Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 55
Текст из файла (страница 55)
с соответствующими начальными и граничными условиями. Эти линеаризованные схемы имеют второй порядок аппроксимации как по пространству, так и по времени. 0.9.3. Нелинейные раэиостиые схемы В вычислительной практике получили широкое распространение нелинейные разностные схемы, в которых решение на каждом временном слое находится как решение нелинейной разностной задачи. Такие схемы строятся аналогично разностным схемах для линейного уравнения теплопроводностн. Например, чисто неявная разностная схема для (12)-(14) имеет вид У»ы У» Ь(х, у„.,~) + Л(У„~1)у„.„~ — — ~р(х, 1„»н у» м), т (23) хЕы, и=0,1,...
с дополнительными условиями (16), (17). Аналогично строятся и аналоги схем с весами. В качестве примера приведем нелинейный аналог двухслойной симметричной разностной схемы (схемы Кранка — Николсона): У»»1 У» (Ь(х, у») + Ь(х,$„.,~)) + Л(у»)у» + Л(у„~~)у„.„~ = т = ~р(х~1» у») + !»(х11»+и у»»1), х Е ы, и = О, 1,.... Из трехслойных нелинейных разностных схем отметим неявные схемы следующего (см.
п.5.3) вила: ( ) У»+1 У» ( )У» У»-~ т т + Л(у»<-1)у»»~ = !а(х~ !»+ну»<.1), х Е ы, п = О, 1, При й = 1,5 эта неявная схема имеет погрешность аппроксимации второго порядка по времени и пространству, а соответствующая линейная схема безусловно устойчива. Приведенные разностные схемы являются прямыми аналогами неявных схем для линейной краевой задачи нестационарной теплопроводности.
0.9.4. Итерационная реализация неявных схем Для нахождения разностного решения на новом временном слое неявных схем необходимо решать нелинейную разностную задачу. Для определения у» 1 используются те ли иные итерационные процессы. Они 295 5.9.
Нелинейные неаяационарные задачи ь+! Ь(х,в ) +Л(в )в ь = 1з(х,1„+ив ), т (24) хам, п=0,1, Лииеаризоваииая разиостиая схема (15) совпадает с итерациоииой схе- мой (24), если ограничиться одной итерацией, Модификация (24) связана с лииеаризацией правой части, когда используется уравнение ь+! Ь(х,в~) " + Л(в )и"+' = р(х, 1„.,пи") + + — (х, Ь„ьп в )(в — в ), Вт ь а+1 у Свойство самосопряжеииости сеточного эллиптического оператора для определения нового прибяижеиия при такой модификации итерациои- ного процесса (24) ие нарушается.
Большое распространение при реализации нелинейных разиостиых схем для иестациоиариых задач получил метод Ньютона. В этом случае новое приближение иаходится из рвзиостиого уравнения Ь(х,в") + — (х,в") "(в" ' — в )+Л'(в )в "'= т ду т Вр = гр(х,1„+ и вь) + — (х, 1„+и вь)(из+ ~ — вь), х Е ы, и = О, 1,.... (25) Ву хби, п=0,1, строятся иа основе обсуждаемых в п.4.9 методов решения стационарных нелинейных задач теплопроводиости. Отметим некоторые важные особеииости соответствующих нелинейных сеточных задач. 1. При итерационной реализации неявных разиостиых схем имеется хорошее начальное приближение.
Пусть в — итерационное приз ближеиие решения у„„1 иа Ь-ой итерации. В качестве начального приближения естественно брать решение иа предыдущем слое, т. е. = уа. 2. Сеточиая задача для определения у„„~ содержит малый параметр— шаг по времени т. Этот параметр существеиио влияет иа скорость сходимости итерационного процесса (чем меньше т, тем выше скорость сходимости соответствующего итерациоииого процесса). Отмеченные особенности характериы и для линейных сеточных задач при реализации неявных схем и более предметио обсуждаются в главе 6.
Здесь мы ограничимся только некоторыми примерами. Будем рассматривать нелинейную разиостиую схему (23). Простейший итерационный процесс связан с последовательным угочиеиием иелинейных коэффициентов. В этом случае новое итерационное приближеиие в ч для у„ь| иаходится из решения краевой задачи для разиостиого уравнения 296 Е2ава 5. Нестиииопарпые задачи меплолроеодпости Здесь (см.
п.4.9) сеточный эллиптический оператор Л'(и ) имеет вид 2 Л'(и2~)с = Л(го )о — ~~~ ( — (х, тии)(вь)в о ) а=! Ли т. е. он не является самосопряженным. Сеточная задача для уравнения (25) решается на основе использования итерационных методов. Но факт несамосопряженности сеточного эллиптического оператора существенно усложняет проблему. Исследование скорости сходимости итерационного процесса (25) проводится стандартным образом, но в силу громоздкости мы его опускаем. б.й.б. Точность рааностных схем Исследование нелинейных разностных схем для нестационарных задач математической физики осложняется отсутствием общей теории нелинейных разностных схем.
Методика изучения линейных разностных схем, изложенная выше, является в достаточной мере общей и стандартной и состоит в исследовании погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости. В части получения оценок точности общая теория линейных разностных схем не переносится на нелинейные разностные схемы. Поэтому в настоящее время имеется очень много различных подходов к исследованию сходимости разностных схем в нелинейных зедачах. Это отражает такую же ситуацию и в теории нелинейных уравнений математической физики.
Как и в случае стационарных залач теплопроводности (см. п.4.9) ограничимся простейшей нелинейной задачей (1) — (4), когда нелинейной является только правая часть, т. е. с = с(х), й = й(х). Для такой задачи рассмотрим чисто неявную схему (23), которая принимает вид Ь(х) "+ "+Луп,.~ — — ~Р(х,!и~прон), хбы, о=0,1,..., (26) т где теперь Л вЂ” линейный оператор: Лр= ~~;Л.д, Л,у = -(а„(х)р;-.),, а=1,2. а=1 Будем считать, что правая часть (26) удовлетворяет условию — (х,1,у) <и=сонэк ад (27) др Для исследования единственности разностного решения, определяемого по уравнению (26) и условиям (!6), (!7), предположим существование двух решений р„, у„.
Для разности с„(х) = ри(х) — у„(х) получим задачу 6(х) "+ +Лси >1 = — (х~!и+ну)оп<.н х 6ы, п=б, !>...) (28) т ду 5.9. Нелинейные нестационарные задачи 297 (29) (30) ((*. (*(((ь)~К << ( ( ( „, !! Ь(*) Тем самым для чисто неявной разиостиой схемы показана сходимость при выполнении (27) с неположительной постоянной и.
6.9.6. Задачи Задача 1, Покажите, нто для задачи (!) — (4) с с = с(х), й = й(х) нри вынолнении неравенства д~ — (х,<,а) <и<0 ди справедлива априорная оценка Пи(х !Н!с<о> < шах 1((У(х !)Нс<г> иие(х)й(с<п>) + (и( !<У(х, <, О)!(с<(7>' Решение. Используя разложение у(х, 1, и) = у(х, С, 0) + — (х, С, !<)и, ду да уравнение (1), (2) запишем в виде: ди д / ди '( ду с(х) — — ~ — '( л(х) †) = у(х,1,0) + †(х,1,й)и, д! , д*.
(, д*.,< ' ' д (х,!) Е <2, ( в„.„(=0, хбд(л, ее — — О, х Еы. Пусть для шага по времени выполнено соотношение ш<п Ь(х) тЪ тогда лля разиостиой задачи (28)-(30) будет выполиеи принцип максимума (см. п. 5.3), и поэтому оиа имеет только тривиальное решение. Если в (27) постоянная и отрицательна, то единственность имеет место при любых шагах по времени. Для исследования точности разиостиой схемы (26), (! 6), (17) сформулируем соответствующую задачу дяя погрешности «„(х) = у„(х) — и(х, г„) „ х Е й. Пусть <Ь„(х) — погрешиость аппроксимации, причем зр„(х) = 0(т+ <й>~), <<(1~ = >(, + Ьз~, Погрешность решения удовлетворяет уравиеиию »и+(-»» Ф Ь(х) +А«„,.( — — (х,<„(.(,у)«„„(-— <Ь„, хЕы, п=0,1,...
(31) т и д ~п 1 ие и и однородным граничным и начальным условиям (29), (30). Пусть в (27) и < О, тогда (см. п.5.3) иа основании принципа максимума получим оценку 298 Пгава 5. Иестационарные задачи теплопроводности Далее отдельно рассматривается задача для однородного уравнения (устойчивость по граничным и начальным условиям) и задача с однородными граничными условиями (устойчивость по правой части). Задача 2.,Для задачи теплопроводности (1) — (4) с с = с(х), 7с = й(х) постройте линейные схемы предиктор-корректора второго порядка аппроксимации по времени и по пространству.
Решение. Этап предиктора используется для вычисления нелинейной пРавой части на момент вРемени 1„ч~7м КоРРектоР соответствУет использованию линеаризованной симметричной схемы: Б(х) " +Л =1т(х,1ч.„цпй), хны, п=0,1, т 2 Для нахождения у можно использовать схему Ь(х) — + Лу = р(х, 1„, рч), х Е ы, п = О, 1, У Уч т Естественно, для нахождения у могут использоваться и другие схемы. Приведенная схема предикгор-коррекгора имеет погрешность аппроксимации О(т~ + ~Л['). ь 5.10. Библиография и комментарий б.10.1.
Общие замечания 5.1. Линейные краевые задачи для параболических уравнений второго рассматриваются во всех учебниках по уравнениям математической физики [3, 7, 19[. Модельным уравнением выступает именно уравнение теплопроводности. Такие же задачи возникают при описании процессов диффузии. Принцип максимума для уравнения теплопроводности имеет прозрачную физическую интерпретацию и на его основе наиболее просто получаются результаты о единственности решения основных краевых задач [21[. Нестационарные задачи математической физики часто рассматриваются как дифференциально- операторные в соответствующих пространствах. Наиболее полно такие задачи исследованы в книге [б[.
Мы ограничились простейшими оценками в гильбертовых пространствах. 5.2. Общая теория разностных схем для нестационарных задач излагается в соответствии с [!2-!4[, где, в частности, введены канонические формы разностных схем для нестационарных задач. Одним из важнейших моментов прн исследовании двухслойных разностных схем является установление связи устойчивости по начальным данным н устойчивости по правой части. 5.10. Библиография и комментарий 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8. 5.9.
Методы построения разностных схем для нестационарных задач хорошо отражены в учебной литературе [!, 2, 9-12]. Мы привели оценки погрешности только в случае достаточно гладких решений. Более общие задачи (разрывные коэффициенты, обобщенные решения и т.д.) рассматриваются аналогично стационарным задачам. Такой материал можно найти в [12, 14]. Исследование точности разностных схем проведено на основе принципа максимума. Обычно [см. [12 — 14]) этот материал излагается для задач с постоянным коэффициентом при производной по времени.
Для рассматриваемых прикладных задач теплофизики такое упрощение не всегда оправдано. Общая теория устойчивости разностных схем излагается в соответствии с работами [12-15]. Переход к канонической форме позволил сформулировать в виде операторных неравенств необходимые и достаточные условия устойчивости. Наиболее полное изложение этой теории имеется в книге [16], где имеется также обзор других методов исследования устойчивости разностных схем, приводится большое число примеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
