Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Здесь приведена конкретизация результатов общей теории устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности. Содержание тесно примыкает к книгам [12-16]. Исследование различных разностных схем для нестационарных задач теплопроводности другими методами имеется в [2, 4, 9-11,18]. Понятие асимптотической устойчивости введено в [16].
В [14, 16] приведены примеры асимптотически устойчивых разностных схем. В частности, проведено изучение обычных схем с весами для уравнения теплопроводности. Здесь асимптотическая устойчивость связывается с р-устойчивостью разностной схемы, причем величина р ( 1 согласована с асимптотическими свойствами дифференциально-разностной задачи. Исследование устойчивости трехслойных разностных схем для гиперболического уравнения теплопроводности проведено на основе общей теории устойчивости.
Аналогичные разностные схемы для телеграфного уравнения, подобного гиперболическому уравнению теплопроводности, исследованы в [16]. Принцип регуляризации как общий методологический прием построения и исследования разностных схем предложен А. А. Самарским в 1967 г. и обсуждается в [14]. Здесь он использован для построения безусловно устойчивых разностных схем на основе исходных условно устойчивых или неустойчивых разностных схем. Другие применения принципа регуляризации нашли отражение в других частях работы. Нелинейные краевые задачи теплопроводности рассматриваются во многих оригинальных работах.
В частности, книга [17] посвящена исследованию процессов для так называемых режимов с обострением. Теория квазилинейных параболических задач отражена Зоо !. 3. 5 6 7 8 9 10 !! 12 13 !4 15 !6 !7 18 19 20 21 Глава 5. Нестационарные задачи теплопровадности в книге 18]. Разностные методы решения нелинейных запач теплопро- водности рассматриваются в [5, 20). Мы ограничились изложением лишь отдельных моментов построения н исследования нелинейных разностных схем. 5.10.2.
Литература Бахвалов Н. С'., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. Мл Наука, 1987. Вазов В„Форсайт Дхс. Разностные методы решения дифференииальных уравнений в частных производных. Мл ИЛ, 1963. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Мл Наука, !976. Дьяконов Е. Г. Разностные методы решения краевых задач. Нсстадионарные задачи. Мл Изд-во МГУ,!972. Вып.2. Карчевский М. М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных залач математической физики. Казань: Изд-во Казанского государственного уни- верситета, 1976, Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых простран- ствах.
Мл Наука, 1967, Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Мл Наука, 1973. Ладызкенская О.А., Саланникав В. А„Уральцева Н. Н. Линейные и квазили- нейные уравнения параболического типа. Мл Наука, 1973. Марчук Г. Н. Методы вычислительной математики. Мл Наука,!989. Рихтиаиер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. Мл ИЛ, 1960. Рихтмайер Р., Мортон К Разностныс методы решения краевых задач. Мл Мир, !972. Самарский А.А.
Введение в теорию разностных схем. Мл Наука, ! 971, Самарский А. А. Введение в численные методы. Мл Наука, 1987. Самарский А. А. Теория разностных схем. Мл Наука, !983. Самарский А.А., Гулин А. В. Числе иныс методы. Мл Наука, 1989. Самарский А. А,, Гулиа А. В. Устойчивость разностных схем. Мл Наука, 1973. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С П., Михайлов А. П.
Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. Мл Наука, 1987. Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. Мл Физматгиз, 1960. уйханав А. Н., Самарский и.А. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1972.
Федотов Е. М. Разностные схемы для нелинейных нестаиионарных залач. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, !987. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Мл Мир, 1968. Глава 6 Экономичные разностные схемы нестационарной теплопроводности В главе 5 построены классы двухслойных и трехслойных разностных схем для двумерного уравнения теплопроводности. При использовании неявных разностных схем для нахождении решения на новом временном слое приходится обращать сеточный эллиптический оператор.
С этой целью используются те или иные прямые и итерационные методы решения сеточных эллиптических задач. Вычислительные затраты в этом случае могут значительно превосходить затраты при нахождении решения по явной схеме. Для явных схем число арифметических операций, приходящихся на один узел сетки, не зависит от общего числа узлов, т. е, вычислительная работа асимптотически оптимальна. Такие разностные схемы называют экономичнымя разностными схемами. Но явные разностные схемы имеют достаточно жесткие ограничения по устойчивости на допустимый шаг по времени.
Для рассмотренных выше неявных разностных схем в многомерных нестационарных задачах аналогичные характеристики вычислительных затрат, вообще говоря, не достигаются, но среди этих схем есть и классы безусловно устойчивых. Поэтому встает проблема построения разностных схем, которые по вычислительной реализации были бы аналогичны явным схемам, т. е.
экономичными, и в то же самое время были бы абсолютно устойчивы, т. е. в этой части сохраняли бы качество неявных схем. Обсуждению проблемы устойчивых экономичных разностных схем для уравнения теплопроводности посвящена данная глава. Рассматриваются проблемы вычислительной реализации неявных разностных схем для многомерных нестационарных задач. При итерационном решении сеточных эллиптических задач на верхнем временном слое скорость сходимости зависит не только от шагов по пространству, но и от шага по времени.
Примерами простейших экономичных разностных схем для уравнения теплопроводности могут служить хорошо известные схемы переменных направлений. Следует заметить, что метод переменных направлений плохо обобщается на случай трехмерных задач с неразделяющимися переменными. 302 йгава б. Экономичные разноенгные схены Для построения экономичных разностных схем широко используются факторизованные схемы, в которых оператор на верхнем временном слое представляется в виде произведения экономичных операторов. Такие схемы могут строиться на основе принципа регуляризации разностных схем. Рассматриваемые экономичные схемы относятся к классу адаптивных разностных схем. Они характеризуются тем, что определяющий сеточный оператор (в нашем случае — оператор теплопроводности Л) представляется в виде суммы нескольких операторов более простой структуры, например, в виде суммы одномерных сеточных операторов. На основе понятия суммарной аппроксимации строятся и исследуются общие классы аддитивных разностных схем.
На основе общих результатов теории алдитивных схем анализируются двухслойные и трехслойные экономичные разностные схемы для уравнения теплопроводности. Расщепление на сумму одномерных сеточных операторов приводит нас к локально-одномерным разностным схемам.
Отмечены другие возможные направления построения алдитивных разностных схем нестационарной теплопроводности. 6.1. Вычислительная реализация неявных схем 6ЛЛ. Сеточная эллиптическая задача В качестве примера будем рассматривать обычнуюдвухслойную схему с весами для уравнения теплопроводности (см. и. 5.3) при моделировании процессов теплопередачи в прямоугольной области й: Ь(х) +Л(еУьы+(1 — а)У„) =!а„, хбы, п=0,1,..., (1) ук.м(х) = д(х, 1„.,~), х Е ды, (2) уе(х) = ве(х), х Е ы.
(3) Эта схема имеет погрешность аппроксимации 0(т" + )Л)~), где и = 2 при о=0,5 н и=1,если о Ф0,5. Пусть Л вЂ” постоянная в неравенстве Л < ЛЬ(х)Е, (4) тогда (см. п. 5,5) схема с весами (1)-(3) устойчива при выполнении неравенства ! 1 я) (5) 2 Лт Для нахождения решении на новом временном слое из (!)-(3) получим сеточную эллиптическую задачу (о.
) О) для уравнения ( Ь(х) — + о.Л) у„е1 = Ь„, х Е ы, (б) т 303 6.1. Вычислнтельная реалнзацня неявных схем 6.1.2. Явный итерационный метод Запишем сеточную эллиптическую задачу (2), (6) в виде операторного уравнения Ае = у (7) в гильбертовом пространстве сеточных функций, заданных на Р и обращающихся в нуль на ды. 2(ля оператора А имеем представление А = — Е+ аЛ. Ь(х) (8) т В силу такого представления А = А' > 0 (9) прит>Она>0.
Для приближенного решения задачи (7) будем, для определенности, рассматривать двухслойный итерационный процесс с чебышевским набором итерационных параметров ть. В +Аея= У, 6=01, (10) При В = В* > 0 и выполнении двухстороннего операторного неравенства (12) (9)-(11), не- 7~В <А<7зВ, 7~ >О для числа итераций чебышевского итерационного метода обходимых для достижения относительной точности е, (см. п.4.6) оценка п > пь(е) = 1п(2е ') 1п(р, ') ' справедлива (13) где 1 б!/з р~ = 1+бц" 7 ' В силу (13), (14) при итерационном решении залачи (7), интерес представляет зависимость 6 от т и а.
(14) (8) основной дополненного краевым условием (2). Правая часть (б) имеет вид г" Ь(х) Ь„= ( — — (1 — а)Л д„+~р„. т Сеточная эллиптическая задача (2), (6) характеризуется явным присутствием временного шага т и весового параметра а. Поэтому представляется целесообразным исследовать скорость сходимости итерационных методов лля задачи (2), (6) от этих параметров. ЗО4 11~вал б. Экономичные разнос»нные схемы В качестве простейшего примера рассмотрим итерационный процесс, когда в качестве оператора В берется (см.
п.4.7) диагональная часть оператора А. Для сеточного оператора (8) диагональная часть Р = б(х)Е имеет вид и а(х) = — (а1(*1 + Ьнхо)+ а1(хи хз)) + 1 и б(х) + — (аз(хи хз+ Ьз) + аз(хи хо)) + —. (15) Ьз т Приведем оценки для постоянных 7, а = 1, 2 в неравенстве (12) при выборе В = Р. Как и ранее (см. п.4.7) имеет место равенство 7~+7г = 2. (1б) Для оценки 71 подобно рассмотренному ранее в и.4.7 предельному случаю и = 1, т = оо используются решения одномерных трехточечных задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
