Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Экономичные разностные схемы 322 Факторизованную схему запишем в ниле учч-1 у» В,В, " = .Р(у„ и у„, р„), т (30) где с учетом (28), (29) положим ВЛ вЂ”вЂ” Е+ 2тЯр, )3 = 1,2. (31) Пусть снова операторы КЛ, )5 = 1,2 являются самосопряженными, неотрицательными (йд —— гсд > О, !3 = 1,2) и перестановочными (Я!тсз = Кзгс|). Будем считать, что для исходной разностной схемы выполнены условия устойчивости схемы (27) с А = А' > О, т. е. (см. п. 5.4) выполнено неравенство ! гс > -А.
4 Покажем, что в этих условиях устойчива н факторизованная схема (30). Для этого запишем ее в каноническом виде (32) В В +Ау = и=! 2 (33) 2т тз Непосредственные выкладки дают В = Е+ 2т К~Из, Л = К+ тй~йы (34) В силу этого достаточные условия устойчивости схемы (33) при предпо- ложении (32) выполняются, так как ! В > Ж, Я > гс > -А. 4 Учн У -1 2 +Я(у ! 2У +у»- ) +Луп = !оч 2т хЕы, п=!,2,.... (35) В качестве регуляризатора К выберем аА.
Регуляризованная схема (35) устойчива при выполнении неравенства а > кз/4. В этих же условиях будет устойчива и факторизованная схема (33), (34), где А,зу = -у;,, )3 = 1, 2. Аналогично рассматриваются трехмерные задачи. В качестве иллюстрации полученного результата построим факторизованную схему на основе следуюшей регуляризованной (см. п. 5.8) схемы для задачи с Ь(е) = 1: 323 6.4. Аддитивные разностные схемы 6.3.6. Задачи Задача 1. Исследуйте устойчивость факторизованной схемы (1), (3), (4) ири услтти, что А=Л, Л=Л~+Лн Л~ =Лз. (36) Решение.
Для оператора В с учетом (3), (4), (36) имеем В = (Ь(х)Е+ атЛ1)Ь '(х)(Ь(х)Е+ атЛз) = = (Ь(х)Š— атЛ1)Ь '(х)(Ь(х)Š— атЛз) + 2ат(Л, +Лз). (37) В силу сопряженности операторов Л,з, 77 = 1, 2 (см. (36)) из (37) следует В > 2атА, (38) и поэтому факторизованная схема (1) будет устойчива при а > 0,25. Заметим, что оценка (38) получена нами ранее в п. 4.7 при рассмотрении попеременно-треугольного итерационного метода. Задача 2. Постройте факторизованную схему на основе неявной трехслойной схемы второго иорядка точности ио времени и иространству (Бейкер и Олифант): +Ар„ь| — — 1г„, хбы, н=1,2,....
(39) 2т Решение. Схема (39) имеет вид (28) с оператором гс = (1/3)А. Факторизованная схема строится в соответствии с (30) и (31), причем Арр = — ря лт )3 = 1, 2. Сама факторизованная схема принимает вид Зр„„-4ря+ р„, (. 2 2т + А+ -тА1Аз Рьь~ = 1аь 3 (40) хбы, н=1,2,.... Учитывая свойства положительности, самосопряженности и перестаноа вочности операторов Ар, )3 = 1, 2 легко проверяется условие устойчивости схемы (4).
ь 6.4. Аддитивиые разностные схемы 6.4.1. Аддитивиое расщепление оператора теплопроводиости Следует заметить, что проблема построения экономичных разностных схем для обшил трехмерных задач теплопроводности не решается 324 Тйава б. Экономичныеразноетные схемы на основе использования факторизованных разностных схем и схем переменных направлений. Устойчивость этих схем удается показать в случае переменных коэффициентов только в двумерном случае. Поэтому возникает необходимость рассмотрения экономичных разностных схем для многомерных задач с более общих позиций, требуется пересмотреть само понятие аппроксимации разностных схем.
Будем рассматривать общее многомерное уравнение теплопроводности в изотропной среде ди с(х) — + Ьи =,Г (х, 1), (х, 1) Е 1Г, (1) где д г' ди'з Ьи ив а — ~ — ~й(х) — ~. дх. 1, дх./' «=! (2) Дополним (1), (2) условиями и(х,г) =О, хб Г, (3) и(х, 0) = ие(х), х Е П. (4) Дискретизация (1) — (4) по пространству приводит нас к дифференциально-разностной задаче Ие Ь(х) — +Ли =ф(х,1), хны, 0 <1<Т, (5) е(х,1)=0, хбды, 0<1<Т, (6) о(х, 0) = иа(х), х Е ы.
(7) Определим через Л„а = 1, 2,..., т разностный оператор теплопроводности по направлению х, следующим образом: й о= — (а (х)е-,.),, а=1,2,...,т, (б) Тогда оператор Л представляется в виде суммы одномерных операто- ров Л„, а=1,2,...,т: Л=й,+Л,+...+й„. (9) Разностные схемы, в которых переход с одного временного слоя на другой связан с решением последовательности задач для операторов Л, а = 1, 2,..., т, будем называть одднтивнымн розностными схемами. Рассмотренные выше в п.6.3 примеры экономичных разностных схем относятся к классу аддитивных разностных схем.
В (9) проведено расщепление оператора й на одномерные сеточные операторы Л„а = 1, 2,..., т. В качестве простейших операторов могут быть взяты и другие операторы. Например, ранее рассматривались схемы с расщеплением на треугольные операторы. При рассмотрении более общих нестационарных задач операторы Л«, а = 1, 2,..., т могут нести и другую смысловую нагрузку. В общем рассмотрении аддитивных Разностных схем можно отвлечься от конкретного содержания отдельных операторов Л„а = 1, 2,..., т в разложении (9). 325 0.4. Аддитиеные разнося(ные схемы ~,( — +и. — ю'(*,ю() =ю, /Ь(х) ((е 41 (10) хбыю 0<Ф<Т.
Здесь фа(х,() — произвольные функции того же класса гладкости, что и ф(х, 1), удовлетворяющие условию Е ф (х, ) = ф(., ) (11) а=1 В соответствии с (!0) будем решать последовательно слелукицие промежуточные задачи. Вспомогательные функции а'(х,() определяются из уравнений Ь(х) де' — — +Л16 — ф((хю() =О, (п <1<(п+1/,„ю Ь(х) ((е — — + Лае' — ф'(х,1) = О, гв (В (пь( 1)/юп < 1 < 1п+а/„ю (12) Ь(х) де — — + Л~е~ — ф~(х, 1) = О, гп 41 (п+Ьп — 1)/юп < Й < Фп+(ю хЕы, и=0,1,.... Начальные условия для (12) имеют вид е'(х, 0) = ие(х), е'(х, (п) = е~(х, Еп), и = 1, 2,..., а а-(ю (хю (п+(а-1)/пю) — е (хю (а+(а-1)/пю)ю а = 2, 3, ..., гп, и = О, 1, ...
. В качестве приближенного решения задачи (5) — (7) на моменты времени Й = („ выступает е (х,(„). (13) 6.4.2. Промежуточные задачи Обсудим основные подходы к построению аддитивных разностных схем. Для этого необходимо сформулировать вспомогательные задачи с операторами Л„а = 1, 2,..., пг адаптивного расщепления (9), решение которых даст приближенное решение исходной задачи (5)-(7). Для построения аддитивных схем используются два основных подхода: аддитивные схемы с дробными шагами по времени и адаптивные схемы с целыми шагами. Пусть для приближенного решения задачи (5) — (7) введена сетка по времени ы, = (1 ! 1 = 1п = пт, и = О, 1,, ЛГ, Лгт = Т) с шагом т > О.
Каждый полуинтервал (1п, (п+1) разобьем на ги частей, введя точки (п+а/ = 1„+ат/ти. Уравнение (5) с учетом аддитивного представления (9) оператора Л запишем в виде 32б Пава 6. Экономичные разностныг схемы Промежуточные задачи (12), (13) решаются на отдельных частях полуинтервала (1„, 1„~1], поэтому разностные схемы, построенные на основе (12), (13), можно назвать аддитивными разностными схемами с дробными шагами. Второй способ построения аддитивных схем основан на решении вспомогательных задач на всем временном полуинтервале (1„, 1„+ ~] (аддитивные разностные схемы с целыми шагами).
Для определения функции е (х, !) используются уравнения Ь(х) — "" +Лге ф(х,!) =О, 1„<$„„, 4! де Ь(х) — +Л е» вЂ” ф»(х, Е) =О, 1„< Ф < 1„.ы, (!4) 6.4.3, Понятие суммарной аппроксимации Выше мы отметили близость приближенного решения, получаемого из решения группы промежуточных задач (!4)-(15!. к решению зала- де Ь(х) — + Л е — ф™(х, !) = О, 1„< ! < 1„+н 41 хбы, п=0,1, дополненного начальными условиями е'(х, 0) = ио(х), е'(Х,1„) = е (Х,1„), и = 1, 2,..., (15) е'(х,1») = е '(Х,1„~1), а = 2,3,...,пг, п = О, 1,....
При реализации (14), (15) сначала решается уравнение для е'(х, !) (а = 1 в (14)) при начальном условии е'(х, 1„) = е~(х, 1„) и находится е'(х, !»+~), которое используется в качестве начального для определения е~(х, !) и т.д. За приближенное решение задачи (5) — (7) на момент времени 1„+~ принимается е (Х,1»„~). Следует заметить, что междудвумя рассматриваемыми подходами для построения алдитивных разностных схем ((12), (13) и (14), (15)) имеется тесная связь. При условии, что коэффициенты сеточного уравнения (5) не зависят от времени, а правые части ф'(х, !) = О, задачи (12) (13) и (14), (15) просто совпадают друг с другом. Именно такая ситуация имеет место в нашем случае задачи теплопроводности в неоднородных средах (уравнение (1), (2)) при моделировании процессов теплопроводности без внутренних источников тепла (7(х,!) = 0 в (1)).
В более общих ситуациях предпочтительнее использование второго варианта с решением вспомогательных задач на целых временных шагах. Встает вопрос о точности, с которой система уравнений (!4), (15) позволяет найти приближенное решение задачи (5)-(7). Для этого при- ходится расширить понятие аппроксимации. 327 6.4. Аддитивные розностные схемы (17) Принимая во внимание е(х, С„+1) = е(х, С) + 0(т), а=2,3,...,ги, С„<С<С„+1, получим ф (х,С) =ф (х,С)+ф (х,С), ф'(х,С) =0(т), ~а а !Се фа(х, С) = ф'(х,С) — Л е(х, С) — б ! —, где б,! — символ Кронекера. На решениях задачи (5) — (7) Уа а! а! гСе ф'(х, С) = ~~! ' ф'(х, С) — ~~! Л,е — Ь(х) — = О, =! —. ! чи (5)-(7).
Каждая отдельная промежуточная задача не аппраксимирует исходную задачу (не дает приближенное решение) и только последова- тельное решение всех промежуточных задач с их согласованием через начальные условия позволяет получить приближенное решение. Поэтому в этом случае говорят о том, что задача (14)-(15) аппроксимирует (5)-(7) в суммарном смысле (суммарная оннроксимоция). Рассмотрим погрешность е'(х! С) = е'(х! С) — е(х, С), Са < С ~ ~Са,! ! яа(х, С) = е'(х,С) — е(х,С„а1), С„< С < С„+1, а = 2,3,,т. Сформулируем соответствующие задачи для погрешности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
