Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(38) т а=! Для погрешности аппроксимации имеет место выражение и(х, 1«+!) — а(х, 1«) тт — Л,(о а(х, 1«+!) + (1 — о )и(х,еп)) + 1з„', а = 1, 2,..., т. В силу этого аддитивно-усредненная разностная схема обладает суммарной аппроксимацией, т. е. выполнены условия (27)-(29). Сходимость схемы (35), (36) на основе устойчивости и суммарной аппроксимации исследуется обычным (см. п.
6.4) образом. Положим 1 %и-! = К~~ Ъ+а!т (39) «=1 340 132ава б. Экономичные разностные схемы 1 ()»а! Л~~ йп-~-а/~и. т а=! (42) Для гр„' имеем Фп Фп т"пгга/1»Ь (х)Фй. (43) Используя для задачи (41) †(43) оценку (22) и учитывая 2» = йв, получим в м п »1 Цх„Др (т у ~~) )<фь(<р, +т~) тт~) ')а Л»Ь '(х)гуь<)рии (44) ь=в ь=е а=! Оценка (44) обеспечивает сходимость аддитивно-усредненной схемы (35), (36) с первым порядком по времени и вторым по пространству для достаточно гладкого решения задачи (1) — (4) из п.
6.4. 6.б.б. Задачи Задача 1. Ды рассматриваемой модельной задави напишите локально- одномерную разностную схему второго порядка аппроксимации по вре- мени. Ь(х) Упьг/г~р/гп~ Упн/2+(р-!)/2т + т 1 !и+р + Л .ьг-р(упьг/2+р/2 + уп-ьг/г+(р-!)/2!и) = (в» 4 Д = 1, 2,..., гн. Для правой части предполагается выполненным обычное соотношение 2 Е а )гп = тп Решение. В соответствии с п.6.4 используется двуциклическая ор- ганизация вычислений, которая соответствует симметричному расщепле- нию следующего вида ьи Л=,) Л, а=! 0,5Л, а=1,2,...,т, Л,= 0,5Л2,+г, а = ел+ 1, ел+ 2,..., 2т. Для получения локально-одномерной разностной схемы каждая проме- жуточная задача аппроксимируется симметричной схемой.
Это приводит нас к разностной схеме следующего вида Уп~-а/гм Уи+(а-!)/2»и 1 а Ь(х) т + Ла(У|!~-а/2~в+У»+(а-!)/ги1) = У!и~ 4 а=1,2,...,гн, 341 6.6. Библиография и комментарий Задача 2. Получите оценку устойчивости е т 1[уи+Лп ~ ~1[уз[[в+ г ~~' ~' 1)рь[[пг=о и=1 (45) аддитивно-усредненной разностной схемы (35), (36).
Реигемие. При каждом фиксированном а = 1,2,...,т и ранее сформулированных условиях на веса оа имеем (см. (21)) 1[у„~,~ 1[в < 1[ри[1п+ тт[11о„[1п- . (46) Из (36) непосредственно следует 1 1[ри+ 111 «~ ~~ 11уи+а(т[1) и=1 что с учетом (46) дает оценку устойчивости (45), которая совпадает с оценкой (22) для обычной локально-одномерной схемы (1).
ь 6.6. Библиография и комментарий 6.6.1. Общие замечания 6.1. Обычные схемы с весами для многомерных уравнений хорошо исследованы теоретически и широко используются в вычислительной практике. Рассматриваемые в этой части особенности реализации неявных схем затрагивались во многих работах.
Наше исследование базируется на общей теории итерационных методов [! 4]. Описанная модификация метода переменных направлений отмечена в работе [1]. 6.2. Методы переменных направлений описываются во всех основных руководствах по разностным методам [2, 4, 6 — 11, 15, 16]. Они берут свое начало с работ Писмена, Рэкфорда и Дугласа (1955 г.). Следует заметить, что их безусловная устойчивость в задачах с переменными коэффициентами устанавливается только для случая двух измерений.
Для трехмерных задач требуется перестановочность отдельных операторов друг с другом. 6.3. Вопросы построения факторизованных разностных схем рассматривались во многих работах (см. [3, 5, 9, 16] и приведенную там библиографию). При изложении принципа регуляризации как общего подхода к построению факторизованных схем мы следуем работам [8, 10]. 6.4. Понятие суммарной аппроксимации и общий подход к построению аддитивных разностных схем для эволюционных задач с дробными шагами предложены А. А.
Самарским в 1962 г. Аддитивное расщепление с целыми шагами также предложено А.А. Самарским (1965 г.). Дальнейшее развитие теории отражено в [5, 8, 10, 16]. 342 13гава 6. Экономичные разнастные схемы 6.5. Здесь конкретизируются общие результаты теории схем суммарной аппроксимации лля приближенного решения многомерной задачи теплопроводности в параллелепипеде. При подготовке материала использовались работы [8, 10, 16).
Равномерная сходимость локально- одномерной разностной схемы для параболических уравнений в нерегулярных областях исследована А.А. Самарским (1963 г.). Аддитивно-усредненные схемы рассматриваются в работах Д. В. Гордезиани, начиная с 1965 г. 6.6.2. Литература !. Вайиигевич П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей. Мл Изя-во МГУ, 1987. 2. Вазов В., Фарсайм Дзс. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Мл ИЛ, 1963. 3. Дьяконов Е.
Г. Разностные методы решения краевых задач. Несшционарные задачи. Мл Изд-во МГУ, 1972. Вып.2. 4. йуарчук Г. Н. Методы вычислительной математики. Мл Наука, 1989. 5. Марчук Г. Методы расщепления. Мл Наука, 1988. 6. Рихтмайер Р. Разностнме методы решения краевых задач. Мл ИЛ, 1960. 7. Рихнгмайвр Р., йгарман К. Разностные методы решения краевых задач. Мл Мир, 1972. 8. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем, Мл Наука, 197!.
9. Самарский А.А. Введение в численные методы. Мл Наука, 1987. 1О. Самарский А.А. Теория разностных схем. Мл Наука, 1983. 11. Самарский А.А., Гуляя А. В. Численные методы. Мл Наука, 1989. 12. Самарский А.А., Гулим А. В. Устойчивость разностиых схем. Мл Наука, !973. 14. Самарский А. А., Никалаев Е С Методы решения сеточных уравнений.
Мл Наука, 1978. !5. Саульвв В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. Мл Физматгиз, 1960. !б. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения мноюмерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. Глава 7 Задачи теппопроводкости с фазовыми переходами Важный класс нелинейных проблем теплообмена (см. п.2.3) связан с процессами фазовых превращений. Мы рассматриваем переходы твердое тело — жидкость. Для моделирования процессов плавления/кристаллизации чистых веществ используется классическая модель Стефана, которая характеризуется заданием постоянной температуры на границе фазового перехода. Более общие модели допускают образование пространственной зоны кристаллизации, в которой температура равна температуре кристаллизации, используются также модели с непостоянной температурой фазового перехола.
Для численного решения задач с фазовыми переходами используются два основных подхода. Прежде всего укажем методы с вьшелением границы раздела фаз. Эти методы иногда называют чапаЫе бошагп шегпобз. Второй класс образуют методы без выделения этой границы, т.е. методы сквозного счета (Лхеб бошаш шегпобз). К первой группе методов относятся методы, в которых положение свободной границы отслеживается на каждом временном слое, С этой целью используются численные методы, в которых свободная граница определяется положением соответствующих узлов. Это достигается эа счет использования новых динамических независимых переменных или же согласованных динамических сеток в исходных переменных. В одномерных задачах адаптация к границе раздела фаз может осуществляться и за счет использования переменного шага по времени. Такой подход к использованию переменных шагов по времени (ловля фронта в узел пространственной сетки) хорошо известен и давно используется.
В некоторых случаях можно испольэовать аналогичный подход с переменным шагом по пространству. Такие методы плохо приспособлены к решению многомерных задач. К методам с выделением границы фазового перехода относятся методы с выпрямлением фронта, когда используется динамическая сетка постоянной структуры с закреплением узлов на границе раздела фаз. При изложении этих подходов мы ориентируемся на формулировку задачи в новых независимых переменных, в которых расчетная область регулярна. Для простоты изложения рассматривается однофазная зааача Стефана.
344 1лзва 7. Задачи теплопроводпости с фазовызги переходами Для многомерных задач с фазовым переходом использование численных методов с явным выделением границы раздела фаз во многих случаях связано с алгоритмическими сложностями и большими вычислительными затратами. Для приближенного решения таких задач широкое распространение получили методы сквозного счета.
Для этого используется обобшенная формулировка классической задачи Стефана. На основе методов решения квазилинейных задач теплопроводности строятся соответствующие численные методы решения задачи Стефана. В таких задачах используется и энтальпийная формулировка задачи Стефана, когда в качестве неизвестной выступает не температура, а энтальпия. Для решения многомерных задач используются экономичные разностные схемы. Прогресс в теоретическом исследовании проблем со свободной (неизвестной) границей в настояшее время достигнут за счет рассмотрения этих задач как вариационных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
