Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Подставляя г'(х, С), а = 1, 2,..., т в (14), (! 5), получим уравнения С а Ь(х) — +Лада = ф~(х,С), х Е и2, С„< С < С„+1, гСС "+ ' (16) и=0,1,..., а=1,2,...,т, которые дополняются условиями а'(х,О) =О, е'(х,С„) =я~(х,С„), и=1,2,..., еа(х,С„) =ха (х, С„+1), а = 2,3,...,ги, и= О,1,.... Погрешность аппроксимации для каждой промежуточной задачи (16), (17) определяется выражениями ф (х, С) = -Ь(х) — — Л! е + ф (х, С), !Се 1 дС (18) ф (х С) = -Л е(х,С„+1)+ф (х,С), а= 2,3,...,т, Из (18) следует, что для каждой промежуточной задачи ф'(х, С) = 0(1), т.е. задачи (16), (17) не аппроксимируют (5) — (7). Рассмотрим теперь ф(х,С) = ф (х,С)+ф2(х, С)+... +ф (х,С). Из (18) следует !Се а! ф(х, С) = ф(х, С) — Ь(х) — — Л (х, С) — ~ ~Л (х, С, ).
а=2 328 П!ава 6. Экономичные розностные схемы и поэтому для суммарной погрешности аппроксимации имеем «Р(х, 1) = ~~> чр~(х, 1) = 0(т). а=! 0,5й! О 5йз ~ . - — ' О 5Л«! 0,5Лм - 0,5Л ! — ... - 0,5Л!. Это соответствует использованию вместо (9) следующего авдитивного представления оператора й: зы л=~ й., «=! 0,5Л, Л,= 0~5йзе-а«!г (19) а=1,2,...,т, (20) а = т+!,т+ 2,...,2т. В этом случае имеет место оценка !!о (х,1„) — о(х,1„)!! = 0(г ) при некоторых дополнительных условиях гладкости. 6.4.4.
Аддитивные рааиоетные схемы Аддитивные разностные схемы можно получить, аппроксимируя промежуточные задачи (14), (15) по времени. Не давая общих формулировок, ограничимся построением простейших двухслойных разностных схем. ПУсть у««! — приближенное решение о«(х,1) на момент времени ! = 1„«!. Используем для каждой промежуточной задачи двухслойную Будем говорить, что (!4), (15) аппроксимирует (5)-(7) в суммарном смысле с первым порядком. Для оценки точности будем считать, что выполнены следующие условия: !(Л,йро(! ( М, а„О = 1, 2,..., т.
Как показываетдополнительный анализ, при таких дополнительных условиях оценка близости имеет вид !!о (х, 1«) — о(х, 1„))! = 0(г), т.е. на основе решения промежуточных задач (14), (15) можно получить приближенное решение исходной дифференциально-разностной задачи (5) — (7) с первым порядком по времени. Интересно отметить, что в случае, когда ф(х, 1) = О, ф'(х,1) = О, а = 1, 2,..., т, Ь(х) = сонм, а операторы Л„а = 1,2,...,гп перестановочны друг с другом (Л«Лр = ЛрЛ„), тогда (14)-(15) дает точное решение задачи (5)-(7) (см. задачу 1): о"'(х, 1„) = о(х, 1„). Для повышения точности приближенного решения задачи (5) — (7) на основе решения промежуточных задач можно использовать следующую идею симметризации (двуциклическая организация).
Задача (14)-(15) схематически отображается следующей цепочкой Л! -+ Лз — ... -! Л которая отражает последовательность решения промежуточных залач. Симметрнзованная цепочка имеет вид 329 6.4. Аддитивные разностные схемы схему с весами. Тогда, принимая во внимание начальные условия (15) и адаптивную разностную схему с весами а„а = 1, 2,..., по, получим У»+а/т У»+(а-О/т а 6(х) т + Ла (а»У»~а/т + (1 аа) У»+(а-1)/т) (Р» (21) а = 1, 2,..., по. Двухслойная аддитивная разностная схема может быть записана в следующем каноническом виде В У»+а/т У»+(а-О/т ч»~ а +~~А „У» /,/ т(в„, аа»1,2,...,по. (22) р=о Приведенная выше аддитивная схема (21) имеет канонический вид (22) при В=6(х)Е, А „та Л, А,, 1 —— (1 — а )Л, А,,=О, /у,-ьа, а — 1.
6.4.6. Априорные оценки для аддитивных разностных схем Рассмотрим аддитивную разностную схему ~»+а/т В»+(а-1)/т а +,Р арх»4-р/т Ф» ) т р=о а=!,2,...,по, го»»0. (23) Представим погрешность аппроксимации в виде т» т» + т»~ (24) где о/)а удовлетворяет условиям (25) а=о Будем считать, что аддитивная схема (23) обладает суммарной аппрокси- мацией, т. е.
((ф„)1 „О, если т — О, ()о! О (26) в некоторой норме Ц ))го. Исследование сходимости аддитивных схем имеет существенные особенности ввиду того, что для них имеет место суммарная аппроксимация. Поэтому необходимо получить специальные оценки устойчивости аддитивных разностных схем по правой части, из которых при условии суммарной аппроксимации и следовала бы сходимость разностной схемы. Приведем некоторые общие результаты в этом направлении. Вава 6. Экономичные розностные схемы 330 Положим хв,,/,„= ть,+,/и + да+а/ и опРеделим О»а,/,„из Условий Опта/п~ ттп+(а-11/т а т п~ Из (28) с учетом (25) имеем пп Вт/и+а/т = Вт/в + т 2 т/т», Вт/и-1-1 = Вт/в =... = Вт/0 = О.
дп! а = 1,2,...,пт, по »в в О. (28) ПОЭТОМУ ДЛЯ ВСЕХ П = 1, 2,... ИМЕЕМ Ов пв О, ав = ав И а ЗВ Оп+а/т = т Х~~ В т/гвл = — т ~~' В т//в, 1тп! в=а а = 1,2,...,тп — 1. С учетом этого для Ов+ /ы получим задачу и+а/т вт(а-О/т -а (2 — (/ т + К~' ад пвд/т» в~ Дпо а=!,2,...,пг, (20=0 (29) где правая часть имеет вид т/гв т/тл + т Х~~ Аа/т ~Х~ В Фй. (30) Лп! тпд+! Используя для задачи оценку (27), непосредственно получаем 1!х»!11л = (!(/»1!!л < М п1ах ~,!!т/20020. 0<0<» Учитывая (30), перепишем эту оценку в окончательном виде ((х„!(!л <М тпах ~~! ((т/!„(( л+ г птах ~~! ~ (Аад,) В 'К~~ .
(31) 0<0<» ! 0<0<» 1 д ! Р ! 2Л Эта оценка для разностной задачи (23) указывает, что при выполнении условий суммарной аппроксимации (24) — (26) имеет место сходимость алдитивной разностной схемы (22) при выполнении дополнительных условий типа ((А оВ 'т/!й(1,„= 0(1). (32) Для получения необходимой априорной оценки для аддитивной схемы, учитывающей (24), (25), будем считать, что для (23) имеет место обычная оценка устойчивости по правой части: нз 1!Хв!(!Л » ~М П!ЗХ ~~~ !!т/тЛ!120.
(27) 1<0<» 331 бА. Аддитиеные разностные схемы 6.4.6. Задачи Задача 1. Покалсите, что лромехсуточные задачи (14) — (15) дают точное решение длн задачи Ие — +Ае=О, хЕы, (33) е(х, 0) = ао(х), х Е ы. (34) 0<1<У, Решение, В этом случае о А = А! + Аз~ Аар = рзгм и пусть Л,', Лз, в1(а,), вз(х!), ! = 1, 2,... > Ф! — 1, у = 1,2,..., Фз — 1 — собственные значения и собственные функции оператора А„, а = 1, 2 (см. п. 4.5). В соответствии с (14), (15) сначала решается задача ае о — +А!е =О, 0<1<!!=т, е(х,О)=во(х), хЕы.
Решение имеет вид н~-! е'(х,1) = ~ ~ ео(х)в1(х!)й!е 'в<(х!). 1=! ч!ет Далее рассматривается задача й~ — +Азе =О, сЫ Решение имеет вид н! !Ф! ! е~(х, т) = ~~! ~~!, ~~), Ч~', ао(х)в!(х!)в,'(хз)Ь|йз х О < Ф < т, ез(х,О) = е~(х,о!), х Е ы. !=! у=! е!ем! тот х е 1з'+"!)1'в!'(х!)в;(хз). Это решение совпадает с решением исходной задачи (33), (34) иа момент времени $ = т. Таким образом, решение вспомогательных задач дает точное решение на момеиты времени г = Ф„. Напомним, что оценка точности аддитивиой разиостиой схемы (31) получеиа в предположениях об устойчивости этой схемы в обычном смысле (иеравеиство (27)). В таком контексте можно говорить, что из устойчивости и суммарной аппроксимации следует сходимость аддитивной разностной схемы.
В настоящее время имеются и некоторые друг!ге априорные сценки для двухслойных аддитивиых разиостиых схем (22), которые, в частности, позволяют несколько ослабить дополнительные условия типа (32). ЗЗг й!ава 6. Экономичные разностные схемы ! Задача 2. Запишите схему переменных направлений (см.
и. 6.2) как двухсловную аддитивную раэностную схему. Ре!аепие. Рассматривается схема Ь(х) + Л!У„.ь!/з+ Лзуп = р У»-ь!/з Уп 0,5т Уп!-! Уп+!/! Ь(х) +Л,уп,/з+Лзуп+, — — у!». 0,5т (35) Используя разложение Л = 0,5Л! + 0,5Л! + 0,5Л! + 0,5Лз, у7» = 0,51р» + О+ О+ 0,5у!и, запишем алдитивную схему (см. (21)) Ь(х) + 0 5Лзу» = 0 5у!и т Ь(х) "+ " 05Л!У» !/з =0 т Ь(х) Уп ьз/4 — Уп! /! 0 5Л т Ь(х) + 0,5Лруп+, — 0,5!р„. Уп+ ! У»+3/и т Непосредственные вычисления дают Ь = Ь! + А + Ь. '+ Ь'. = о( " + Ю, 6.5.
Локально-одномерные разностные схемы 6.6.1. Локально-одномерные схемы для уравнения теплоироводноети Здесь мы проведем исследование сходимости аддитивных разностных схем, построенных в и. 6.4. Для приближенного решения задачи (1)-(4) из и. 6.4 используется аддитивная разностная схема Уп!-а/ы У»+1» — !)/щ а Ь(х) +Лп(апуп+и/т+(1 ап)уп+!а-!)/т)=!оп~ (1) т о=1,2,...,пз. т. е.
схема переменных направлений как факторизованная схема име- ет второй порядок суммарной аппроксимации по времени и простран- ству. 333 6.5. Локально-одномерные разносгнные схемы Здесь принято, что оператор Л определяет теплопроводность по направлению х: Л„в = -(а«(х)оз.),, а = 1, 2,..., т, (2) причем (3) Л=Л,+Л +...+Л . Каждый из операторов Л„а = 1, 2,..., т в аддитивном представлении (3) является одномерным, и поэтому алдитивные разностные схемы (!) — (3) называются локально-одномерными разносвными схемами.
Как показано в п,6.4, исследование сходимости аддитивных разностных схем может основываться на получении оценок устойчивости и изучения суммарной аппроксимации. Сделаем несколько замечаний относительно получения априорных оценок устойчивости адднтивных разностных схем на примере локально-одномерной схемы (1) — (3), ограничиваясь, для простоты, устойчивостью по начальным данным в некотором гильбертовом пространстве Нп, порожденном оператором 2З = 23' > О.
Требуется получить априорную оценку р-устойчивости (4) 1!У.+~Ь < Р!!У.Ь с некоторой постоянной Р > О для разностной задачи (1) с 1о„' = О, сс = 1, 2,..., т. Для этого имеются две основные возможности. Первая связана с исключением промежуточных сеточных функций у„„.«1„„а = 1,2,...,т — 1 из разностного уравнения (1). Понятно, что для залач с общими неперестановочными операторами Л„а = 1,2,..., т этот путь технически очень сложен и мало конструктивен. Второй подход при исследовании устойчивости аддитивных разностных схем основан на получении априорных оценок для всех промежуточных сеточных задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
