Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Йгава 5. Неснгационарные задачи нгенлонроводноснгн а для правой части Ф" = (О, Вг '1о„). Сопоставляя (36) с (6), имеем 1 1 Во = 2С вЂ” — В, В2 = А — 2В Вг = В+ — В. (38) 2т ' ' 2т Формулы (37), (38) определяют оператор перехода в двухслойной разностной схеме (35). о 5.3. Равномерная сходимость разностных схем для уравнения теплопроводности ди с(х) — +Еи=Дх,С), (х,С) Е9, с оператором д 2' ди '2 Би = — ~~У вЂ” 1 Сг(х) — ). , дх„~х дх„)' (2) Уравнение (1), (2) дополняется граничным и начальным условиями: и(х,С)=д(х,С), хЕГ, (3) и(х, О) = ио(х), х Е Й.
(4) Особенности построения разностных схем для параболических уравнений проявляются в выборе аппроксимаций по времени. Б п.4.2 обсуждались вопросы аппроксимации по пространству, например, на основе интегро-интерполяционного метода. Будем, как обычно, считать, что в прямоугольнике Й введена равномерная прямоугольная сетка ог с шагами 122 и Ьг по переменным х2 и хг соответственно. Для получения консервативной аппроксимации по пространству проинтегрируем уравнение (1) по окрестности каждого внутреннего узла Йб = (х ! х = (хн х2), х23-212 ~( х~ ~ (хмыре, хгд-Иг ~ хг ~ хггй/22.
Определяя через е(х, С), х Е ы приближенное решение уравнения (1) на момент времени С„придем к системе обыкновенных уравнений 2Си Ь(х) — +Ли = ф(х,С), х Е ог, О(С (Т. (5) Здесь сеточная функция б(х) соответствует аппроксимации коэффициента теплоемкости с(х), а оператор Л связан с аппроксимацией янффгогн- 6.3.1. Ревностные схемы для уравнения теплопроводности Базовой задачей нестационарной теплопроводности при нашем рассмотрении является двумерная задача распространения тепла в твердом изотропном цилиндрическом стержне прямоугольного сечения Й при заданном температурном режиме на границе. Рассматривается уравнение теплопроводности 247 5.3. Равномерная стоднмость разноппнмх схем циального оператора Ь, задаваемого согласно (2).
В случае достаточно гладких коэффициентов и решений можно положить (см. и. 4.2) Ли = ~~~ Л,и, а=1 Л и= — (а (х)ия ), а=1,2, (б) Ь(х) = с(х), х Е ьь (7) Система уравнений (5) дополняется условиями, вытекающими из (3), (4). По аналогии с (б), (7) используем следующие простейшие аппроксимации: Ь(х) — д! = тЬ(х) + " = тЬ(х)иь д! т При интегрировании функций, зависящих от времени, используется выражение г(х, !) д! = т(аг(х, Ь„т~) + (1 — а)г(х, 1„)), где о' — некий числовой параметр (вес квадратурной формулы), С учетом этого, при интегрировании уравнения (!) получим следующую разност- ную схему Ь(х) " +Л(ау„.~,+(1 — а)у„) =!о„, т с условиями х Е ы, и = О, 1,...
(10) (1! ) (!2) Унэ|(х) = У(х, 1„+1), х Е ды, Уо(х) = ао(х), х Е ы. „, ЫО! !!я есть оатностная схема с весома. и(х,!) =У(х,!), хЕ дог, 0<1(2и, (8) и(х,О) = ае(х), х Е ьь (9) Переход от параболической краевой задачи (1) — (4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (5)-(9) соответствует использованию меглода лрямых. Для получения разностной схемы для задачи (5)-(9) необходимо использовать те или иные аппроксимации по времени. Снова применим интегро-интерполяционный метод.
При использовании двухслойных разностных схем в разностное уравнение входят значения на двух временных слоях: при ! = 1„и ! = 1„+,. Проинтегрируем уравнение (5) на отрезке 1„< ! < 1„+~ (усреднение по времени). Интегрирование первого слагаемого в (5) дает 248 Пгава 5.
Нестационарные задачи теллоираводности Отметим некоторые важнейшие частные случаи разностной схемы (10)-(12). При а = 0 мы имеем дело с явной схемой. В этом случае для определения решения на новом временном слое используются следующие расчетные формулы; р„+~ — — р„— Ь (х)т(Лр„— гр„), х 6 иг с учетом условий (11), (12). Среди неявных схем наибольшее распространение в вычислительной практике получили симметричная схема и чисто неявная схема.
Симметричная схема (схема Кранко — Ника»гона) соответствует выбору а = 0,5. В этом случае (! О) принимает вид Ь(х) +Л =гр„, я=0,1,.... (13) т 2 При а = 1 мы имеем дело с чисто неявной разностной схемой; р»+! р» Ь(х) + Лу„е~ — — чг„, и = 0,1,.... т Чисто неявную схему (!4) называют иногда схемой с оиереисением. (14) — а — — ) тЛи + 0(т + ~Ь! ). — з 2/ (20) 6.3.2.
Погрешность апиронсимации схем с весами Рассмотрим погрешность аппроксимации схемы с весами (!0)-(12). Для погрешности аппроксимации имеем гр = — Ь(х)иг — И(ай+ (1 — а)и) + чг, (15) где я = и(х, 1„), й и(х, 1„»~) — решение дифференциальной задачи (1) — (4) на соответствующий момент времени. Положим й = и(х, 1„+цг) и й = ди/д« и используем разложения иг =и+0(т ), (16) т, 0 = й+ — и+ 0(т~), (17) и =й — — и+0(т ). (18) 2 Будем считать (см.
п.4.2), что сеточный эллиптический оператор Л аппроксимирует дифференциальный оператор Б со вторым порядком: Ла = е и+ О(!Ь! ), !Ь! = Ь~ + Ьз. (19) Представим погрешность аппроксимации (15) с учетом (!6)-(18) в виде й+ и г" 1г гй = — «(*) — Л вЂ” — ~~а — -! Л, + гр = 2 ~, 2) = Ь(х)й+7- (Лй- Бй) + (у - ~) — а — — тЛй+ 0(т ). 2 г' Если дополнительно к (16)-(19) принять, что !с = 7+ 0(т + ~Ь~~), то для погрешности получим выражение 249 5.3. Равномерная сходимость разносогных схем Общее представление (20) для погрешности аппроксимации разностиой схемы с весами (10)-(12) для задачи теплопроводиости (1)-(4) позволяет получить 0(тг+ !Цг) а 0 5 0(т+ /Ь~г), о „-е 0,5. (21) 5.3.3.
Принцип максимума В п.4.3 сформулирован принцип максимума для разиостиых уравиеиий. Используемая каноническая форма базируется иа записи разиостиой схемы в виде выражения разиостиого решения в некотором узле через разиостиые решения в окружении этого узла. В таком общем виде принцип максимума может быть использован и для исследования разиостиых схем для иестациоиариых задач, только в этом случае шаблон разиостиой схемы будет включать значения иа разных временных слоях, Запишем разиостиую схему с весами (10)-(12) в канонической форме относительно узла (х,1) = (хг, 1„ьг). Разиостиый оператор Л представим (см.
п.4.3) в виде Лу(х) = А(х)у(х) — ~~~ В(х, Оу(О, 1е9и'(Ю где а,(х; у) + а,(х) аг(х;„~,)+ аг(х) А(х) = 1г + Ьг ! г а~(х;. ~ ) а1 (х) В(хчьхгьц) = г *, В(хспх; 10) = — г Ь, Ь, аг(х;„ь~) аг(х) В(хггч хго+~) = Ьг 1 В(х~гч хйг'-г)— г г Коэффициенты схемы (!О) определяются, например, следукицим образом: 1 аг(х) = -(Й(х) + й(х1 — Ь„хг)), 2 1 аг(х) = — (Ь(х) + Й(хп хг — Ьг)).
Таким образом, симметричная разиостиая схема (13) имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространству, в то время как другие схемы с весами — первый по времени и второй по простраиству. В некоторых случаях погрешность аппроксимации по пространству схемы с весами иа решениях уравнения теплопроводиости удается повысить (см. задачу 1). 250 Е~ава 5. Нестационарные задачи гнелоопроаодносми Сохраним приведенные обозначения для шаблона по пространственным переменным. Тогда разностная схема (10) запишется в виде (Ь(х) + атА(х))ухм(х) = ат ~ В(х,()у„„,(6)+ гела 00 +(1 — а)т ~~~ В(х,()у„(()+ (Ь(х) — (1 — а)тА(х))у„(х)+т!з„, (22) !еэл'1*! Для разностной схемы (22) можно сформулировать условия, достаточные для выполнения принципа максимума.
Неотрицательность всех коэффициентов при разностном решении в правой части (22) приводит к условиям (23) 0<а<1, Ь(х) — (1 — а)тА(х) > О. (24) Условие (23) является естественным н не дает ограничений на шаг по времени. Условие (24) будет выполнено при всех т только для случая а = 1, т. е. только для чисто неявной схемы принцип максимума выполнен безусловно. При других и из (24) имеем т< 1 Ь(х) (25) (! — и) А(х) ' Учитывая выражение для коэффициентов разностной схемы (10), из (25) получим достаточное условие выполнения принципа максимума схемы с весами: т < (Ь, + Ь, ) 1 ппп с(х) (26) 2(1 — о.) шах Ь(х) Оценка (26) показывает, что принцип максимума выполнен для схем с весами с и ~ 1 при жестких ограничениях на шаг по времени т = 0(!Ь!~).
6.3.4. Сходиместь рааностной схемы На основе принципа максимума устанавливаются соответствующие оценки устойчивости и сходимости разностных схем в равномерной норме. Для разностной схемы (10)-(!2) также можно получить априорную оценку, выражающую устойчивость разностной схемы по начальным данным и правой части. Оценка может быть получена в норме 1!у1! = гаях ~!ун!1с1„!. При рассмотрении нестационарных залач мы орио«н«л ентируемся на получение оценок в норме разностного решения на одном слое. Фактически это соответствует использованию принципа максимума для разностного решения на отдельном временном слое (для сеточного эллиптического опеоатооа! 251 » 5.3. Равномерная сходимос»нь разнося»нмх схем Для оценки решения на и+1 (и > О) временном слое перепишем (22) , в виде (Ь(х) + атА(х)) у„»(х) = ат ~~» В(х, С)у„+»(С) + Е„, (27) сеы'и) где Р„= (! — а)т ~~» В(х, С)у„(С) + (Ь(х) — (1 — а)тА(х)) у„(х) + ту»„.
(28) И ах'(е) При сформулированных выше условиях (23), (24) на параметры разностной схемы рассмотрим сеточную эллиптическую задачу (27), (28). Наиболее просто получить оценку решения разностного уравнения (27) с однородными граничными условиями (в (11) у(х, Ь„ь»)), что достаточно при исследовании сходимости разностной схемы. Для уравнения (27) с однородными граничными условиями справедлива (см. следствие 6 в и.4.3) оценка В нашем случае Р(х) = Ь(х) + отА(х) — ат ~~» В(х, с) = Ь(х). Изх' я) При таких Р(х) и выполнении (23), (24) из (28) имеем — < ))у„(х)Цс)„) + т Тем самым для у„ь»(х) получим оценку '))Уо»»(х)')»)с)„,) < ))У„(х))')с) ) + т М~) ( х ) с 1 м ) (29) На основании разностной леммы ))»онуолла из (29) получим искомую оценку для разностной схемы (27), (28) с однородными граничными условиями; »»»»*»»»»~»»»*»».»»»~.1 П р„(х) »=о (х с)н) (30) » »»»») Оценка (30) отражает устойчивость разностной схемы (10) — (12) с весами по начальным данным и правой части в равномерной норме.
Напомним, что зта оценка получена в предположении выполнения принципа мак- симума (при выполнении оценок (23), (24) для параметров разностной ' 252 глава 5. Нестанионарные задачи тенлонроводности Для исследования точности разностной схемы (10)-(12) формулируется соответствующая задача для погрешности а„= у„— и(х, 1„), х б ы. Из (10) — (! 2) получим Ь(х) +Л(оа„„~ + (1 — о)х„) = !Ь„, т хЕы, п=0,1,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
