Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Следует заметить, что с учетом погрешности аппроксимации по пространству условие асимптотической устойчивости можно заменить на условие р-устойчивости с р = е ~"', где бн — — б+ 0()!г)~). Однако рассчитывать при этом на сколько-нибудь сушественное увеличение предельного шага по времени не приходится. В неравенстве (20) мы можем положить теперь р = бнт.
Вместо (23) придем к оценке 0 < т < тд, т, '— бб/(б~ьЬ), которая ненамного слабее, чем (23). Таким образом, для любых асимптотически устойчивых разностных схем с весами шаг по времени должен подчиняться условию (23). Для конкретных схем (схем с заданным весом о) это условие может только заменяться на более ннгтно 277 5.6. Асымлтотическая устойчывость разлостных схем Отметим наиболее интересные случаи разностных схем с весами. Получим соответствующие условия р-устойчивости симметричной (о = 1/2) и явной (о = 0) схем.
В обоих случая левая часть (13) (неравенство (18)) выполнено. Это следует из неравенства ! 1 1 — — — >-, 1 — р бт 2' которое верно при р = е и для всех т > О. Для доказательства этого достаточно установить неотрицательность функции ьь(д) =,и — 2+ 2е "+де " при положительных 1ь. В этом случае йр б'!а гр(0) =О, — (О) =О, — =де ", и поэтому имеет место неотрицательность функции !я(д) при д > О.
В силу этого неравенство (18) выполнено при всех 0 < о < 1/2. Остается отметить т, при которых выполнена и правая часть нера- венства (13) (неравенство (20)): 1 ! (1+р) о+ — ) >1. (24) бы ) Для оценкидопустимых шагов по времени воспользуемся при д = бт < 1, т > 0 неравенством 1 р = — > 1 — р = 1 — бт, ев бт>0. (26) С учетом этого неравенство (24) будет выполнено, если ! 1 (2 — бт) о+ — ) > 1. /ьт ) (25) Для симметричной схемы (о = 1/2) неравенство (25) будет очевидно выполнено при 2 '/з 0 < т < ть =— (бйь) Аналогичные рассуждения дают оценку для явной схемы вида: 2 0 < т ~< ть —— —, Ь' (27) т. е.
ть = О((Цз). Условие асимптотической устойчивости (27) для явной схемы совпадает с условием обычной устойчивости (р = 1). Ограничения на временной шаг симметричной схемы (26) близки к оптимальным условиям асимптотической устойчивости (см. (23)). 278 Глава 5. Нестаяионарные задачи тенлонроеодноети Таблица 6.1 0,95 0,975 0,99 7 0,5 0,75 0,9 г 2,513 0,734 0,230 0,107 0,052 0,020 С позиций теории р-устойчивости можно рассмотреть и схемы с и > 1/2.
Они абсолютно устойчивы при р = 1, но ни при каких ограничениях на шаги по времени типа (26), (27) не являются р-устойчивыми с р = е '. При небольшом ослаблении на величину р для таких разностных схем можно получить устойчивые схемы со слабыми ограничениями на шаг по времени. Для примера рассмотрим чисто неявную разностную схему. В этом случае неравенство (16) (и тем более (20)) выполнено. Положим р = е т~", где 0 < 7 < 1 (менее жесткие ограничения на убывание решения). Тогда выберем максимальный шаг тд так, чтобы выполнялось и неравенство (!8). Это неравенство будет выполнено при и = 1, если — тдт 1 .р=е > 1+бт (28) Неравенство (28) будет выполнено для 7 < 1 прн бт < <г(7). Соответ- ствующие цифровые данные приведены в таблице 5.1.
Тем самым при соответствующих ограничениях на шаг по времени т < тд — — б 'г(7) имеет место р-устойчивость разностных схем с весами при р = е "д'. 5.6.8. Трехелойиые схемы Подобный анализ асимптотической устойчивости может быть проведен и для трехслойных разностных схем. Для приближенного решения начальной задачи (5)-(7) будем использовать схему 0 (! — О) т т +Л(о,у„~, +(1 — о, — о,)уд+озу -~) =0 (29) с весами о, оы оз.
Рассмотрим в качестве первого примера неявные схемы с весами, когда в (29) о~ —— 1, оз = О. При к > 2, где к = 20 — 1, условия асимптотической устойчивости приводят к неравенству 1 к+1 р=бт ( — 1п —. 2 к — 1 (30) В частности, из (30) вытекает более простая оценка р < 1/к. Полученные ограничения на шаг по времени т ( тд = !/(кб) необременительны. Среди трехслойных симметричных разностных схем (д = 1/2, о~ — — оз = о) нет безусловно асимптотнческн р-устойчивых схем с р = е д'.
279 5.6. Асимнтотическая устойчивость разностных схем 6.6.4. Задачи Задача 1. Покахсите, что нри вынолнении — (0) =О, д У Ихь дг е дхг — (х)>0, х>0, р>0 имеет место у(х) > 0 для всех х > О. Решение. Для того чтобы убедится в справедливости этого, достаточно рассмотреть разложение функции 7(х) в ряд Тейлора: 4У * д У 7 (х) = ~~~ — (0) — + — (6) —. Ихь й! дх' р! к=о Задача 2. л1сследуйте на асиматотическую устойчивость комплекс- ную схему, которая занисывается в каноническом виде (12) нри тз !+т Лз 1 Л тлз 2 ' 2 (31) Решение. Правая часть (13) выполнена при всех р > О, а левая с учетом (3 !) приводится к виду тЛ +тл> — В.
2 2 ! р р Принимая во внимание р = е ег и оценку (7), приходим к неравенству 2 2 -р +р>е" — 1, р=бт. Оно не выполнено ни при каких р. Подобно чисто неявной схеме можно взять р = е ~~' при 0 < 7 < !. Данные по зависимости бт < г(7) приведены в таблице 5.2. Таблица 6.2 0,95 0,975 0,99 0,5 0,75 0,9 г 9,037 4,136 2,591 2,!80 1,984 1,869 Тем самым рассматриваемая разностная схема имеет хорошие асимптотические свойства (даже при очень близких к единице значениях параметра 7 допускается достаточно большой шаг по времени). Кроме того, схема (12), (31) в отличие от чисто неявной схемы имеет второй порядок точности по т.
ь' 280 Глава 5. Нестационарные задачн тенаонроаодноета 5.7.1. Дифференциальная задача Для моделирования высокоинтенсивных нестационарных процессов теплопроводности используется (см. п. 2.1) гиперболическое уравнение теплопроводности, которое учитывает конечную скорость распространения тепловых возмущений. Уравнение переноса тепла в изотропной среде имеет вид да дза с(х) +Ус(х) — + Ьа = 7(х,1), (х,1) б 1е, (1) с обычным оператором теплопроводности д Г да 1 Ьа = — 2 — ~Й(х) — ).
дха дха (2) В (1) У вЂ” параметр релаксации теплового потока. В качестве замыкающих соотношений будем использовать следующие граничные и начальные условия: хЕГ, х6й, Получим априорную оценку решения задачи (1) — (5), которая может служить ориентиром при исследовании устойчивости соответствующих разностных схем. Домножим скалярно в 'Н = Ьз(й) уравнение (1) на да/д1: (6) (7) Из (6), (7) следует (8) 5.7. Гиперболическое уравнение теплопро водности а(х,е) = О, а(а, 0) = ао(х), да — (х, 0) = а!(х), Правая часть (6) оценивается следующим образом: — ( с —, — + -(с г,у). —,T(1) ( -Цс ~ г!1, д1 2 где с учетом однородных граничных условий (3) величина (3) (4) (5) 281 5.7. Хйперболическое уравнение тпеплопроводности определяет норму решения задачи (1)-(5). Применяя к (8) лемму Грону- олла (п. 5.1), получим оценку тх<тв>~--~!.
кьць, )3/а. (10) о Априорная оценка (9), (10) при У = 0 вырождается в обычную оценку устойчивости решения задачи теплопроводности (задача 2 из п. 5.1). 5.7.2. Устойчивость схем с весами Для приближенного решения задачи (1) — (5) естественно использовать трехслойные схемы с весами. Общее трехпараметрическое семейство таких разностных схем имеет вид ВЬ(х)рт + (1 — В)Ь(х)Т+ УЬ(х)рй + +Л(а,ф+(1 — а, — аз)у+азу) = !о (11) с заданными ра(х) и у~(х), х б от. Схема (11) записывается в каноническом виде трехслойных разностных схем прн В = Ь(х)Е+ (а| — аз)тЛ, А = Л, (12) В>0, 1 ! а~ — аз >О, а~+аз > —, В > —. 2' 2 () Конкретизация норм разностного решения проводится в соответствии с общей теорией устойчивости трехслойных разносгных схем (п. 5.4). 2 — 1 У а~ + аз В = Ь(х)Е + — Ь(х)Е + Л. 2т тз 2 рассматриваемая разностная схема отличается от схемы с весами для уравнения теплопроводности только дополнительным слагаемым Ут Ь(х)Е в операторе В, которое улучшает условия устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
