Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Как и в случае двухслойных разностных схем спектр оценок устойчивости по правой части может быть существенно расширен, в частности за счет использования различных норм двя правой части разностной схемы (29), (30). 5.4.7. Задачи Задача 1. Дяя разностной схемы (1), (2) с положительными операто- рами А и В при выполнении условия (8) получите методом энергетиче- ских неравенств оценку устойчивости по начальным данным в Нв. Приведем некоторь1е оценки устойчивости трехслойной разностной схемы (29), (30) по правой части. Простейшие оценки можно получить на основе записи трехслойной разностной схемы (29) в виде эквивалентной двухслойной разностной схемы (задача 2 из п.
5.2) 265 5.4. Теория устойчивости разностных схем Принимая во внимание (4) и аналогичную формулу т !) = -(У+У)+-Уп 2 2 получим 2т(вуо0) = (В(У вЂ” У), 8+У) + т (Вуоу~) = ЦйЦ~в — ЦУЦзв+ т~ЦУД~~, з 2т(АУ, 9) = — (А(У + У вЂ” тус) 9+ у + туз) = - Ц + УЦл — ЦУ1 Цл. Подстановка этих соотношений в (58) дает ЦУЦв — ЦУЦв+т (ЦУ~Цв — ЦУгЦл) + -Ы+ УЦл = 0 (59) 2 2 При выполнении неравенства (8) имеем ЦУсЦв — 2ЦУсЦл = (,( — -А)Уо Уг) и поэтому из (59) следует оценка ЦУЦв < ЦУЦв, т,е. разностная схема (1), (2) устойчива в Нв. ! Задача 2. Получите условия р-устойчивости двухслойной разностной схемы (1), (2) на основе преобразования (41).
Решение. Разностная схема (!) записывается в виде - очч1 ол В +Ао„= р„, т (60) п=0,1, Для операторов схемы (60) имеем р †! А = — В+А. т в=рв, (6! ) Разностная схема устойчива в Н„-, если А>0, В>-А. 2 (62) Эти условия приводят к двухстороннему операторному неравенству рустойчивости (11).
При этом дяя исходной разностной схемы имеет место оценка р-устойчивости по начальным данным вида ЦуоыЦл ~ р!1учЦУ Тем самым устойчивость получена в более сложной, чем раньше норме (см. теорему 2). ь Решение. Для получения нового энергетического тождества умножим скалярно однородную разностную схему (1) на 2тй: 2т(ВУн 0) +2т(АУ,1!) = О. (58) 266 В~ива 5.
Весмаяионорнме задачи теплопроводноегпи 5.5. Устойчивость и сходимость разностных схем для уравнения теплопроводности 6.6.1. Устойчивость двухслойных схем е весами Ы(х) +Л(аУ«ы+(1 — а)У„) =1Р„, хбы, п=0,1,..., (1) т уо(х) = во(х), х Е ы. (2) Здесь оператор Л определен на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на ды и з Лу=~ Лу, «=! (3) где, например, Л«у = — (а„(х)о«- ) (4) а=1,2. Схему с весами (1) запишем в каноническом виде (5) т с операторами В = Ы(х)Е+ атЛ, А = Л. (6) Разностная схема (5), (6) принадлежит к классу схем с весами, лля которых В = Р+ атА.
(7) Пусть в схеме (5), (7) оператор А = А* > О, тогда необходимое и достаточное условие устойчивости в Нх по начальным данным (теоремы 1 и 2 из п. 5.4) В>-А т 2 (8) принимает вид: 1'1 В+ а — -)тА > О. 2) (9) Пусть В > О, тогда условие (9) будет выполнено при всех а > 0,5, независимо от временного шага (безусловная устойчивость). Если допол- нительно известна положительная постоянная Ь такая, что (10) А < ЬВ, Начнем с рассмотрения двухслойных разностных схем с весами, которые построены в и.5.3 для первой краевой задачи дяя уравнения теплопроводности. Для удобства операторной формулировки будем, как обычно, считать, что граничные условия однородны.
Разностную схему (10) — (12) из п. 5.3 запишем в виде 267 5.5. Усиюйчиеосгнь и сходимосгнь разностнмх схем то условие устойчивости (9) будет выполнено при 1 1 о> — — —, (11) 2 Ьт Это неравенство можно интерпретировать как условие на шаг времени при а < 0,5; 1 т < ть = Ь(0,5 — о) (12) Например, для явной схемы условие на шаг по времени имеет вид 2 т<ть= —, (13) Полученные условия конкретизируем для разностной схемы (!), (2)„ которая записывается в виде (5), (6). В этом случае отмеченные свойства операторов А и 23 очевидны. Поэтому разностная схема с весами (!), (2) безусловно устойчива по начальным данным при о > 0,5 в Нл. В частности, это относится и к симметричной схеме.
Ранее (см. и. 5.3) безусловная устойчивость (в равномерной норме) была показана только для чисто неявной схемы. При о < 0,5 схема с весами условно устойчива. Пусть 2! постоянная в неравенстве Л < ЬЬ(х)Е, (14) тогда условие устойчивости имеет вид (! 1), (12). Загрубляя (14), можно получить явные ограничения на шаг по времени от параметров сетки по пространству. Пусть сь = вас(х) и кз = гпахй(х). Принимая во внимание неравенства 6(х)Е > соЕ, Л < кзА < кзЛч„„Е, (15) где А — сеточный оператор Лапласа, а Л,„— его максимальное собственное значение.
Для Л,„(см. и.4.7) можно использовать следующую оценку Лчяч < 4(Ь! + Ьз ). (16) Принимая во внимание оценки (15), (!6), можно сделать вывод о справедливости неравенства (14) с Ь=4 — (Ь1 +Ьг ). (17) сь Из (12) и (17) следуют следующие ограничения на шаг по времени: 1 сь 1 (0,5 — о) кз 4(Ь, з + Ь з) (18) Приведенную оценку можно (при о < 0,5) сравнить с более жесткой оценкой устойчивости разностной схемы с весами (см. (26) в п.5.3) 268 Б~ава 5. Иестационарные задачи теплопроводносми в равномерной норме: 1 со 1 (1 — о) кз 4(Ь, з+Ь з) (19) При о < 0,5 предельный шаг по времени в оценке (!8) превышает шаг по времени в оценке (!9) (его можно увеличить в (1 — о)/(! — 2о) раз).
Оценка (18) отражает (также как и оценка (19)) существенную зависимость максимального шага от Ь (т = 0(!И!~)). б.б.2. Точность двухслойных рааностных схем Для исследования точности разностной схемы с весами (1), (2) необходимо рассмотреть задачу для погрешности хп(х) = уп(х) — в(х, Сп), хны: Ь(х) + " + Л(ах„ч~ + (1 — а)х„) = фп, т хны, п=0,1,..., (20) (21) получим неравенство !!2 с !! !!2 + !! !!2 2 Отсюла следует доказываемая оценка (23) устойчивости разностной схемы (5), (6). хв(х) = О, х Е ы. Для погрешности аппроксимации имеем (см. п. 5.3) Ф„(х) = 0( '" + !!Ь!! ), где и= 2 при о =0,5 и и=1, если о~0,5.
Для погрешности соответствующие оценки можно получить на основе результатов устойчивости разностной схемы (20), (21) по правой части (см. теоремы 3-5 в п. 5.4). Здесь мы используем аналог теоремы 4 для разностной схемы (5), (6). Теорема 1. При А = А' > О, Р = Рл > 0 и а > 0,5 для разносмной схемы (5), (6) справедлива априорная оценка и !!Уп+~!!л еч !!Уо!!л+ ~~' т!!!оь|!о- ° (23) и=о В условиях теоремы В > Р + 0,5тА и основное энергетическое тождество ((6) в п.5.4) дает 2т(Руо ~ф) + (А уи+ и уп 1.1) ~ ((А уп, уп) + 2т(фарп ~ у~) Пользуясь оценкой 2т(р~,3й) < 2т!!Уп!!и-~!!уДо (2т!!ус!!й+ !!у~!!о-1 269 5.5.
Ус«нойчивосгнь и сходимость разнос«нных схем Применим теперь эту теорему к задаче для погрешности (2), (21). Принимая во внимание (6), получим ь !(зи.~.~ ((« ~~ — ~ т(Ь '3Ь«, Ф«). (24) «=о Из этой оценки вытекает более простая: и 2 сь «=о Оценки (24), (25) обеспечивают с учетом (22) сходимость разностной схемы (1), (2) со вторым порядком по пространству и порядком по времени. (25) б.б.З. Трелслойные схемы с весами Рассмотрим условия, при которых устойчива трехслойная разностная схема для уравнения теплопроводности. Общая трехпараметрическая схема имеет (см. схему (36) в п. 5.3) следующий внд: ВЬ(х)У«+(1 — В)Ь(х)УГ+ Л(а!ф+ (1 — а~ — аз)У+ азу) = «в (26) с заданными Уь(х) и У~(х), х 6 ь«и одноРодными гРаничными УсловиЯми.
Прежде всего запишем схему (26) в каноническом виде ВУ + г НУ1«+ Ау = у. (27) с Непосредственно убеждаемся, что схема (26) имеет канонический вид (27) при В = Ь(х)Е + (а1 — аз)тЛ,  — 0,5 а~+аз (28) Я= Ь(х)Е+ Л, А =Л. т 2 В случае (27), (28) операторы В, В и А самосопряженные, причем А > О. Устойчивость схемы по начальным данным обеспечивается (теорема 6 из п, 5.4) выполнением неравенств: В>0, В>-А.
1 4 (29) Разностную схему (27), (28) будем рассматривать при дополнительном ограничении В > 0,5. Случай, когда это не так (В ( 0,5) должен исследоваться отдельно (см. задачу 2) и для рассматриваемых задач теплопроводности интереса не представляет). Принимая во внимание операторное неравенство (14), из (28), (29) получим 1 а1 — аз < — —, (30) Лт 1 2 — 1 а~+аз > —— (31) 2 Лт 270 Егава 5. Неепгаяионарные задачи пгеплопрооодноппи Эти условия выполнены при ! ог — оз > О, ог+ оз > —, д > 0,5.
2' Из полученных условий (30), (31) устойчивости общего класса трехслойных разностных схем (26) следуют условия устойчивости вьщеленных в п.5.3 однопараметрических семейств трехслойных разностных схем. Для симметричных трехслойных разностных схем имеем д= —, 1 2' (32) ог —— о2 — — о. Условия устойчивости (30), (31) в случае (32) принимают вид простейшего неравенства 1 о>-. (33) 4 Класс чисто неявных трехслойных схем соответствует валянию параметров схемы (26) в виде а,=1, аз=О. (34) В случае (34) условие (30) очевидно выполняется, также как и (3!) при д>-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
