Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 51
Текст из файла (страница 51)
1 2 (35) и !!я !!и < !!я !!и+ к !!В2 гр !!я а=г (36) где 1 в,=я+ — в, 2т а норма определяется в соответствии с (37) 4 Из оценки (36) следует, что необходимо согласовывать точность опреде- ления разностного решения на нулевом и первом слое с погрешностью аппроксимации трехслойной схемы. В частности, схема второго порядка аппроксимации по времени и пространству, для которой (см. п. 5.3) д = 1,5, также устойчива.
Для исследования схсдимости трехслойных разностных схем используются оценки устойчивости по правой части. Из таких результатов нами сформулирована теорема 8 в и. 5.4. При условии устойчивости разностной схемы (27), (28) по начальным данным дпя погрешности разностного решения ян = (ен и ен) справедлива оценка 271 5.5. Устойчивость и сходимость разностных схем Получим более простую для вычислений оценку для нормы погрешности аппроксимации. Имеем с учетом (37) и положительности операторов В и Я ЯВ2 'Р,Дл = 2тЦВ + 2тЯ) 'гРДд ~( 2тй~В '4,Дл. Дальнейшие выклалки ведутся с учетом конкретных выражений (28) лля сеточных операторов.
Например, для симметричной схемы (27), (28), (32) имеем В = Ь(е)Е, Я = аА и поэтому 2т11В 'грДл = 2от11Ь грь11л. Можно получить и более приемлемые нормы дая погрешности аппроксимации. Однако мы не будем на этом здесь останавливаться. На основе проведенных рассуждений можно сделать вывод о сходимости трехслойных разностных схем в соответствующих нормах. Дополнительный достаточно очевидный момент, как уже отмечалась, связан с необходимостью согласования точности расчета рь и р1 с погрешностью аппроксимации трехслойной схемы.
Например, если используется трехслойная схема второго порядка аппроксимации по времени, то с этой же точностью должно быть найдено и~ на основе какой-то двухслойной разностной схемы. б.б.4. Задачи Задача 1. Исследуйте устойчивость разности ой схемы (5) лри А = А*, если В = Е+ ат~А~. (38) Решение.
В рассматриваемом случае необходимые и достаточные условия устойчивости в И» дают О ( 2 — тА = 2Š— тА + 2ат А 2 1 (2сс) ~ тА — -(2а) И Е + 2 — — Е. В силу этого разностная схема (5), (38) будет безусловно устойчива при а > 16. ь Задача 2.
Иа основе регуляризации явной разностной схемы Ричардсона Ь(е) +Лрь = 92я~ х б ь2, и = 1,2,... (39) 2т настройте безусловно устойчивую явную разностную схему. Решение. Схема (39) принадлежит к классу симметричных схем с весами при 1 й=-, а2 — — аз=о=О. 2' П»ава 5. Явстацианарныв задачи теплаправадности „ При таких значениях условия устойчивости (30), (31) никогда не выпол- няются, т.е. схема Ричардсона абсолютно неустойчива.
Проведем регуляризацию разностной схемы на основе возмущения, диагональной части сеточного оператора, которую обозначим Х». Придем, к разнагтной схеме Дюфарта и Франкела Ь(а) "+ +Лу +Х» е — — !ь . (40) Схема (40) отличается от схемы (39) заменой рп в диагональной части оператора Л на полусумму решений с я+ 1 и п — 1 временных слоев. Она записывается в каноническом виде (27) с В = Ь(я)Ж, В = -Р, ! (41) Схема (27), (41) будет устойчива по начальным данным при выполнении неравенства А=Л 1 1  — -А = — (2Р— Л) > О. (42) 4 4 Для сеточных эллиптических операторов Л, определяемых согласно (3), (4), имеет место оценка Л ( 2Р, доказательство которой проведено в п.
4.7. А это значит, что выполнено условие устойчивости (42). Недостатки разностной схемы (40) связаны с тем, что она имеет условную аппроксимацию: ф„= 0(т'+ (Ь(~ +т~(Ь(»), т.е. ф„= О(!Ь1~) при г = О(1Ь1~) как и для обычной явной схемы. ь 5.6. Асимптотическая устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности 5.6.1.
Асимптотическая устойчивость Прн описании процессов теплопроводности выделяется стадия регулярного режима (см. и. 3.4), которая характеризуется затуханием решения с аснмптотикой главного (минимального) собственного значения соответствующего оператора теплопроводности. Естественно стремиться строить разностные схемы, чтобы они передавали такое асимптотическое (при больших временах) поведение решения. Обычно используемое условие устойчивости решения по начальных данным состоит в том, что норма решения не возрастает со временем, т.
е. исследуется устойчивость разностных схем при р = !. Для правильного описания регулярного режима теплообмена необходимо, чтобы решение ' затухало и закон затухания был бы определенный. Разностные схемы, которые удовлетворяют этому требованию, будем называть асимптатически ! устойчивыми.
273 5.6. Аснмнтотнческая устойннвость разностных схем Будем рассматривать простейшее уравнение теплопроводности да дза — — хай, 2>0 дС дх2а ' а=! с граничными и начальным условиями: и(х,2) = О, х Е дй, 2 > О, (2) а(х, 0) = ие(х), х Е й. (3) На асимптотически развитой стадии регулярного теплообмена решение определяется выражением и(х,2) т а!(х,а) = (ио, а!!),е ""го!(х), (4) где Л! — первое собственное значение и соответствующая ему собственная функция а!!(х). Краевой задаче (1) — (3) ставится (в соответствии с п. 5.3) разностная задача 4а — +Ли=О, хбь2 (5) !й в конечномерном пространстве сеточных функций В с начальным усло- вием а(х,О) = иа(х), х Е ы.
(6) В (5) оператор Л самосопряжен и положительно определен: Л=Л'>бЕ, б>0, (7) 0 = ЦаЦ вЂ” + (Ле,и) > ЦоЦ вЂ” + 6ЦоЦ, 4ЦаЦ 4!оЦ 2 Ф ' !й т.е — + 6ЦоЦ (~ О. 41аЦ Ф Из этого неравенства непосредственно вытекает следующая оценка устойчивости по начальным данным решения задачи (5), (6): Цв(г)Ц < е ~Цо(О)Ц. (8) Представляется вполне обоснованным потребовать убывание нормы и разностного решения задачи (5), (6) в соответствии с оценкой (8). Это где б — минимальное собственное значение разностного оператора Лапласа Л.
Для решения задачи (5), (6) на асимптотической стадии имеет место представление, аналогичное (4). Для формулирования адекватных условий устойчивости приведем соответствующую оценку лля нормы. Домножая уравнения (5) скалярно на е(2), получим с учетом (7) Е~ава 5.
Несгпалионарные задачи меплопроводности требует несколько уточнить понятие устойчивости соответствующего разностного решения. Разностная схема будет асимптотически устойчивой, если имеет место следующая оценка устойчивости по начальным данным ы< -"~ы (9) Оценка (9) будет иметь место, если соответствующая разностиая схема р-устойчива с р=е '". (10) В таком контексте исследование асимптотической устойчивости осно- вывается на рассмотрении условий р-устойчивости с р, определяемой согласно (10).
0.6.2. Двухслойные схемы Запишем для (5), (6) обычную схему +А(ир„~1+(1 — о.)у„) = О, п = 0,1,... (11) т с весом а. Напомним (п. 5.4), что двухслойная разностная схема (12) при А = А* и В = В' р-устойчива в Нл при А > 0 (в Нв при В > О) тогда и только тогда, когда выполнены условия — В ( А ( — В. 1- р 1+р т т (13) Проверим выполнение условий р-устойчивости (13) для схемы с веса- ми (11). Она записывается в каноническом виде (12) с операторами (14) В=Ж+нтЛ, А=Л.
Рассмотрим вначале правую часть двухстороннего неравенства (13). В слу- чае (14) имеем А < — Е+ о(1+ р)А. 1+р (15) т Неравенство (15) будет в случае (14) выполнено при всех т прн следующем выборе веса: 1 и > — = оо. (1б) 1+р Обычное условие устойчивости (при р = 1) приводит к стандартному условию безусловной устойчивости о > 1/2. 275 5.6. Асимптотическоя устойчивость розностных схем (19) Л<ЬЕ, где Ь вЂ” максимальное собственное значение разностного оператора Лапласа Л. Рассмотрим вначале вопрос о допустимых шагах по времени, не фиксируя при этом выбор веса разностной схемы.
При выполнении (19) вместо (16) имеем 1 1 о > во — — — — —. !+ р Лт' (20) В этом случае ! о~ — то 1-р 1 ! 1 1+р бт Ьт + 1 1/ б! 1 1 — — ! — — = — — -(! — О) а!з (бт) бт 1 Ь) а!з (,и) и где 9 = б/бь. Принимая во внимание (14), левая часть (13) преобразуется следующим образом; 1 — р 0> —  — А= 1 — р 1-р = — Е+ ((1 — р)о — !)А < — Š— б(1 — (1 — р)о)Е. (17) т т Неравенство (17) будет выполнено при 1-р — — б(1 — (1 — р)и) < О.
т Отсюда вытекают ограничения на вес сверху: 1 1 о < — — — = он (18) 1 — р бт Для задачи (5)-(7) рассматриваются р-устойчивые разностные схемы с р, определяемым согласно (10). Проверим выполнение условий (16), (18) на вес в таких предположениях. При р = е т имеем ! 1 1 2р 1 1 1 о| — оо — — — — — — — —— <О, 1 — р 1+ р бт 1 — рз бт з!з(бт) бт так как з!з(р) > р при р > О. Тем самым нельзя указать вес о, при котором выполнены неравенства (16), (18), другими словами, среди двухслойных разностных схем с весами (!1) нет безусловно асимптотически устойчивых. При отсутствии абсолютно р-устойчивых схем можно отметить некоторые классы условно р-устойчивых схем с весами. Наряду с (7) имеется оценка для оператора Л сверху: 276 Папава 5.
Нестационарные задачи теплопроводности Допустимые шаги по времени определяются условием о~ — оа > О, т. е. выполнением неравенства 1 1 — — -(1 — г!) > О. айЫ и Это неравенство эквивалентно условию р(р) > ! г! (21) где р(/з) = /г/з!г(/з). Покажем, что для функции у(р) при р > 0 имеет место неравенство 2 !оЫ >! —— 6 (22) Неравенство (22) эквивалентно неотрицательности Функции ! (и) = и — ! — — ) зЬ (и) 2 6) При исследовании неотрицательности функций будем использовать утверждение, доказанное в задаче 1. В нашем случае !о(0) = О, †(О) = О, †(О) = О дг д,з — = -рзй(р)+ — с1г(/г)+ — сй(р) > О ,!з /г !г ф,з 3 3 6 при р > О.
Отсюда н следует справедливость неравенства (22). Из (21), (22) следует !г~ < бп, и поэтому даже при оптимальном с точки зрения асимптотической устойчивости выборе веса о = ад(тд) = о1 (та) для шага по времени имеем г 6 О<т<тгн теза —. ббь (23) Принимая во внимание, что б = 0(1) и Ь = О(!!г1~), условие асимптотической устойчивости (23) дает для максимального шага тд = 0()!г!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
