнастная схема. Ее мы запишем в следующем виде: Вгупчг+В1упн+Воуп ='Рп, и = О, 1,..., (3) если заданы уо и уы 5.2.2. Каноническая форма двух- и трехслойиых рааиостиых схем Уп+~ У» В +АУ» ='Р 'гп+! и = О, 1,..., где т„~~ — — $„ч.1 — 1» — шаг по времени (вообще говоря, неравномерный). Для перехода от (2) к канонической форме двухслойной разнастнай схемы достаточно учесть у».„1 — — уп+т»,.1(уп.„~ — уп)(т„ч.~ и положить В = т».ИВг, А = Вг + Вю Как мы уже отмечали, для изложения существа вопроса иам достаточно рассмотреть разиостиые схемы иа равномерной временной сетке.
Поэтому будем рассматривать двухслойную разиостиую схему (4) т В теории разиостиых схем широко используются безиидексиые обозначения Уп-~! — Уп У=у», 'Р=У» Уг= Поэтому двухслойная разиостиая схема (4) записывается более компакт- но: Вуг + Ау = уг. (5) Схема (3) записывается в следую ше й канонической форме трехслойной разнастнай схемы: Упм - Уп-1 г Уп»-1 — 2У»+ Уп- ~ =12 ...
(б) 2т +т +Ау» =Угп, тг Исследование разиостных схем для иестациоиариых задач удобно проводить иа основе лриведеиия разностиых схем к единому, каиоиическому виду. Любую двухслойную разиостиую схему можно записать в следующем виде: 24О Бава 5. Неспгаяиопарпые задачи пгеплолоеодпости считая сетку по времени равномерной. Для перехода от (3) к (6) положим 1 В = т(Вг — Во), Я = (Вг+Ве), А = Во+В~ +Вг. 2 В безындексных обозначениях 1 у»н у»- ~ У1 = -(Уг + Уг) = 2 2т трехслойная разностная схема (6) принимает вид ВУ;+т Ярд+АУ = 1е. г У»+! — 2У» + У»-1 рй = Для определения решения на новом временном слое в случае (4) необходимо решить уравнение Ву г = К(уг„у,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
