Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В качестве 7~ можно взять 2 Ъ = пнп ~~> М ~ = пнп М~ ~(хз) + пнп Мз ~(х~). »о» ~ »го»р »,ею Сеточные функции М, '(хз), Мз ~(х1) определяются согласно М„= шах и'(х), а = 1, 2, »,еч где а(а»тв )» + — и = -а(х), х Е ы, т (х) = О, х,„= 0,1». Ь(х) Влияние т и и удобно проследить на примере задачи теплопроводности в однородной среде, когда ы и сетка квадратные (Ь = Ь| = Ьз). В этом случае Ь(х) = Ьо, с(х) = со и левое неравенство (12) принимает вид: со /4Ьоа со' а Ьо(Ат, и) + — (и, т) ) Ъ 1 —, + — 1(т, т)1 (17) где А — сеточный оператор Лапласа на квадратной сетке. Принимая во внимание неравенство 4,, 1гЬ А>бЕ, б= — сйп Ьз 21 ' где б = О(1) — минимальное собственное значение, из (17) получим следующее выРажение для 7~.
бйоит+ со 7~ = 4Ь ~Ьоат -1-со Из (18) вытекает следующая асимптотическая зависимость с = — = О(Ь'/(ит)). 72 305 6.1. Вычислительная реализация неяенмх схем При использовании симметричной схемы с учетом асимптотики погрешности аппроксимации и условия асимптотической устойчивости (см. и. 5.6) естественно выбрать шаг по времени т = О(Ь). Тогда из (19) имеем с = О(Ь), и тем самым число итераций рассматриваемого итерационного метода будет зависеть от общего числа узлов. Оценка (13) дает и > по(е) = 0(Ь ' '!п(е ')). (20) При а ~ 0,5 и т = 0(Ь») (погрешность аппроксимации в этом случае 0(Ь')) вместо (20) из (19) получим п > но(е) = О(!п(е )) т.
е, число итераций явно не зависит от числа узлов. Другое дело, что относительная точность итерационного решения е должна быть согласована с погрешностью аппроксимации, тем самым с сеточными параметрами. Но в любом случае эта зависимость слабая (при е = тр,,д > О, по(е) = 0(1п(т ')), и поэтому итерационный метод при таком соотношении шагов по пространству и времени можно относить к экономичным методам решения нестационарных задач.
6.1.3. Итерационный метод переменных направлений Отметим особенности использования итерационною метода переменных направлений для решения сеточной эллиптической задачи (7), (8) на верхнем временном слое. В этом случае оператор (8) необходимо (см. п. 4.7) представить в виде А = А~ +Аз~ Ач = Аа а=1,2. (21) С этой целью используем разбиение оператора Л на одномерные операторы; Л=Л~+Лз, Л„=Л,'„> О, г»=1,2.
(22) Тогда с учетом (8) представим операторы Ао, а = 1, 2 в виде Ь(я) Ь(х) А~ =,0 — + оЛ„А» — — (1 — ٠— + аЛм (23) т т где !3 — некоторый числовой параметр (О < В < !), выбор которою необходимо подчинить условию минимума числа итераций. Для приближенного решения уравнения (7) используется итерационный метод переменных направлений с постоянным итерационным параметром мо: и»» ~7» — и» + А,и»»~7»+ Ахи» = У шо (24) и»ь! и»»1/2 + А~и»ы7»+ А»о»ь~ = У ыо 306 Пгава 6. Экономичные розностные схемы Скорость сходимости итерационного процесса (24) определяется (см. п.4.6) постоянными >Ь„б, а = 1, 2 в неравенствах: б„Е ( А,„( Л,Е> б„„> 0> а = 1, 2. Уменьшение нормы погрешности определяется величиной (25) Для слагаемых (22) сеточного оператора Л имеют место (см.
п.4.7) неравенства типа (25): б~Е<Л <Л Е, б >О, а=1,2, (26) где ба =0(1), Ьа = 0(Ь,> ), а= 1,2. (27) Из (24)-(26) непосредственно следует ппп Ь(х) б1 —— ф + обн т гпах Ь(х) Ь| =,0 + оган т ппп Ь(х) б, = (1 -,О) + обп т шах Ь(х) >-~2 — (1 /3) + оЛ2. (28) (29) пип Ь(х) 1гпг ба =, г-о ' гпах Ь(х) и дл» задач теплопроводности с непостоянной теплоемкостью скорость сходимости итерационного метода будет конечной при уменьшении шага по времени.
Поэтому при разложении (23) необходимо выбрать либо !9 = О, если б>/Л» бг/Ьз, либо б =! при б /Ь! < бг/Й. 0.1.4. Попеременно-треугольный метод Среди итерационных методов решения сеточных эллиптических задач выделяется попеременно-треупгльный метод, лля которого число Исходя из (28), (29) получим соответствующие выражения для б, = б,/Л, а = 1, 2.
Как и ранее, при т = 0(Ь) имеем б, = О(Ь), а = 1, 2 и 6„= О(1), а = 1, 2 при т = 0(Ь~). Для числа итераций справедливы те же заключения, что и в ранее рассмотренном случае итерационного метода с диагональным сеточным оператором В. Например, при т = 0(Ь) справедлива оценка, аналогичная (20). Для исследуемого итерационного метода переменных направлений (24) полезно отметить следующее обстоятельство, которое касается выбора параметра )3 в разложении (23).
При т -> 0 естественно ожидать увеличения скорости сходимости. Однако это имеет место только при выборе,д = 0 или,О = 1. При О <,0 < ! из (28), (29) следует б.1. Вычиклиягельная реализация неявных схем 307 итераций пропорционально корню квадратному из числа узлов по одному направлению. Рассмотрим возможности этого метода применительно к рецгеиию задачи иа верхнем слое при реализации неявных схем для уравнения теплопроводиости. Будем считать, для простоты, что рассматривается уравнение (7) с постоянными коэффициентами сеточного оператора (8), т.е.
со А = — Е+ вйоА (30) т где А — сеточный оператор Лапласа. В этих условиях поперемеиио-треугольиый метод соответствует выбору оператора В в (10) в виде В = (Е+ ыоА~)(Е+ ыоАг), (31) где 1и (2е ') б по(е) (2 2гД гУ4) ~ бг где б и г5 — положительные постоянные в операторных неравенствах Ь АгАг ( — А. (34) Для получения этих оценок для оператора (30) воспользуемся соответствуюгцими оценками для оператора Лапласа (см. п.4,7): А ) бЕ, Ь А) бЕ, АгАг( — А, 4 (35) где б = О(1), г."ь = О(гй( г). (36) Принимая во внимание (30), (32) и (35), для постоянной б в неравеистве (34) получим ко б = — + кгйоб.
т С учетом (32), (34) и (35) имеем г" ко АгАг = 1 — Е+ ойоАг) ~ — Е+ вйоАг 1,2 ) ч2т * ко г ко * Ь вЂ” ~ Е+ ггйо — (А~ + Аг) + (ггйо) АгАг ( — + ггйо — А, 2т 2т ~2т 4У А=Аг+Аг, А, =А',. Принимая во внимание (30), получим Аа = Е+вйоАа~ а = 1,2. (32) 2т Для числа итераций поперемеиио-треугольного метода (10), (31) имеет место (см. п.4.7) оценка 308 унгава б.
Экономичные розносмные схемы и тем самым г, ьх = — + а/соьь (38) Из (37), (38) и (Зб) следует, что 9 = о/Л = О(/Ь! 'т), поэтому для числа итераций попеременно-треугольного метода получим йм по(е) = О~ — !и-). — ~,(Ь! з е) (39) В силу оценки (39) при т = О(Ь) число итераций будет пропорционально только Ь ч'. Такая слабая зависимость от сетки по пространству служит хорошим основанием нсяользовання попеременно-треугольных методов, а равно и других быстрых итерационных методов решения сеточных уравнений для реализации неявных схем для нестационарных задач математической физики. В настоящее время вопросам итерационной реализации неявных схем уделяется все большее внимание. 6.1.б. Итерационные методы с эллиптическим оператором .В Остановимся отдельно на использовании в качестве оператора В итерационного метода (10) сеточного эллиптического оператора с постоянными коэффициентами, т. е.
В =дА+г1Е (40) к~ А < Л < кзА. (41) Пусть в рассматриваемой разностной схеме (!)-(3) 0 < Ь| < Ь(х) < Ьз. Поэтому для оператора А, определяемого согласно (8), с учетом (41) имеем Ьг ь, А < — Е+ акзА, А > — Е+ ак~А. (42) т т Для оценки скорости сходимости итерационного метода (!0), (40) необходимо найти постоянные 7о, а = 1,2 в (!2). В частности, можно поставить задачу оптимального выбора параметров д и И в (40).
Рассмотрим в качестве примера случай задания В согласно (40) с А = О, положив д = 1, т.е. В = А. На основании оценок (42) и бЕ < А < ЛЕ получим в (12) 7~ = — (гх) + акн т Ь 7з = — (Ь) + акь с некоторыми постоянными д > 0 и А > О. Для обращения оператора В можно использовать быстрые прямые методы (см. п.4.5). При 0 < к~ < о,(х) < кз, х б ы оператор Л энергетически эквивалентен сеточному оператору Лапласа, т.е. 309 6.1. Вычислительная реализация неявных схем Отсюда следует, что лля ( = Ъ/ уз имеем 11ш( = — ' д(Ь) ' = О(~Л!').
о Ь~+Ьз к, +ко В= — Е+о А, 2т 2 (43) т.е. в (40) Ь! + Ьз к~ + кз И= —, о=а 2т ' 2 В случае (43) из неравенств (42) следует двухстороннее неравенство (12) с Г 2Ь| 2к1 т~ —— пип4, 1, 7з — — 2. (44) ( Ь~+Ьз' к, +к,! ' На основании (44) можем заключить, что скорость сходимости итераци- онного процесса (12), (42) не зависит от шагов сетки по пространству и времени и определяется только перепадом коэффициентов теплопро- водности и теплоемкости. 6.1.6. Задачи Задача 1.
С4юрмулируйте сеточную зллинтичесхую задачу на верх- нем слое нри использовании трехслойных схем с весами для уравнения теилонроводности. Решение. Для определения р„~~ получим уравнение (7) с (см. 5.3) оператором дЬ(х) А = — +о|Л. т В частности, реализация симметричных трехсяойных схем связана с обращением сеточного эллиптического уравнения Ь(х) А = — Е+аЛ. 2т Для класса неявных трехслойных разностных схем имеем дЬ(х) А = — +Л. т В силу этого приведенные выше рассуждения о зависимости скорости сходимости итерационного процесса от шага по времени остаются в силе.
Тем самым выбор В = А абсолютно непригоден для реализации неявных схем. Примером значительно более удачного выбора может служить зада- ние ЗГ0 Глава б. Экономичные разностные схемы Задача 2. Приведите простейшие оценки согласования точности ите- рационного процесса реализации неявной схемы с погрешностью аппрок- симации. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
