Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть решение на новом временном слое находится итерационно с некоторой абсолютной погрешностью еь, т.е. вместо увы находится у„в„причем у„ь1 = уч.„~ + еь, Тогда вместо уравнения (1) выполняется Ь(х) +Л(оу„~~+(1 — о)у„) =Со„+1 — — оЛ еь, у„+1 — у„ / 6(х) т т хаю, п=0,1,.... Тем самым вносится дополнительная погрешность. Для сохранения точности разностной схемы 0(т" + (Л)з) достаточно потребовать, чтобы ев = 0(т"+~), т. е.
решение на новом временном слое должно находиться с повышенной точностью. ь 6.2. Метод переменных направлений 6.2.1. Продольно-поперечные рааностные схемы для уравнения теплопроводностн Рассматривается базовая двумерная задача нестационарной теплопроводности в изотропной среде, когда процесс переноса тепла описывается уравнением теплопроводности ди с(х) — + Хи = 2(х, С), (х, С) Е ф (1) где д / да 1 Ьи = — ~у — ~Се(х) — ) .
дх ~, дх ) (2) (б) (7) Для удобства использования операторных формулировок будем считать, что граничные условия для уравнения (1) однородны. Пусть, например, граничные и начальные условия имеют вид: и(х,С)=0, хЕГ, (3) и(х, О) = иь(х), х б СС. (4) После дискретизации по пространству от задачи (1)-(4) придем (см. п. 5.3) к системе уравнений оо 6(х) — + Ли = ф(х, С), х Е ы, 0 < С < Т, (5) дополненной условиями э(х,С)=0, хбды, 0<С<Т, э(х, О) = иь(х), * Е ш.
6.2. Мепгсд переменных напроеленнй 2 Ле= ~ Л,в, »=1 Лап = -(аа(Х)ВЕ.),, (8) а = 1, 2, а Ь(х) = с(х) при х Е ы. Разностные схемы метода переменных направлений для уравнения теплопроводности (1), (2) основываются на представлении оператора по пространственным переменным Л в виде (см. (8)) суммы двух операторов Л, и Л2, каждый из которых является одномерным. Разностные схемы, базирующиеся на обращении одномерных операторов, относятся к классу экономичных, так как соответствующие вычислительные затраты (трехточечная прогонка, ленточные матрицы) на один узел не зависят от общего числа узлов.
Классическая разноспгная схема переменных направлений (схема Писиена-Рэкфорда) для задачи (5) — (7) состоит из двух шагов. Сначала по известному у„находится вспомогательная сеточная функция (которую мы обозначим У„а112) из уравнения У»+1П У» Ь(Х) + й1У»+112+ й2У» = 1р».
0,5т Интерпретируя У„+1 12 как решение на момент времени 1„+112 = Ф» + т/2, можно заметить, что (9) соответствует определению решения по чисто неявной схеме по переменной х1 (оператор Л1) и по явной схеме по переменной х2 (оператор Л2). Понятно, что в такой транскрипции второй шаг метода переменных направлений будет соответствовать использованию уравнения У»а1 У»+112 Ь(Х) + Л1У»+112+ Л2У»+1 = 1р». 0,5т (10) Тем самым второй шаг соответствует использованию явной схемы по первой переменной и чисто неявной — по второй переменной. Реализация схемы переменных направлений (9), (!О) соответствует определению у„+112 и у„+1 из уравнений т т х т (Ь(х) + — Л1) У„+Нп = (Ь(х) — — Л2) у„+ — 1р„, ( ' )„,=( -'- ) (и) Ь(Х) + — Л2~У»~.1 = Ь(Х) — -Л1 У»+1/2+ — 91» Запись (11) указывает на то, что решение находится обращением соответствующего одномерного сеточного оператора (методом прогонки) сначала по одной переменной (одному направлению), потом по другой В уравнении (5) для оператора Л используется, например, следующее представление: 312 Глава 6.
Экономичные разностные схемы переменной (другому направлению). Поэтому схему переменных направлений (9), (10) иногда называют продольно-поперечной разностной схемой для уравнения теплопроводности. 6.2.2. Устойчивость схемы переменных направлений Исследование устойчивости схемы (9), (10) может основываться на следующем полезном утверждении.
Лемма 1. Пусть В = В' > О, А > 0 в Н. Тогда при а > 0,5 имеет место неравенство в Нп !!( — (1 — а)тА)у~~о < !!(В+ атА)у!! „(12) есеиР=В '. Имеем Ц( — (1 — а)тА)УЦр — Ц(В + атА)у!)о —— = ~( — (1 — а)тА )Р( — (1 — а)тА) у, у)— -((В+ атА*)Р(В+ атА)у, у) = = — т((А'РВ + ВРА)у, у) + (1 — 2а)т ЦАУЦр. В силу предположений леммы„правая часть неотрнцательна, т. е. имеет место неравенство (12).
Полагая Р = В ~, из уравнений (11) непосредственно получаем )~ (Ь(х) + — Л1) уп+у1г~~ ~ ~~~ (Ь(х) — — Лз) уп (( + — фрп !!о, (!3) /~ (Ь(х) + — Ло)рпт /~ < /~ (Ь(х) — -Л~) Унт о// + -Ц1опЦР. (14) Складывая (13) и (14) и учитывая (12) при а = 0,5, получим /ц(Ь(х)+ — Лз)рп+ю~~ «< ~~~Ь(х) — — Лз)рпц +тЦ!опЦо. (15) Снова применяем (12), что дает Ц (Ь(х) + -Лз)уп+$Ц » (Ц(Ь(х) + — Лз)упЦ +тЦ~рпЦЮ. На основании разностного аналога леммы Гронуолла из этого неравенства обычным образом получим следующую оценку устойчивости схемы переменных направлений (9), (10) по начальным данным и по правой части вНп, Р=В и ~~~Ь(х)+'Л;)у„„(~ < ~((Ь(х)+-Лз)уо(~ +~тЦрпЦо.
(1б) о=о 6.2. Метод переменных направлений 6.2.3. Точность схем переменных направлений Для исследования точности разностной схемы переменных направлений (9), (10) запишем соответствующую задачу для погрешности а„= р»(х) = и(х, 1„), х Е ь2, полагая л„.,!/2 = у»+!/2 — и (Функцию и выберем позже). Из (9), (10) непосредственно получим а»+1/2 а» » Ь(х) + Л!а».ь!/2+ Лзл» = Ф1, 0,5т 2»+1 а»-11/2 » Ь(х) + Л1а»+1/2+ Л2а»е1 — 2/22 0,5т (17) (18) Для погрешностей имеем » и и» 2/21 = Ь(х) Л1и л2и + 1/2», 0,5т 2!» — й 1р2 = — Ь(х) — Л1й — Лзи„+! + 22 .
0,5т (19) (20) Положим в (19), (20) + + ' —,,л' й= + — Ь (х/Л2 2 4 т В этом случае из (19)„(20) следует » и»+1 221 + и» гр2 — гр! = — Ь(х) — Л2(и»+1 — и») = О. 0,5т (21) Кроме того, в силу (21) имеем и» ь! + и» и».1-1 и» '!' и»+1 и» 2 2р»! = Л! 2 — Лзи„+ 1р» — Ь(х) — -Л2 + О(т ). т 2 т Принимая во внимание Ли = » и+ О(!Л( ), !Л~ = Л, + Л2, р„= ~(х, 1 „! ) + О(т + !Л1 ), получим 2/22 = 2/2", = О(т + ~Л! ).
(22) Тем самым при специальном определении промежуточного решения (см. (21)) разностная схема переменных направлений (9), (10) имеет второй порядок аппроксимации по времени и по пространству. Специально отметим, что из полученной оценки (16) непосредственно не вытекает сходимость разностной схемы (9), (1О) ввиду присутствия в ней вспомогательной сеточной фУнкЦии Р»е,/2. Эта ситУациЯ хаРактеРна для всех рассматриваемых ниже экономичных схем, поэтому на нее необходимо обратить особое внимание.
314 йзава 6. Экономичные разласмиые схемы Для исследования точности рассмотрим сеточную задачу (17), (18). Принимая во внимание (22) и используя оценку (16) при точном задании начальных условий, получим ~( (Ь(а) + -Лг)в„,.!~~ ~ (! т'Оф, Цр, к=о (23) где 27 = В '. На основе оценки (23) мы можем сделать вывод о том, что схема переменных направлений (9), (10) сходится со скоростью 0(т' + ~й)г) в соответствующей норме. 6.2.4. Другие схемы переменных направлений Среди других наиболее известных схем переменных направлений помимо (9), (10) отметим разиосагную схему Дугласа — Рзкфарда, она записывается в виде Уч+!/г Ув Ь(а) + й!Упч.цг + йгуп = 'Рв! т Ь(а) + йг(укы ув) = О.
т (24) (25) де сЫ +Лев ф(х!1), хЕы, 0<1<2 (26) с условиями (6), (7). В данном случае з Ле = ~~~ Лае, Лчу ут,в (27) л=и На первом шаге (24) аппроксимируется уравнение теплопроводности на всем временном интервале, второй шаг (25) вводится для устойчивости. Поэтому за схемами типа (24), (25) закрепилось название схемы сагабилиэирующей поправки. Нетрудно убедиться, что схема (24), (25) имеет погрешность аппроксимации 0(т+ 1й~г) и является абсолютно устойчивой (как частный случай факторизованных схем, рассмотренных в п, 6.3).
Разностные схемы переменных направлений дяя задач с переменными коэффициентами типа рассматриваемой нами (1) — (4) относятся к классу беэусловно устойчивых. Однако построение таких схем для трехмерных задач сопряжено со значительными трудностями. Чтобы прояснить эту ситуацию, достаточно записать схему переменных направлений (9), (10) в виде двухслойной схемы, исключая у„+!,!г из (9) и подставляя в (10).
В случае, когда рассматривается трехмерная задача тсплопроводности в однородном параллелепипеде с граничными условиями первого рода, соответствующая дифференциально-разносгная задача имеет вид уравнения 315 6.2. /31етод переменных направлений Принципиальным при использовании метода переменных направлений для уравнений (26), (27) является то, что операторы Л„а = 1, 2, 3, являются самосопряженными, неотрицательными и попарно-перестановочными, т. е. Л Лр = ЛрЛ„а,ф = 1,2,3, (28) В таких условиях простейшим обобщением схемы стабилизирующей поправки может служить схема: У»+! /3 У» Ь(х) + Л!У»+!/3+ Л2У» + ЛЭУ» = !р»1 т У»+2/3 У»+!/Э Ь(х) + ЛЭ(У»+2/3 У») = О, т Ь(х) + Л~(у„~~ — у») = О.
т Можно предложить аналоги схемы переменных направлений (9), (1О) при рассмотрении задачи теплопроводности в условиях (26)-(28). 6.2.6. Задачи Задача 1. Напишите схему переменных направлений дяя уравнения теплонроводности (1), (2) с неоднородным граничным условием а(х,1) = д(х, 1), х Е Г. (29) Решение. Во внутренних узлах сетки используется разиостная схема (9), (10), и вопрос состоит в аппроксимации граничного условия (29). Для сохранения точности удовлетворим граничные условия точно так, чтобы иметь однородные граничные условия дая погрешности решения.
Принимая во внимание (21), в граничных узлах положим т У» + У»+! 3' Ь-3, 3 У»+! У» У +!/2 2 + 1 (») 2 (30) У»(х) = д(х, 1»), х б дьэ. В таких условиях для погрешности решения справедливы приведенные выше оценки, и поэтому схема (9), (10) с граничными условиями (30) будет сходиться со вторым порядком по времени н по пространству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
