Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(31) с однородными условиями х„.,1(х) = О, хе(х) = О, Для задачи (31) — (33) оценка (30) принимает вид (32) (33) (34) б,й.б. Трехелойпые схемы для уравнения теплопроводиостн В вычислительной практике получили распространение и трехслой- ные разностные схемы с весами, хотя они используются значительно реже двухслойных. В трехслойных схемах необходимо дополнительно хранить решение со слоя я — !.
Вместо (10) используем следующую разностную схему ВЬ(х)у! + (1 — В)Ь(х)уГ+ Л(о~В+ (! — о~ — оз)у+ озу) = Ф, хны, п=1,2,..., (36) где й = и„ы с дополнительными условиями (11), (12). Для того, чтобы начать расчеты по трехслойной разностной схеме, необходимо помимо уо знать у,. Для нахождения у~ может использоваться какая-либо двухслойная разностная схема. Разностная схема (3б) характеризуется тремя весовыми параметрами: В, о1 и ою Обычно используются даа класса трехслойных разностных схем, каждый из которых содержит только один параметр. Прежде всего выделим симметричные разностные схемы, которые записываются в виде: Ь(х)у!+Л(оУ+(! — 2о)у+ау) =~р, и =1,2,....
(37) Принимая во внимание оценку (21) для погрешности аппроксимации разностной схемы (!0)-(12), получим Пу„~| — яп > < М(7У+ ~й|2), (35) где и = 2 при о = 0,5 и н = ! — в других случаях. Еше раз подчеркнем, что устойчивость и сходимость разностной схемы установлена при выполнении условий (23), (24). В более слабых нормах, как будет показано ниже, оценки, аналогичные (35), будут получены в менее ограничительных условиях на параметры схемы. 253 5.3. Равномерная сходшвость разностных схем Схема (37) соответствует следуюшему выбору весов в (36): В = 0,5, а~ — — аг = а. Нетрудно убедиться, что симметричная трехслойная схема с учетом (19) имеет второй порядок аппроксимации по времени и по пространству. Второй класс трехслойных разностных схем для уравнения теплопроводности соответствует использованию чисто неявных аппроксимаций для эллиптического оператора.
В этом случае разностное уравнение имеет аид ВЬ(х)у, +(1 — В)Ь(х)у!+ ЛВ = !о, и = 1,2,..., (38) т.е. в (36) а, = 1, аг = О. Для погрешности аппроксимации разностной схемы (38) имеем 0(т +!1г1~), а = 1,5, 0(т+ (й(~), а ~ 1,5. ш Тем самым в классе трехслойных разностных схем (38) также имеется схема второго порядка аппроксимации. Можно показать (задача 2), что для симметричных трехслойных схем (37) при а ~ 0,5 простые достаточные условия выполнения принципа максимума типа (23), (24) сформулировать не удается. В этом плане большие возможности предоставляет несимметричная трехслойная разностная схема. С целью исследования разностной схемы (38) запишем ее в виде, аналогичном (22): (ВЬ(х) + тА(х))у„„~(х) = т ~ В(х,()уьм(6) + гезх'!ь! + Ь(т)(2 — 1)уп(х) + Ь(з)(! — В)уп-~ + туг .
Отсюда видно, что при выполнении условий 2 — 1 > О, 1 — В > О, т. е. при 0,5 < В < 1 принцип максимума выполняется. Однако схема второго порядка (В = 1,5) этим условиям не удовлетворяет. Заметим, что при 0,5 < В < ! принцип максимума выполнен без каких-либо ограничений на параметры разностной сетки. 0.8.6. Задачи Задача 1. Дая одномерной нестационарной задачи теплопроводности ди дга — — — = У(х, 1), 0 < х < 1, О < ! < т, д1 дг (39) а(0,1) = Ву(1), и(1, 1) = дг(Е), 0 < 1 < Т, и(х, О) = иь(х), О < х < ! постройте двухслойную разностную схему повышенного порядка ап- проксимации (зй = 0(тг -1- 1г4)), 254 Т1гава 5.
Еестационарные задачи теплопроводности й+ а гг 1'1 ф = — аг — Л вЂ” — 1 о — -) тЛаг + гр. 2 ~, 2) (42) Разлагая в ряд тейлора в точке (х, 1„.„~22), получим 2 т т —, г а = а — — и+ — а+ 0(т ), 2 8 г й+а т- 0(т ), — = а+ — й+О(т ). 2 8 аг — — а+0(т ), (43) T — т 2 й = а+ -а+ — а+ 2 8 Подставляя (43) в (42) и принимая во внимание, что 1,2 дла Ла = — — — — + 0(й4), д .г !2 дх4 получим для погрешности представление д2 12 д4 ф = — а + р + — + (о — 0,5)т — + — — + 0(т + 1г').
(44) д.г дз:г 12 дал Если положитыр = у, то придем к выражению для погрешности аппрок- симации (20). На решениях уравнения (39) д4а дг дх4 дхг даг и поэтому (44) преобразуется к виду: "дУ гг "гд" г 4 ф = 1о — у — — — + ~(а — 0,5)т+ — ~ — + 0(г + 12 ). !2 д' (, !2) д*г Для получения схемы повышенного порядка аппроксимации положим о = 0,5 — й~/(12т), а правую часть разностной схемы зададим в виде ! Задача 2.
Сформулируйте условия, нри которых для симметричной трехслойной розностной схемы (37) выполнен принцип максимума. Решение. И в этом случае повышение точности разностной схемы достигается за счет аппроксимации на решениях, подобно тому как это имело место в некоторых стационарных задачах (п.4.2). На равномерной сетке ы для приближенного решения задачи (39)-(41) будем использовать схему с весами (!О) при Лу = -уз„я б ы. Для погрешности аппроксимации имеем выражение 255 5.4. Теория устойннвосмн розностных схем Решение. Схему (37) запишем в виде (Ь(х) + 2атА(х)) у„,л(х) = 2ат ~~~ В(х, ~)ув м(~) + (яах'(х) + (1 — 2а)2т ,') В(х, С)у„(г) — (! — 2а)2тА(х)у„(х)— (сах'(я) — 2ат ~~г В(е, ~)у„, Я+ (Ь(е) — 2атА(х)) у„~(х) + 2т(о„.
(45) (евя'(я) Условие положительности коэффициентов в правой части может быть выполнено только при а = 0,5. Если а = 0,5, то ограничения на шаг по времени обуславливаются необходимостью выполнения условия типа (24): Ь(х) — 2атА(л) )~ О. Отсюда и следуют ограничения на шаг по времени следующего вида 1 пцп с(х) T < ()г! +)гг ) 2 шах й(х) для трехслойной симметричной разностной схемы (37) при а = 0,5. ь 5.4. Теория устойчивости разностных схем 5.4А. Необходимые и достаточные условия устойчивости Изложение результатов обшей теории устойчивости разностных схем начнем с выделения класса двухслойных разностных схем с самосопряженными операторами.
Рассматривается устойчивость по начальным данным и правой части разностной схемы, записанной в канонической форме (см. п.5.1): т с постоянными (не зависящими от и) сеточными операторами В=В', А=А'. (2) Простейшие оценки устойчивости двухслойной разностной схемы следуют нз оценок устойчивости по начальным данным. Зги и некоторые другие возможности обсуждаются ниже. Под устойчивостью разностной схемы по начальным данным понимается равномерная устойчивость в смысле определения, данного в п. 5.2. Исследование устойчивости будем проводить на основе метода энергетических неравенств.
Поэтому получим прежде всего простейшее энергетическое тождество для разностной схемы (1). Умножнм уравнение (1) скалярно на 2ту, = 2(у„+, — у„). Зто дает равенство 2т(Вуп у~) + 2т(Ау„, у,) = 2т((о„, у~). В1ава 5. Неопационарные задачи теплопроводности 256 Второе слагаемое в левой части (3) преобразуем с учетом формулы ! т У» (У»+1 + У») У1. (4) Основной результат теории устойчивости разностных схем формулируется в виде следующей теоремы. Теорема 1. Необходимым и достаточным условием устойчивости разностной схемы (1) при А = А' > 0 по напальным данным в Нл является выполнение неравенства т ВО ~> -А 2 (8) где Во = 0,5(В + В').
Здесь самосопряженность оператора В не предполагается. Для доказательства достаточности мы должны показать, что из (8) следует оценка (7). Для однородной разностной схемы (р„= 0) энергетическое тождество (6) принимает вид т 2т(( — -А) У1, У1) + (Ау„+„у„»1) = (Ау», у»). (9) При выполнении неравенства (8) получим (Аул»1, Ул»1) ~( (Ауп, Уп)~ т. е. оценку (7) при Р = А.
Необходимость будет установлена, если мы покажем, что нз условия устойчивости (оценки (7) при Р = А) следует операторное неравен- стао (8). Выполнение (8) означает, что для любого и Е Н выполнено (Во,с) > -(Ао, о). ? (10) Подстановка (4) в (3) дает т 2г(( — -А)У1,У1) + (А(у»»1+у») у 1 у») = 2т(1р»,у1) (5) 2 Для самосопряженного оператора А имеем (А(ув»1+ У») (У»+1 У»)) = (4У»+1 У»+1)+ ('4У» У»+1) (.4ул+1 Ул) (.4У» Уп) = ('4ул+1 У»»1) (Аул~ Ул) Это позволяет переписать (5) в следующем виде 21 (( — — А)у1, У1) + (Аул+1, уп+1) = (Аул~у») + 2т(1з„, у1). (6) Разностная схема с 1р„= 0 устойчива (более точно, равномерно устойчива) в Нп, Р = Р" > О, если выполнена оценка Ь.
1Ь <!Ы!и. (7) 5.4. Теория устойчивости розностных схем 257 Запишем энергетическое тождество (9) при п = 0: 2 (ВЧ( — -А)т(о),т(о)) т(жр и) =(Ау Ы. Принимая во внимание устойчивость схемы по начальным данным, отсюда получаем 2т (( — — А) ус(0) ус(0)) = — (Ау)1 у) ) + (Ауо, уо) > О, 2т(( — — А)ус(0), ус(0)) > О. т. е. Для любого о = ус(0) б Н находим уо = — А 'Во Е Н.
Устойчивость имеет место при произвольных начальных условиях уо, и поэтому для любых о выполнена оценка (10), т.е. операторное неравенства (8). Тем самым и необходимость доказана. Специально подчеркнем, что приведенный результат является неулучшаемым, условия устойчивости являются точными, так как необходимые и достаточные условия совладают. Аналогичные условия устойчивости можно привести и для устойчивости разностной схемы (!), (2) по начальным данным в Нв. А именно, условие (8) необходимо и достаточно для устойчивости в Нв при В > О.
Доказательство достаточности этого условия на основе метода энергетических неравенств проведено в задаче 1. — В<А< — В 1 — р !+р т т необходимы и достоточны для р-устойчивости в Нл при А > 0 (в Нн при В > 0). Доказательство проведем на основе получения соответствующих операторных неравенств. При этом неявная схема (!) сводится к явной п паопппптпп п|п печ пптппт тсппппП т ~ ппапятаао пеппнтпчо 5.4.2. р-устойчивость равяаетных схем В некоторых важных прикладных задачах требуется исследование разностной схемы на р-устойчивость с р ~ 1, когда вместо (7) выполнена оценка !!уя+)!!и < р!!у !!о Примером может служить асимптотическая устойчивость (р < 1) для обычного уравнения теплопроводности. Для обратных задач теплопровадности характерна ситуация с ростом нормы решения по времени, т.е. р > 1. Поэтому, обобшая теорему 1, сформулируем соответствуюший результат о р-устойчивостн с произвольным р>О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
