Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Теорема 2. Дюя розностной схемы (1), (2) условия 258 Глава 5. Нестационарные задачи теплопроводности Ограничимся доказательствомдля случая В > О в Нв. Так как В > О, то для однородной разностной схемы (1) имеем — ! у» ~~ = у» — тВ Ау», и = О, 1,... В силу В = В' > 0 существует Вцз, применяя который к (!2), получим х» м — — Ях„, и = О, 1,..., (13) где х„= В у„и цз (14) Я=Š— тС. Здесь С= В 'ДАВ Оз (15) — самосопряженный оператор.
Следующее неравенство для оператора перехода Я (16) (!й<р эквивалентно условию устойчивости !!х„+~!! < р!!х„!!. (17) С учетом х„= Вузу„перепишем (17) в виде искомой оценки устойчивости в Нв'. !(у» ~!(в < р((у.!!в (18) От неравенства (16) перейдем к неравенствам для операторов разностной схемы (1). Для самосопряженного оператора Я неравенство (16) эквивалентно двухстороннему операторному неравенству (19) — рЕ < Я < рЕ. Принимая во внимание (14), нз (19) получим — Е<С< Е. (20) т т Подставляя (15) в (20) н умножая его слева и справа на Впч (неравенство прн этом сохраняется), получим двухстороннее неравенство (11). Доказательство устойчивости в Нх в большей своей части проводится аналогично переходом к явной схеме для х„= А' у„.
1/2 0.4.3. Устойчивость по правой части Приведем некоторые оценки, которые характеризуют устойчивость разностной схемы (1), (2) по начальным данным и правой части. Прежде всего сформулируем утверждение, вытекающее из устойчивости по начальным данным и теоремы 1 из п. 5.2 о связи устойчивости по правой части и по начальным данным. Здесь мы ограничимся случаем р = 1. Переход к более общему случаю произвольного р > 0 носит редакционный хапактеп и не поелстаяляет точлностей. 259 5.4.
Теория устойчивости разностных схем Теорема 3. При А > О и выполнении неравенства (8) для разностной схемы (1), (2) справедлива априорная оценка п Цу„. ~Цл < ЦуеЦл+ ~~~ тЦВ ~!з„!!л. (21) в=о Если В > О, то и Цуч+~Цв < ЦуоЦв+~~,'т!!РяЦвз=о (22) (23) В (24) правая часть оценивается в наиболее простой норме.
Доказательство (24) проводится на основе энергетического тождества (б). Имеем 2т(!о„, уг) < 2тЦр„Ц . Щ~ < 2теЦу~Ц'+ — Ц!о„Ц . 2е Подставляя в (6) и используя условие (23), придем к неравенству Цу., Ц' < Цу«Ц'+ —,Ц~.Ц'. Принимая во внимание разностную лемму 1Ронуолла, из зтого неравенства получим искомую оценку (24).
Теорема б. При А > О и выполнении неравенства В > — гА, 1+е (25) где е > О, для разностной схемы (1), (2) справедлива априорная оценка ч Цучз!Цл < ЦуоЦл+ — ) тЦрчЦвк=о (2б) Оценки (21), (22) непосредственно следуют из доказанной обшей оценки (23) из п. 5.2 (М, = 1, Ц Цы = Ц Цр, П = А, В). Полезны оценки устойчивости разностного решения по правой части в других нормах, Некоторые случаи для решения дифференциальной задачи отмечены в и.
5.!. Подобные оценки можно получить, загрубляя условие (8). Теорема 4. При А > О и выполнении неравенства В >еЕ+ — А, 2 где е > О, для разностной схеиы (!), (2) справедлива априорная оценка ч ЦучыЦл < ЦуеЦл+ —,> тЦ!очЦ (24) з=о Вгааа 5. Нестациоыарпые задачи теплопроаодиости Снова рассмотрим энергетическое тождество (6). Справедливы следующие неравенства 2т(ср„, у~) < 2т!!~р»!!а-~!!Уг!!в < 2тЩуг!!в+ — !!1о»!!в < (27) 2,6 5.4.4. Устойчивость трехелойных рааяостных схем Приведем некоторые условия устойчивости трехслойных разностных схем, которые записываются в следующем каноническом виде: Ву»+1 У» — ~ зВУ»ы У»+У»-1+ 4 1 2 (29) 2т т2 при условии, что постоянные сеточные операторы А=А', В=В', »с=1».
(30) устойчивость трехслойной разностной схемы (29), (30) будем исследовать на основе сведения к соответствующей двухслойной схеме и использования сформулированных выше результатов об устойчивости двухслойных схем. Пусть (У.+У--~ У 2 у» — у»-~ (31) тогда (п. 5.2) трехслойная схема (29) записывается в виде »»»м У» Аг» й» т В (32) операторы гь и В определены следующим образом: (32) А 0 1 0  — -А 4 т / 1 В+ — А т! И вЂ” -А) 2!г4) -т  — -А —  — -А (33) (34) для любого )3 ) О. Подставляя (27) в (6), получим 2T(((1 — Я — — А)унуг)+(Ау»»пу»~~)=(Ау»,у»)+ !!97»!!в-~ (28) Имея в виду (25), выберем )3 так, чтобы 1+ е = 1Д! — (3).
Тогда (28) дает следующую оценку решения на слое: !!У» Л;г < !!у.!!а+ —,!!р»!!н-, из которой и следует априорная оценка (26). 261 5.4. Теория устойчивости разностных схем а правая часть (32) ИУИя = (Ао„о,) + ( ( — -А) оп из 2 ) (37) теорема О. Дяя разностной схемы (29), (30) с А > 0 при В>0, (38) Я> -А, 1 (39) 4 имеет место оценка устойчивости по начальным данным вх лА «)7 йя. (40) Нам необходимо проверить выполнение неравенства (36) и условия А > О, чтобы получить оценку устойчивости по начальным данным (40) двухслойной разностной схемы.
При выполнении неравенства (39) в си- лу (37) имеем А > О. Из определения операторов А и З согласно (33), (34) имеем В т Л вЂ” -А -т  — -А 0 т З вЂ” — А= 2 Поэтому для любого элемента У = (оп ез) из Н~ имеем З вЂ” -А У= Во~+т  — -А еп — т  — -А е| Отсюда следует З вЂ” -А У У =(Вопи~)+т  — -А опе~ 1 — т  — -А) оп из = (Випе1).
Следовательно, неравенство (36) будет выполнено при условии В > 0 (неоаяенстпо ГАЯМ Теы сячыы теопеып ппипчпчп Ф" = (1о„,О). (35) При сформулированных предположениях (30) оператор А является самосопряженным, а З вЂ” несамосопряженным. Как уже отмечалось, необходимым и досппочным условием устойчивости по начальным данным двухслойных разностных схем при А = А' > 0 является выполнение неравенства (теорема 1 справедлива и при В „-Е В'): З> -А. 2 (36) Устойчивость имеет место в пространстве Н„', при этом в силу (31), (33) лля У = (еп оз) имеем 262 агава 5. Неепгационорные задачи пгеплопроеодноети Заметим, что как и при доказательстве усгойчивости двухслойной схемы (теорема 1), так и в случае трехслойной схемы (29) условие самосопряжеииости оператора В фактически ие используется. Второе замечание касается того, что при выполнении (39) условие (38) является ие только достаточным, ио и необходимым условием устойчивости разиостиой схемы (29), (30).
Сформулированный результат может быть получен иа основе соответствуюшего энергетического тождества для трехслойиых разиостных схем, а также при оценке нормы оператора перехода при записи разиостной схемы аналогичной использованной в задаче 2 из п. 5.2. Все это, однако, приводит к использованию более громоздких выкладок, поэтому мы ограничимся приведенными соображениями. (44) 5.4.б. р-устойчивость трехслойпых схем Для получения условий р-устойчивости трехслойиых разиостиых схем (29), (30) можно преобразовать исходную разиостиую схему так, чтобы условия устойчивости преобразоваииой схемы (с р = 1) давали условия р-устойчивости исходной схемы.
Аналогичный подход можно было применять и в случае двухслойных разиостиых схем, что приводит (задача 2) к устойчивости в менее удобных иормах. Пусть в разиостиой схеме (29) произведено преобразование у„= р" о„, и = О, 1,.... (41) Простейшая оценка дпя нормы новой сеточной функции ооы вида )1очч.10 < !!о„'О соответствУет оценке !~У„+~1~ < Р!!У„~1, котоРаЯ свизана с р-устойчивостью.
Аналогичная ситуация имеет место и при использо- ваиии норм в Н~. Трехслойная разиостиая схема (29) преобразуется с учетом (41) к виду 2т тг В (42) операторы определены через операторы исходной разиостиой схемы (29) с помогцью соотношений р+1 г г В = В+т(р — 1)В, 2 г 1 г Л= — В+ В, (43) 4т 2 Ам В+(р — 1) В+рА, р — 1 г 2т Посмотрим, как трансформируются условия устойчивости разиостиой схемы (42) в операторные неравенства для исходной разиостиой схе- мы (29). Условие А > 0 с учетом (43) принимает вид г В + (р — 1) В+ рА > О.
г 2т 263 5.4, Теория устойчивости разнсстных схем (46) !!гг""!!й ~ !!1г"!!л, (48) где (оп+оп, и» 2 оп оп — ! (49) причем !!У!!т — — (Аоп о~) +  — -А ог, ог 4 г Принимая во внимание (41), из (49) получим п -п 1 оп + Реп-! Ро -1 Поэтому можем определить п п п 1У»+РУ» 1 Г =РУ 2 ~ Уп Руп-1 (50) Оценка (48) в этом случае примет необходимый вид !!1' ' !!л-.РФ !!гр Тем самым можем сформулировать следующее угверждение.
Теорема 7. Яля разностной схемы (29), (30) при выполнении неравенств (44), (46) и (47) имеет место опенка р-устойчивости по начальным данным (50), (51). Отметим, что оценка устойчивости (51) получена в сложных, в частности зависящих от р, нормах. При некоторых более жестких ограничениях на операторы разностной схемы можно получить оценки в более простых нормах. (51) Проверим теперь выполнение условия 1- В> -А.
4 Принимая во внимание (43), получим 1/р — 1 у г г  — -А = — ~ — В+(р+1)  — РА 4 4 2т Поэтому неравенство (45) преобразуется к виду — В+ (р + 1)  — РА > О. р — 1 г 2т Необходимое и достаточное условие В > 0 принимает вид — В+т(р — 1)В > О. р +1 2 (47) Осталось сформулировать соответствующую оценку устойчивости. Для разностной схемы (42) при отмеченных условиях на операторы справедлина (теорема 6) оценка 264 1яава 5. Нестационарные задачи теплопроводности 0.4.8. Устойчивость трехслойных схем по правой части г ь-ь! ог ь + Фь (52) при У" = (у„-ь у„) и Ф" = (О, В, '~о„), где Вз = Н+(2т) 'В.
Определим для вектора 3' = (уп уз) норму с помощью выражения !!' 1!о = 4!!у1 + уг!!я + !!уз — у|!!я-гя. (53) Теорема 8. Дяя розностной схемы (29), (30) с А > 0 при выполнении неравенств (38), (39) сяраведяива оценка ь !!У""!Ь < !!У'!! +',> !!В "р !!н. ь=1 (54) При сформулированных условиях на операторы разностной схемы (29), (30) имеет место устойчивость по начальным данным. Соответствующая оценка устойчивости (40) означает в новых обозначениях устойчивость в норме, определяемой согласно (53). Из (52) имеем !!3'"+'!!о = !!УУ"!!о+ !!Ф"!Ь (55) В силу устойчивости по начальным данным !!УГ"!Ь < !!Уь!!о, и осталось преобразовать второе слагаемое в (55). Имеем (5б) !!Ф !!о = -!!Вз <Рь!!я + !!Вз Фь!!й гя = !!Вз ~оь!!л (5т) Подставляя (5б), (57) в (55), получим доказываемую оценку (54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
