Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В (!2) операторы В, В и А самосопряженные, причем А > О. Проверим выполнение условий устойчивости разностной схемы (11) по начальным данным, которые имеют вид 1 В> -А. 4 (13) Из (12), (13) следует, что устойчивость схемы (11) будет иметь место при 1 а~ — аз > —— 1 1 / 2У' 1 У (14 а,+,>- — — (гв — !+ — ~, в>- — —. г т)' 2 т В частности, из (14) следует абсолютная устойчивость при обычных (см. п. 5.5) ограничениях на веса 282 Пгава 5. г1естационарные задачи теплопроводности 5.7.3. Симметричные схемы Среди схем с весами выделим однопараметрическое семейство симметричных разностных схем, для которых 6=-, 1 2' (16) о! =из =о, запишем симметричную разностную схему (11), (16) при о = 0,25 в виде ш + з! 6+о Ь(х) + ггь(х)ш! + Л вЂ” = 9з.
2 2 Принимая во внимание очевидные равенства т т 6+ о = — (гЬ вЂ” ш), 6 — е = — (тб+и!), 2 2 (19) домножим скалярно в Н разностное уравнение (!9) на ш+ ш: ш+ш и!*>,ч~ ) +ч!и! ! ьч.~ 1+ 1 + — (Л(6+о),6 — е) =(<р,ш+ш). (20) т Для правой части используется оценка гЬ+ш 'г 1 (,.
а + ! < (1!.! , , а ) + ! !1- !*),, ! РО Принимая во внимание, что для самосопряженных операторов !1 справедливо равенство (ге(х! + лз)) х! х!) = (гез!~ х!) (чтзп хт)~ из (20), (21) получим )г(Ь(х)гЬ, гЬ) + (Л6, 6) < У(Ь(х)ш, ш) + (Ле, е) + — (Ь '(х)гр, !р). (22) В этом случае разностная схема (!1) имеет погрешность аппроксимации фч = О(т + (гг!~). При выполнении (16) условие устойчивости (14) принимает вид ! й о>- — —. (17) 4 1лт' В частности, симметричная явная схема (о = О) условно устойчива: тт < 4)г/Ь, т, е. при т < О(!л!), Приведем разностный аналог априорной оценки (9), (!0) для симметричной схемы (! 1), (16) в случае о = 0,25.
Вволя обозначения 1 2 (18) 283 1 5.7. Гиперболическое уравнение теплопроводности ~ С учетом обозначений (18) из (22) получим неравенство и 3 41 ~ ~3~+ ~~' (Ь (х)ры Згя), и=1 , где (23) 3„= У(Ь(х)у4- уг)+ ~Л, ). Г у+у у+у~ (24) Неравенство (23) является разностным аналогом (9), а норма (24) согласована с нормой (10) дифференциальной задачи. Полученная оценка обеспечивает устойчивость по начальным данным и правой части. Поэтому для симметричной схемы непосредственно установлена сходимость к точному решению в достаточно простых нормах. Это же замечание относится и к соответствующей разностной схеме для обычного уравнения теплопроводностн (У = 0 в (! 1)).
5.7.4. Задачи Задача 1. Постройте для гиперболического уравнения теплопровод- ности (1), (2) разностную с~ему четвертого порядка аппроксимации по времени. Решение. Разлагая в точке (х,1„), х б ы, имеем д 2 дз д2 2 д4 а = — + — — + 0(т ), а;, = — + — — + О(т ). 1 д1 6 д12 ' ' д22 12д14 Поэтому да дга с(х) — + Ус(х) — + ба — /(х, 1) = Ь(х)а.
+ УЬ(х)ай + Ла— т да т д4а — Ь(х) — — — УЬ(х) — — — р+ 0(т4+ ~Ц2) дгз 12 д24 (25) Из уравнения (1) следует Дза Д и Да ДГ Ус(х) — = — с(х) — — à — + —, д13 д42 дг д4 ~ д"а д и дга ди дг д г Угс(х) — = — УБ — + с(х) — + Ь вЂ” — — + У вЂ”. Д14 ДФ2 Д22 Д1 Д2 ДП ' Поэтому (25) позволяет написать следующую разностную схему 2 Ь(х) у + УЬ(х) у12 + йу + — (Ь(х) уи + Лу;) + т т т 2 + — ((Уй — Ь(х))уй — йу.) = 42+ — Г. + — Ло (26) ' 12У 12У ) 12У В силу проведенных построений разностная схема (26) имеет погрешность ' чппроксимации 0(т4+ /Л12).
284 Бьава 5. Нестаиионарные задачи теплопроводности ! Задача 2. Исследуйте устойчивость разностной схемы повышенного порядка аппроксимации по времени схемы (26). Решение. Схема (26) записывается в каноническом виде с операто- рами тг В = Ь(х)Ж+ — Л, А = Л, 12У /У11! Л = ~ — + — ~Ь(х)В+ — Л. ~,т' 12У( 12 Условие устойчивости преобразовывается с учетом неравенства Л < ЛЬ(х)Е следующим образом: Л вЂ” -А = — + — Ь(х)Š— — Л > — + — — — — Л > О.
Тем самым устойчивость имеет место прн выполнения неравенства Отсюда видно, что при У < 1/(2Л) рассматриваемая разностная схема устойчива. 5.8. Регуляризация разностных схем 6.8.1, Принцип регуляриаации Построение и исследование устойчивых разностных схем проводится на некоторых общих положениях. Таковым при построении разностных схем является принцип консервативности, который базируется на требовании выполнения законов сохранения для дискретного аналога дифференциальной задачи. Построение устойчивых разностных схем для эволюционных задач может основываться на принципе регуляризации разностных схем. Принцип регуляризации для построения итерационных методов обсуждался в п.4.7.
Принцип регуляризации разностных схем может рассматриваться как общее правило улучшения качества (устойчивости, точности и т.д,) разностных схем. Он основан на улучшении качества простейшей разностной схемы за счет возмущений сеточных операторов. Первичная (производящая) разностная схема записывается в канонической форме, а возмущение операторов проводится с учетом общих условий устойчивости. Сами условия устойчивости, сформулированные в виде операторных неравенств, указывают путь улучшения разностных схем.
Принцип регуляризации разностных схем является общим методическим приемом. Технологическая сторона этого принципа заключаетсп 285 5,8. Регуляразаяил разнасгнных схем в следующей последовательности его использования. Построение устой- чивых разностных схем осуществляется в несколько этапов. 1. Для исходной дифференциальной задачи записывается простейшая разностная схема. Эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу, но не принадлежит к классу безусловно устойчивых. 2. Исходная разностная схема записывается в каноническом виде. 3. На основе общих условий устойчивости возмущаются сеточные операторы разностной схемы без нарушения условий аппроксимации. Этим достигается построение класса устойчивых регуляризованных разностных схем. 8.8.2.
Регулярнаация двухслойных рааноетнык схем Снова (см. и. 5.3) рассматривается краевая задача теплопроводности ди с(х) — + Ьи = з (х, 1), и(х,1) = О, и(х, 0) = ио(х), (1) (2) (3) (х,1) Е Ч, хЕГ, хЕЙ, где д / д~ Ви = — ~~, — ( го(х) — ). дх. (, д*.)' (4) В соответствии с принципом регуляризации разностных схем возьмем в качестве исходной простейшую явную разностную схему б(х) +Лу„=ро хЕы, п=О 1,..., (5) т уо(х) = ио(х), х Е оз. (6) В (5) оператор Л определен на множестве сеточных функций, обращаю- щихся в нуль на ды и, например, Лу = — У (а,(х)о-)...
х Е ы. (7) а=! Разностная схема (5)-(7) аппраксимирует исходную краевую задачу (1)-(4) с точностью 0(т+ 1Ь1з). Она принадлежит к классу условно В дальнейшем принцип регуляризации будет применяться для построения экономичных разностных схем при решении многомерных задач. Этот подход применяется также при построении устойчивых разностных схем для некорректных (обратных) задач для эволюционных уравнений. Здесь мы проиллюстрируем принцип регуляризации для получения устойчивых разностных схем.
286 П~ава 5. Неетационарные задачи теплопроеодноети устойчивых, а именно, (см. п. 5.5) устойчивость имеет место при 2 т < те — — —, (8) где Л вЂ” постоянная в неравенстве Л < ЛЫх)Е. (9) Будем строить абсолютно устойчивые разностные схемы на основе условно устойчивой разностной схемы (5)-(7). В соответствии со сформулированным принципом регуляризации запишем схему (5) в каноническом виде двухслойных разностных схем (! 0) т Для сеточных операторов В и А имеем В = Ь(х)Е, А = Л.
(11) Регуляризация основана на переходе от исходной разностной схемы к некоторой другой (возмущенной) схеме. Пусть К = 'Е.* > 0— регуляризирующий сеточный оператор, через а обозначим параметр регуляризации (возмущения). Для устойчивости разностной схемы (10) в Нл, где А = А' > 0 (в Нв при В = В' > 0) необходимо и достаточно выполнение условия в=0,1, (14) В > — А. 2 (12) Регуляризацию в соответствии с необходимым и достаточным условием (12) естественно связать с апдитивным возмущением сеточного оператора В. Поэтому регуляризованную схему для (5) запишем в виде (Ь(х) + ай) "+ + Лр„ = !о„, х б ы, и = О, 1,....
(13) т Для регуляризованной схемы (13) имеет место следующее утверждение. Для сохранения аппроксимации необходимо выбрать параметр возмущения гч = О(т). Покажем, что разностная схема (13) безусловно устойчива в На и Нв при выборе регулярнзатора Я. = Л, если т 1 а > — — —. 2 Л Доказательство этого базируется на проверке необходимого и достаточного условия устойчивости (!2).
В случае схемы (13) имеем В = Ь(х)Е+ а'Е,, А = Л. (15) С учетом (9) при К = Л подстановка (!5) в (12) дает — + а — — Л > О. Отсюда и следует доказываемое утверждение. 5.8. Регуляризация разнаопных схем Заметим, что регуляризация (13) с гс = Л соответствует не чему иному, как применению обычной схемы с весами (а = ат), а условие (14) есть условие устойчивости схемы с весами (см.
(11) в 5.5). Естественно, что регулярнзатор Я может выбираться по-разному. Среди этих возможностей отметим выбор гс = Лз. Для такого регуляризатора неравенство (!2) преобразуется следующим образом: 2  — — А = Ь(х)Е+ аИ вЂ” -И = 2 2 хз l 2 пч т т а Л вЂ” — Е) + ~Ь(х) — — )Е>0. 4а'/з,г' ~, !ба у тз Отсюда и следует, что при В = Л и а > —, са —— ппп с(х) регуляризо1бсь ' ванная разностная схема (13) абсолютно устойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
