Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть, например, мы можем получить для каждого а = 1, 2,..., т априорные оценки устойчивости следующего вида: (5) ЙУ«<-«/«До 1~ Р«ЬУ«.ь1« — ~1/ыбп с некоторыми р, а = 1, 2,..., т, При получении оценки (5) адаптивная схема (1) рассматривается как обычная двухслойная разностная схема при кахщом фиксированном а = 1, 2,..., т. Тогда из (5) получим искомую оценку (4) с (6) В частности, на основе оценок (4), (6) можно исследовать асимптотическую устойчивость локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности. Подчеркнем важное обстоятельство. При каждом а = 1,2,..., т пенки истой швостн Ю зо«хны быть пони«сны ч «ннов и т«П не норме 334 Глава б. Экономичные разнесенные схемы если не рассматривать более общую ситуацию с последовательным вложе- нием отдельных пространств.
Для схемы (1) этого можно добиться, если рассматривать устойчивость в нормах, которые не связаны с операторами Л, а = 1,2,...,т. 6.0.2. Сходимость локально-одномерной схемы Для исследования устойчивости алдитивной разностной схемы (1) используем подход с получением априорных оценок типа (5) при каждом фиксированном а = 1, 2,..., т.
В этом случае мы имеем обычную схему с весами, исследование устойчивости которой в некоторых пространствах Но проведено в п. 5.5. Однако приведенные ранее оценки получены в нормах, связанных с операторами А. Поэтому приведем некоторые дополнительные оценки обычной схемы с весами. Рассмотрим схему с весами, которая записывается в каноническом виде Уп+ ! — Уп В "+АУп =!Оп, т с операторами (7) и =0,1, В=Е+атА, А=А'>О. Получим оценку устойчивости лля схемы (7), (8) в Н. Разностную схему (7) запишем в виде -1 Уп+~ = аУп+ тВ Рп~ (8) (9) где оператор перехода Я =Š— тВ 'А = Š— т(Е+атА) ~А. ( 10) 1 1 а> — — —, 2 г5т' где Аг — постоянная в оценке (12) г!ю Установим условия, при которых норма оператора Я не превосходит единицы (устойчивость схемы с р = 1).
Для этого необходимо проверить выполнение неравенства 7 = Я'Я вЂ” Е < О, которое с учетом (10) принимает вид ,У= (Š— т(Е+атА) ~А) (Š— тА(Е+атА) ) — Е= =т (Е+атА) А (Е+атА) ' — т(Е+атА) ~А — тА(Е+атА) СЕ. Для получения эквивалентного неравенства домножим его слева и справа на (Е+ атА) и придем к неравенству 2А+ т(2а — 1)А > О. (11) Из (11) следует, что )Щ < 1 при выполнении обычного (см.
п.5.5) условия 335 6.5. Панельно-одномерные разностные схемы При выполнении (12) из (9) получим оценку Ип„11 < Ип11 + 11В р„11 (14) для схемы с весами (7), (8). Рассмотрим теперь несколько более широкий класс схем с весами, когда в уравнении (7) А=А'>О. В =Р+атА, (15) Для получения соответствующей оценки введем (см. п.6.3) новую функ- цию ип = Р')зу„и домножим уравнение (7), (!5) на Р и', что дает В +Аип=Р )оп, п=0,1,", (16) т где В =Е+атА, А=В ~~АР п~ =(А)' > О.
(17) Разностная схема (16), (17) принадлежит к классу уже рассмотренных схем с весами (7), (8). Оценка устойчивости (14) в данном случае имеет вид 11Уп~-~Ь < ИпЬ+т11В 1апЬ. (18) Тем самым для задачи (7), (15) имеет место устойчивость в Нр при выполнении условия (12), где вместо (13) используется оценка А<ЛР.
(19) Теперь мы можем получить оценку устойчивости для локально- одномерной схемы (1). Принимая во внимание Р=6(х)Е, В =Р+и тй, а=),2,...,гп, (20) для каждого фиксированного гг = 1, 2,..., из имеем задачу типа (?), (15) и на основе оценки (18) имеем 11Уп+а/т11о <. 11Упца-О/тЬ + т11Ва )опЬ. Для правой части можно использовать более простую оценку 11Уп-~-а)т11п <.
Ип+1а-1утЬ + т11рп11о-и (21) Имеем 11В„~и1 р — — (РВа~и, В„'и) = (Си,и). С учетом (20) докажем неравенство С = В,~РВ ' < Р '. Для етого домножим его справа и слева на В , что дает Р<В Р В =(Р+а тй )Р ~(Р+а тй )= Р + 2аатйа + (аат) йаР Ла ° В наших предположениях последнее неравенство выполнено с очевид- ностью. 336 1)тана 6. Экономичные розносгнные схемы Оценка (21) имеет место (см.
(12), (19)) при ! 1 тг > — —— 2 Лт' ((у„„(Ц! < !(у„((,+т~„~!(о„1~, < ((а,((п+т~ ~;~!Х,((, (гг) о=о аа! Оценка (22) и есть искомая оценка устойчивости локально-одномерной схемы (1). Для исследования сходимосги схемы (1) запишем задачу для погреш- НОСТИ Еп.!.атп 1(п !.аьп и(Х1 !па() Х Е Ю' Ха+поп Хп+(а-!)/и Ь(х) +Ла (оахп+а/е + ( оа)хп+(а-!)/п~) топ| (23) т а=1,2,...,пт, хо=О.
Здесь и(х, !) — точное решение задачи д и! с(х) — +"! Б,и = 7(х,!), а=! а(х,Ф) = О, а(х, О) = ио(х), (24) (х,!) б („т, (25) (2б) х ЕГ, х б(2, где д / ди'т Б и = — — ~й(х) — ~. дх. ~ д*.,) ' Для погрешности аппроксимации получим выражения ТЬ„'= — Ь(х) ' — Л,(ота(х,еп+!)+(1 — о!)и(х,еп))+(о„, т ф„"= — Л (о,и(х,!па!)+(1 — о,)и(х,(„))+(о~, а=2,3,...,тп. В силу зтого погрешность аппроксимации представляется в виде а а *а Фп =Ф.+Фп, (27) где для т(т„' имеем да ф„= — с(х) — — Б!и+ ~т(х, !), ~а тй, = -Т,,а -!- Т.,бт, ТЗ а = где Л вЂ” постоянная в неравенстве Аа ~ ть,Р, а = 1, 2,..., Тп. Будем считать зти условия выполненными.
Складывая (21) при всех а = 1, 2,..., пт, приходим к оценке устойчивости аддитивной схемы (1): 337 6.5. Локально-одномерные разностные схемы при 7 (х,е) = 7(х, $). а=! На решениях задачи (24) — (2б) имеем (26) «=! Для второго слагаемого в (27) получим гр„= О(т+ 1л1з), (29) т.е. локально-одномерная схема (1) обладает суммарной аппроксимацией. Далее воспользуемся оценкой (31) из п.6.4. На основании априорной оценки устойчивости (22) получим «т !!х«+!!!л < т ~ ~~~ !!рь!!в-' ь=о (30) где "т!« = Фп + то«Л« ~ Ь (х)Ф«+ 'г(1 — оа)Л«У Ь (х)г(!«. (31) д=«<-! Для задач с достаточно гладкими решениями из оценки (30), (31) и усло- вий суммарной аппроксимации (21) — (29) получим Цу„+! — и(х, 1«!.!)Цл < М(т+ )7г/ ), (32) т.е, локально-одномерная разностная схема (1) сходится с первым по- рядком по времени и вторым по пространству в Нр, Р = Ь(х)Е.
6.5.3. Сходимость в равномерной норме Покажем сходимость локально-одномерной разностной схемы (1) в равномерной норме. В этом случае оценка устойчивости также получается на основе получения оценок при фиксированном а = 1, 2,..., пг н соответствующих результатов п. 6.4. Поэтому техника исследования точности остается такой же, как и при получении оценки (32). Безусловная равномерная сходимость показана (см. п.5.3) для чисто неявной схемы.
Поэтому при исследовании равномерной сходимости локально-одномерных разностных схем ограничимся случаем схемы (1) при а, = 1, а = 1,2,...,т, т.е. рассмотрим схему 338 Глава б. Экономичные разностные схемы Оценка устойчивости для схемы (33) получается на основе принципа максимума обычным (см, п.5.3) образом.
При каждом фиксированном а = 1, 2,..., т получим !~:(х) ! )!Уп~-а/т(Х)!)С(а) ~ ~!!Упа(а-!)/ы(Х)!!С(а) + 7" ~ 1 о(х) 1 с» Суммируя по а от ! до т, получим оценку для одного временного слоя ! р:(х) !!Упа~(х)))с>а> ( )!Уп(х))!с>а> + т ~~> „,1 (х),, Отсюда вытекает искомая оценка устойчивости локально-одномерной схемы (33) по правой части и начальным условиям ь.„(н п~~ ия .,;.
~~! ' ! . пп ! р~(х) и О а 1 ( ) с(а) Исследование сходимости проводится на основе суммарной аппроксимации и оценки устойчивости (34) по приведенной выше схеме и приводит К ОЦЕНКЕ тОЧНОСтИ !!Уп+,(Х) — и(Х, /пю)!!С< > < М(т+ !/Г!') дпя ЛОКаЛЬНО- одномерной схемы (ЗЗ). 6.5.4. Адднтнвно-усредненные раэиоетиые схемы Рассмотренные ранее аддитивные разностные схемы основаны на жесткой синхронизации вычислений — для нахождения упа,/ы необходимо знать Упа> Ц/ . В плане использованиЯ аддитивных Разносгных схем для построения параллельных алгоритмов более привлекательными могут оказаться локально-одномерные схемы с возможностью организации асинхронных вычислений.
Отметим некоторые возможности в этом направлении. Не давая общих формулировок, построим асинхронную локально-одномерную схему для модельной задачи теплопроводности (1) — (4) из п.6.4. Определим вспомогательные сеточные функции уп+,/ из следующих разностных уравнений: Уп+а/~в Уп а а(х) + Ла(Сауна а/т + (1 са)уп) = гп> тт (35) а = 1,2,...,гп. По этим функциям находится решение на новом временном слое: ы Уп+1 = Х~~ Уп+а/ы.
(36) т а=! На каждом временном слое решается е одномерных задач, и поэтому эти схемы относятся к классу локально-одномерных адаптивных разностных схем. Заметим, что решения у„„~, а = 1, 2...т, нахолятся 6.5.Локально-одномерные разноси!ные схемы 339 независимо друг от друга (асинхронные вычисления). Далее проводит- ся усреднение этих решений (см. (36)). Поэтому схемы типа (35), (36) называют аддитиено-усредненными разностными схемами. Нетрудно получить (задача 2) оценку (22) устойчивости по правой ча- сти и начальным данным аддитивно-усредненной разностной схемы (35), (36). Рассмотрим теперь задачу для погрешности ха+а!т У«+а/т и(х~ оп+!)~ зп = Уп а(х! сп)> х Е и!. Из (35) и (36) имеем Ь(Х) "+' " +Ла(аазп+а~т+(1 — оа)Х„) = !Рп, гпт а=1,2,...,т, хо=О, Ха+а!т — З!и+«1т + дп~-а/т~ Здесь г1,+ ! определяется из условий Ь(х) = !Ь„, а = 1, 2,..., т, Оо = О. (40) тт Складывая эти уравнения, получим т т Ь(х)~ ~~! Оп+ ! — тпт~„) = тт ~~! 1Ь„.
аа! «=! В силу (28) и (39) имеем 9„+! — — !?„т ... = Оо = О. Из (40) следует г1«а !т т ттЬ '(х)!р„, а = 1, 2,..., гп — 1. Сформулируем теперь задачу для дп у . Принимая во внимание (37) — (39), получим да+а/т дп а Ь(х) + Ла(а«да+а!т + (1 оа)дп) тп> (41) тт ъ —. ! ? . т,. 1 Еп!-! = ~~' йп+а/т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
