Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Литература лгашквв В. Н. Методы разделения области в задачах математической фи зики // Вычислительные процессы и системы. Мл Наука, 1991. Вып.8. С. 3-51. Бахвалов Н. С., Жидков Н, Н., Кобельков Г, дг. Численные методы. Мл Наука, 1987. Бврс Л., Дигон Ф., Шехтер Гьг Уравнения с частными производными. М л Мир, 1966. Булевв Н. Н. Пространственная модель турбулентного обмена.
Мл Наука, 1989. Вабищевин Н. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической фи- зики. Мл Иза-во МГУ, 1991. уравнений в частных производных. Мл ИЛ, 1963. 7. Владииирвв В. С. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1976. 8. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. Мл Наука, 1977. 6. Вазов В., Форсайт Див. Разнсстиые методы решения дифференциальных 230 ными производными второго порядка. Мл Наука, 1989. 1О.
Дясардлг А., Лю Д. Численное решение больших разреженных систем урав !1 !2 13 14 24 25 26 28. 29 15 16 17 !8 !9 20 2! 22 23 30. 31. 32. 33. 34. Бгавв 4. Стационарные задачи теплопроаоднасти ГилбаргД., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с част наний. Мл Мир, 1984. Карчеаский М, М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань: Изд-во Казанского государственного уни- верситета, 1976.
Кузнецаа Ю. А. Вычислительные методы в подпространствах // Вмчислитель- ные процессы и системы. Мл Наука, 1985. Вып. 2. С. 265 — 350. Ладызгенгкан О.А. Краевые задачи математической физики. Мл Наука, 1973. Ладыхгенскал О.А., Уральцеаа Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Мл Наука, ! 973. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики, Мл Наука, 1989. Марчук Г. И., Агаигкае В. И. Введение в проекцнонно-сеточные методы. Мл Наука, 1981.
Миранда К Уравнения с частными производными эллиптического типа. Мл ИЛ, 1957. Оганесян Л А., Рухааец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эл- липтических уравнений. Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1979. Ортега Дзс,, Рейнбалдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Мл Мир, 1975. Риттмайгр РД. Разностные методы решения краевых задач. Мл ИЛ, 1960. Рихтмайер Р., Мартан К.
Разиостные методы решения краевых задач. Мл Мир, !972. Самарский А, А. Введение в теорию разностных схем. Мл Наука, 197!. Самарский А.А. Введение в численные методы. Мл Наука, 1987. Самарский А.А. Теория разностиых схем. Мл Наука, 1983. Самарский А.А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических урав- нений. Мл Наука, 1976, Самарский А А., Гулин А. В. Численные методы. Мл Наука, 1989.
Самарский А.А., Лазаров Р Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для диффе- ренциальных уравнений с обобщенными решениями. Мл Высшая школа, 1987. СамарскийА.А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Мл На- ука, 1978. Стрзнг Г., Фикс Дзг. Теория метода конечных элементов. Мл Мир, 1977. Сьнрле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.. Наука, ! 980. ТиханоаА. Н., Самарский А А. Уравнения математической физики. Мл Наука, ! 972.
Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Мл Физматгиз, 1963. Хейгеман Л., Янг Л Прикладные итерационные методы. Мл Мир, 1986. Хокни Р,, ИстеудДхг. Численное моделирование методом частиц. Мл Мир, 1987. Глава 5 Нестационарные задачи теплопроводности Основной задачей вычислительной теплофизики является исследование нестационарных тепловых полей„описываемых уравнением теплопроводности, которое относится к уравнениям параболического типа второго порядка. Изложению вопросов построения и исследования разностных схем для нестационарных краевых задач теплопроводности и посвящена данная часть работы.
Особенности построения экономичных разностных схем для приближенного решения многомерных задач рассматриваются отдельно (таким задачам посвящена глава 6). Начинаем мы с материала справочного характера, который касается свойств краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка параболического типа, В частности, формулируется классический принцип максимума для первой краевой задачи. Приведены простейшие априорные оценки решения дифференциальной задачи в гильбертовых пространствах, которые характеризуют устойчивость решения по отношению к малым возмущениям начальных условий и правой части. Обсухцгаются особенности построения разностных схем длл нестациоиарных задач. Значительное внимание уделяется общим вопросам устойчивости разностных схем.
Разностное решение, как приближенное решение корректной краевой задачи двя дифференциального уравнения, должно быть устойчиво по отношению к малым возмущениям начальных условий. При оценке погрешности разностного решения основное внимание уделяется исследованию устойчивости разностного решения по правой части. Исследование точности разностного решения в равномерной норме может проводиться на основе принципа максимума. Исследуются чисто неявные разностные схемы для уравнения теплопроводности, которые относятся к классу безусловно устойчивых (без каких-либо ограничений на шаги сетки по времени и пространству).
Для других схем сходимость устанавливается при некоторых ограничениях на шаг по времени (условно устойчивые разностные схемы). Для исследования устойчивости в гильбертовых пространствах ис- 232 Глава 5. Неопоциоиарлые задачи о!еллопроводиосо!и 5.1. Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка 5.1.1.линейное нестацнонарное уравнение теплопроводности Будем описывать тепловое состояние твердого тела, которое занимает объем й, начиная с начального момента времени 1 = О до некоторого конечного момента времени 1 = Т, Т > О. Пусть Г2 = ((х,г) ! л Е й, О < $ < Т), а Г = ((х, 1) ( х е дй, О < 1 < Т) — боковая поверхность 12.
Процесс распространения тепла в анизотропией среде описывается (см. п. 2.1) следующим уравнением теплопроводности: дв с(х) — + Ьв = г(х,1), (х, $) е ь), где (2) при обычных ограничениях й«д = йда~ гг~)3 1~ 2~ ° ° ~ гп~ «! ы пз л! х~~ са < х~~ ««ос«с!3 ~ ~к2 х~~ с«~ л! (3) а=! ад=! а=! на записи многослойной разностной схемы в каноническом виде и в формулировании условий устойчивости в тех или иных нормах в виде операторных неравенств.
Эта теория является точной в смысле совпадения необходимых и достаточных условий. Общая теория устойчивости разностных схем применяется для исследования двух- и трехслойных разностных схем для уравнения теплопроводности. В частности, проведено исследование устойчивости обычных схем с весами. На основе установленных результатов об устойчивости формулируются соответствующие результаты о точности раз постных схем. Отдельно выделены вопросы исследования регулярного режима теплопроводности.
Для правильного описания развитой стадии вводится понятие асимптотической устойчивости. Проведен анализ асимптотической устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности. В частности, показано, что обычная симметричная разностная схема является безусловно устойчивой в обычном смысле и условно асимптотически устойчивой.
Рассматриваются разностные схемы для гиперболическогоуравнения теплопроводности. На примере простейших краевых задач теплопроводности отмечаются особенности использования разностных методов лля приближенного решения нелинейных задач. 5.1. Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка 233 Уравнение (1), (2) является классическим линейным параболическим уравнением второго порядка, которое относится к базовым уравнениям математической физики.
Уравнение теплопроводности (1) в более общем случае подвижной среды записывается при Хи = ~~! 1 И р(х) — ) + ~~! 6 (х) —. , дх.~ Ох,) дх. «р=! «=! В дальнейшем в качестве базовых рассматриваются задачи дня уравнения теплопроводности (1) в изотропной среде, когда д У' ди~ Ьи = — ~~> — ~ к(х) — ) . , дх ~, дх,) (5) Отдельно выпишем уравнение теплопроводности для однородной среды, когда и коэффициент теплопроводности й(х) и коэффициент тепло- емкости с(х) постоянны. Обезразмеривая задачу (см.
п.3.1), придем к простейшему уравнению второго порядка параболического типа с постоянными коэффициентами: «1 дг г +~(х 1) ха й' д,г (6) и(х,1) = у(х,1), х Е Г. (7) Более общая ситуация (конвектнвный теплообмен с окружающей средой) соответствует заданию граничных условий третьего рода: ди — + а(х, 1)и = у(х, 1), х Е Г, (8) ди где а(х, 1) > О. В (8) использованы обозначения главы 4.
Для нестационарных уравнений также можно выделить как самостоятельную задачу с граничными условиями второго рода, когда !г(х, 1) = О. Корректной краевой задачей для уравнения (1) является задача с известной начальной температурой: (9) и(х, О) = ио(х) х 6 й. Температурное поле и(х, 1) в любой точке расчетной области й на любой момент времени 0 < 1 < Т определяется из уравнения теплопроводно- сти (1), (2) (или (1), (3) и т.д.), граничных условий (7) (или, например, (8)) н начального условия (9).
Уравнение теплопроводности (1) (или (3), (6)) дополняется необходимыми граничными условиями. Наибольшее внимание уделяется задаче Дирихле, когда 234 1>гава 5. Нестационарные задачи теплопроводности 6.1.2. Принцип максимума Для нестационарного уравнения теплопроводности (1) справедлив принцип максимума, который устанавливает то, что максимальная температура достигается либо на границе области, либо в начальный момент времени при отсутствии объемных источников. Принцип максимума для параболических уравнений формулируется в следующем виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
