Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Пример такой схемы при Ь(х) = 1 рассмотрен ранее (см. задачу ! в п. 5.5). Улучшение свойств явной схемы (5) мы провели за счет возмущения сеточного оператора В двухслойной разностной схемы (!0). Определенные возможности предоставляет принцип регуляризации двухслойных разностных схем и при возмущении оператора А (см. задачу 1). 8.8.3.
Энергетически эквивалентные регуляриааторы Мы рассмотрели регуляризаторы к, непосредственно связанные с исходным оператором теплопроводности Л. Принцип регуляризации может быть основан на использовании регуляризаторов Я., которые энергетически эквиваленты регуляризаторам, построенным на основе оператора Л. Такой подход использовался нами ранее в и. 4.7 для построения итерационных методов решения стационарных задач теплопроводности. Регуляризаторы удобно строить на основе простейших сеточных эллиптических операторов. Для коэффициентов сеточного эллиптического оператора И, определяемого согласно (7), имеет место 0 < к! < а,(х) < кз, х Е ы, где, например, к, = ппп Ь(х), кз = шах Ь(х).
Поэтому оператор Л энергетически эквивалентен сеточному оператору Лапласа, который мы обозначаем А: к~А < Л < кзА. (16) Рассмотрим регуляризованную схему (13) с регуляризаторами, построенными по оператору Лапласа. При к = А необходимое и достаточное условие (12) преобразуется с учетом (9) и (16) следующим образом т т  — — А = Ь(х)Е+аА — — Л > 2 2 /1 т'ч l 1 т а'! > ~ — — — ( И + аА > ( — — — + — ! Л > О.
1гз 27 З,гз 2 288 Пгааа 5. Нестанионарные задачи теплопроводности Отсюда следует, что устойчивость регуляризованной разностной схео мы (13) с регуляризатором Я. = А будет иметь место при а > кг(т/2 — Л ~ ) . Это условие более жесткое, чем условие (14) устойчивости регуляризованной разностной схемы (13) с Я. = Л. Аналогично рассматривается регуляризованная разностная схема (13) прн К = (А)г. В этом случае ог т а г т  — -А = Ь(х)Е+ а(А) — -Л = Ь(х)Е+ — Л вЂ” -Л, 2 2 кг 2 и поэтому устойчивость будет иметь место при а > кггтг/(16со). Таким образом в этом случае параметр регуляризации а пропорционален квадрату максимума коэффициента теплопроводностн.
с операторами В = Ь(х)Е, Л = О, А = Л. (19) Условия устойчивости разностной схемы (18) имеют вид В>0, Е> -А, 1 4 (20) Схема (18), (19) является абсолютно неустойчивой в силу невыполнения второго неравенства (20). Поэтому регуляризация может достигаться за счет возмущения сеточного оператора Л. На основе (17) построим следующую регуляризованную схему Ь(х)у1 4- азеун + Лу = р. (21) Схема (21) записывается в канонической форме (18) с В = Ь(х)Е, Е = ай, А = Л. (22) Отметим некоторые возможности выбора регуляризатора. Простейший из них связан с заданием И равным Р, где Р— диагональная часть сеточного оператора А.
Принимая во внимание (см. п.4.7) неравенство Л ( 2Р, при К = Р получим А>0 1 1 / 11 Н вЂ” -А = аР— -Л > ( а — -) Р. 4 4 ~, 2) 6.8.4. Регуляриаация трехслейиых схем Отметим возможности регуляризации трехслойных разностных схем для з дачи (1) — (4). В качестве исходной возьмем симметричную явную схему (схему Ричардсона) (см. п. 5.5): Ь(х)у1 + Лу = 1о.
(17) Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространству и записывается в канонической форме Ву; + т~Куи+ Ау = уг (18) 289 5.8. Регуляризоция розностных схем Поэтому при а > 0,5 условия устойчивости (20) регулярнзованной разностной схемы (18), (22) будут выполнены. Частный случай регуляризованной разностной схемы (21) при выборе а = 2 соответствует использованию рассмотренной ранее в п. 5.5 схемы Дюфорта и Франкела, Заметим, что а = 0(1), и поэтому ре~уляризованная разностная схема (21) существенно ухудшает аппроксимацию. Пусть теперь в регуляризованной разностной схеме (21) гс = Л. В этом случае 1 / 1»~ Л вЂ” -А= (а — -)Л>0 4 ~, 4) 5.8.0.
Задачи ! Задача 1. Постройте регуляризовонную розностную схему но основе явной схемы (13) с возмуи1ением оператора Л. Решение. Рассматривается схема Ь(х) " ' "+(Л вЂ” ай)у» ф», хеы, и=0,1,.... (23) т Положим гс = Л~ и проверим выполнение необходимых и достаточных условий. Принимая во внимание (9), условие положительности оператора А = Л вЂ” аЛ дает ограничение на параметр регуляризацин снизу: 1 а( Л ппп с(а) Неравенство (12) преобразуется следующим образом: (24)  — -А = Ь(х)Е+ — (аЛ вЂ” Л) = т т з 2 2 ,з = — ( а ~ Л вЂ” — Е) + ~Ь(х) — — ) Е >. О.
2 (, 2ацз 'з, 8а) Отсюда и следует оценка для а сверху: а> 8 гпах с(х) (25) прн а > 0,25. Такой выбор регуляризатора соответствует использованию обычной симметричной трехслойной схемы (см. п. 5.5), причем а = отт. При такой регуляризации схема сохраняет второй порядок аппроксимации по времени и пространству. Можно отметить и некоторые другие возможности построения регуляризованных разностных схем.
Например, как и в случае двухслойных разностных схем можно выбрать регулярнзатор на основе энергетически эквивалентного оператора. 291 5.9. Неланеаные несглаяиоиарные задача удовлетворяет параболическому уравнению (х,С) Е СЕ (5) с непрерывными в Я коэффициентами. На основе принципа максимума можно показать, что решение задачи (3)-(5) единственно. Заметим, что это имеет место независимо от знака коэффициента ао(х, С). Предположим, что существует два решения задачи (!)-(4) ид(х, С), 13=1,2: с(х,ид) — — ~~! — ~й(х,ид) — ) =У(х,С,ид), (х,С)69 (б) див д / див !г 01,0.(, ' дх.) с соответствующими граничными и начальными условиями.
Для разности решений ш(х) = из(х) — и! (х) получим (см. п.4.9) краевую задачу дш дс ди!,~ д ( диг 01о ди! с(х, и!) — + — (х, и) — го — 7 — (а(х, и!) — + — (х, и) — го ~ = 01 ди ' ВС ~- дх, 1, ' дх, ди ' дх, / о=! 01' = — (х, С! й)го, (х, С) Е С'„Г, (7) (8) (9) и!(х,С)=0, хбГ, го(х, 0) = О, х Е П. Здесь использованы обозначения 0Р С' дà — (х и) = / — (х, ио) !СВ, ио(х) = Вио(х) — (1 — В)и!(х).
0 ' / д о Линейная краевая задача (7)-(9) принадлежит к отмеченному выше классу задач (3)-(5). Поэтому тривиальное решение го(х, С) = 0 задачи (7)-(9) будет единственным при достаточной гладкости коэффициентов с(х, и), Со(х, и), правой части 7(х, С, и) и решений задачи (1)-(4). Можно потребовать выполнения неравенств ! дс — (х,и) <М, Тем самым единственность решения нелинейной краевой задачи тепло- проводности (1)-(4) имеет место в классе ограниченных нелинейных коэффициентов. ди 2 — -Е 0С аф=! д~и ди а,д(х, С) + ~ а,(х, С) — + дх, дхо , дх, + ао(х, С)и = 7(х, С), — (х,и) < М, ~ — (х,е,и) < М.
(10) дй 1 д,г" 292 Птааа 5. Нестаяиоаариые задача теплолроводлости Л(и)у = — ~~! (а,(х, и)у».), > х Е ы. (11) »=1 Исходной дифференциальной задаче (1)-(4) ставится в соответствие диф- ференциально-разностная задача !Си Ь(х, и) — + Л(и)и = у>(х, С, и), и(х,С) =д(х, С), и(х, 0) = ае(х), х Е !о, 0 < С < Т, (12) х Е ды, 0 < С < Т, (13) х Е ы. (14) Здесь, например, Ь(х,и)=с(х,и), у>(х,С,и)=З(х,С,и), хЕы, а коэффициенты а (х, и) задаются в виде а!(х, у) = Сг(х! — 0,56!, хз, 0,5(у(х) + у(х! — Л|, х!))), аз(х, у) = я (х !, хз — 0,56!, 0,5(у(х) + у(х!, хз — Лз)) ), 1 а!(х, у) = -(к(х! — Л!, хн у(х! — Й„хз)) + Се(х, у)), 2 1 аг(х,у) = -(Сс(х!,хз — Сгн у(х!,хз Лз))+а(х,у)) ° 2 Приведем некоторые разностные схемы для задачи (12)-(14).
Прежде всего можно выделить класс линеаризованных разностных схем, которые характеризуются тем, что решение на новом временном слое находится из решения линейной разностной задачи. Простейшая'из них характеризуется тем, что коэффициенты берутся с предыдущего временного слоя. Примером может служить разностиая схема Ь(х,у„) +Л(у„)у„ , =>р(х,С„,У„), у»ч-!> 9(х>С»!-!)> Уе = ао(х)> хЕ!а, п=0,1,..., (15) (16) (12) х Е д!а, хЕы. Эта разностная схема имеет, очевидно, О(т+ (Л)з). погрешность аппроксимации 5.9.2. Лииеариаоваииые рааиоетиые схемы На основе ранее построенных разностных схем для простейшего нелинейного стационарною уравнения теплопроводностн (см. п.4.9) приведем некоторые разностные схемы для нестационарной задачи.
Определим нелинейный сеточный эллиптический оператор стационарной теплопроводности Л(и)у на множестве сеточных функций, заданных на ы, с помощью соотношения 5.9. Нелинейные нестационарные задачи 295 Развитием разностной схемы (15) — (!7) может служить схема с ква- зилинеаризованной правой частью: Уп+~ Уп Их,у.) +Л(у.)у. ~ =р(х,!.
ну.)+ т Ор + 9 (х,!»ч.ну»)(уп+1 — Уп), х бы, и = 0,1,.... (18) Оу Схема (!8), оставаясь линейной, имеет больший запас устойчивости по нелинейной правой части. Линеаризованные схемы могут строиться на основе разностных схем лредиктор-корректора. В этом случае разностная схема (15) модифициру- ется следующим образом. На этапе предиктора используется явная схема: о(х, уп) + Л(уп)уп = !о(х, (и, уп), (19) хны, о=0,1, Схема (19) используется для вычисления коэффициентов и правой части, и поэтому этап коррекции может соответствовать использованию схемы: У ч.~ У» В(х~ Уп+~) + Л(У»~.1)у»+1 = 1з(х~ !п»н Упч.1), т (20) хбы, п=0,1,....
Этап коррекции может осуществляться, например, и на основе схемы линеаризации (18). Поэтому имеет смысл использовать вместо (20) схему Упы Уп 8(~г у»+1) + Л(У»+!)Упч-1 = 9~(х~ (»+1~ У») + т + т — (х, (»+и уп), х Е ы, я = О, 1,.... (21) ~'Р Упчн Уп Вместо (21) можно использовать несколько другой вариант квазилинеаризации: Уп».1 Уп Ь(х, упи,) + Л(у„„ ~)у„, = 1а(х, („.„н У...) + т Од + (х> (ппн Упч-1)(Упч-! Уп->!)~ х б ы, о = О, 1,...
Оу Приведенные схемы демонстрируют большие возможности по построению линеаризованных разностных схем. При прикладном математическом моделировании требуется проведение специальных методических исследований по выбору разностных схем лля определенного класса нелинейных краевых задач. Теоретическое рассмотрение дает в нелинейных залачах зачастую лишь слабые ориентиры. Естественно, что линеаризованные разностные схемы для задачи (!21-(141 можно оогтооить и на о»но»е хоехгпойных оп»но»хны» 294 »лава 5. Нестационарные задачи теплопроводности схем. Не останавливаясь на подробном описании, ограничимся лишь простейшими примерами. Для приближенною решения задачи (12) — (!4) можно использовать трехслойные симметричные разностные схемы Ь(х,у»)» " +Л(у„)(ау„»,+(1 — 2а)у»+ау»,) =!»(х,1„,У„), 2т (22) хЕы, и=0,1,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
