Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Для однофазной задачи Стефана вводится новая независимая переменная (преобразование Байокки), которая позволяет получить более простую задачу. На основе метода штрафа, примененного к соответствующему вариационному неравенству, строится метод сквозного счета для задачи Стефана. Квазистационарная задача Стефана описывается стационарным уравнением теплопроводности. Отмечаются особенности численных методов решения таких задач.
В частности, методы сквозного счета могут быть построены на основе выделения особенности решения на границе фазового перехода. Отмечаются основные особенности математических моделей фазовых превращений в сплавах. Формулируются модели с равновесной двухфазной зоной. В некоторых случаях приходится учитывать диффузию примесей в жидкой, а иногда и в твердой, фазах. Нелинейность задач с фазовыми переходами обусловлена, прежде всего, наличием неизвестной (свободной) границы фазового перехода. Кроме того, как и в обычных задачах теплопроводности, нелинейность может быть связана с зависимостью теплофизических параметров от температуры. Для того, чтобы подчеркнуть особенности задач с фазовыми переходами будем считать жидкую и твердую фазы однородными средами с постоянными теплофизическими характеристиками.
7.1. Методы с выделением границы фазового перехода 7.1.1. Модельная однофазная одномерная задача Стефана Поясним основные подходы к численному решению задач типа Стефана с выделением границы фазового перехода на примере простейшей одномерной однофазной задачи Стефана. Рассмотрим отрезок П = (О, 1), 345 7.1. Методы с выделением границы фазового перехода который точкой х = п(С) (граница фазового перехода), гС(О) > 0 разбива- ется на две подобласти: СС+(С) = (х ! 0 < х < п(С)), СС (С) = (х / 11(С) < х < С). Будем считать температуру фазового перехода равной нулю (и' = 0), поэтому в твердой фазе, которая занимает область П, положим и(х, С) < О, а в жидкой (область СС+) — и(х, С) > О.
Для определения температуры в жидкой фазе рассматривается уравнение теплопроводности (однородная среда) ди ди — — — = О, х б СС+(С), 0 < С < Т. дС дхз Дополним уравнение (!) начальным условием х Е Й+(С). (2) и(х, 0) = ио(х) > О, Пусть левый конец поддерживается при заданной температуре: и(0, С) = д(С) > О, 0 < С < Т. (3) На границе фазового перехода выполнены (см. п. 2.3) следующие условия: и(х,С)=0, х=д(С), 0<С<Т, (4) — (х, С) = -Л вЂ”, х = п(С), О < С < Т. ди Ип дх ' дС' (5) Напомним (см. п.2.3), что постоянная Л связана с энтальпией фазового перехода. В силу сформулированных предположений о граничных и начальных условиях в однофазной задаче Стефана (1)-(5) скорость движения границы фазового перехода (е„= дп/дС) положительна, т.е.
область жидкой фазы постепенно расширяется. Монотонное возрастание функции п(С) следует из принципа максимума (см. п. 5.1) для параболических уравнений. 7.1.2. Ловля фронта в узел пространственной сетки Отметим некоторые простейшие вычислительные алгоритмы решения поставленной одномерной задачи (1)-(5) с учетом монотонного расширения области жидкой фазы. Рассматриваются методы с выделением границы фазового перехода, поэтому с неизвестной границей связывается узел расчетной сетки. В области й введем равномерную сетку с шагом Ь; й = (х 1х = х; = СЬ, С = О, 1,..., Ф, ФЬ = С). и пусть ы — множество внутренних узлов, По времени будем использовать неравномерную сетку ы,=(С)С=С„=С„,+т„, Се=О, и=!,2,...,Ф, Ся=Т) 346 Егава 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами с переменным шагом тл > О.
Следует выбирать шаг по времени тлч!, п = О, 1,..., Аà — 1 таким, чтобы за этот временной промежуток (от 1л до 1„ч!) граница фазового перехода сдвинулась ровно на один шаг пространственной сетки. Зтот подход известен как метод вовви фронта в узел сетки. Будем считать, что начальная область П+(0) покрывается частью введенной сетки ы, которую мы обозначим ыв+ (ыв+ С ы). Согласованную сетку на любой момент времени 1л в области й+(1л) обозначим ы„+, причем ы„+ С и!„" !. Для граничного узла этой динамической сетки используем обозначение х = г1(1„) = 1„й.
Поставим в соответствие уравнению (!) чисто неявную разностную схему Ул+! Ул+Л 0 + ул+! = тл+! был ! п 01 (6) где в безиндексных обозначениях Лу= у* Аппроксимация начального условия (2) дает ув(х) = ив(х), х Е ыв+. (7) Граничные условия (3), (4) приводят к условиям ул„(О) = д(!л„), (8) ул+!(х) = О, х = (л+!й. (9) Осталось аппроксимировать условие (5). Принимая во внимание предположение о сдвиге фронта на один узел, имеем дп Ь д! тл+! Для сохранения второго порядка по й на решениях (см. и. 4.2) аппроксимнруем условие (5) следующим образом: улч!(х) — уль!(х — Ь) ЛЬ+О 5(ул+!(х) — ул(х)) + х — зл.~- ! и.
Ь тл+! Разностная задача (6)-(10) аппроксимирует дифференциальную задачу (1)-(5) с точностью 0(г+ Ь'). В качестве неизвестных в задаче (6), (8)-(10) выступают решение на новом временном слое ул+! и шаг по времени тлч!. При заданном г +! разностное решение можно найти из первой краевой задачи (6), (8), (9) либо смешанной краевой задачи (6), (8), (10). Для решения нелинейной алгебраической задачи (6)-(10) на каждом новом временном слое ! = 1л+, используются те или иные итерационные процессы. Простейший из них связан с итерационным уточнением шага по вРемени т„ч!. ПУсть задано начальное пРиближение тв ! (напРнмеР, 347 7Л.
Методы с выделением границы фазового перехода естественно положить тп, = гп), ПРи заланном т~+1 соответствУюЩее о ПрИбЛИжЕНИЕ ЛЛя рпе1 НаХОдИтСя ИЗ рЕШЕНИя СЛЕдуЮ1цЕй ЛИНЕИНОй раэностной задачи: а и +й =О + йп+1 = тп1.1 х Е и1п+1 п=0,1, рп„(О) = а(1.„), а и уп+1(х) = О~ х = гпп1!1. С эюй целью используется алгоритм трехточечной прогонки (см. п.4.5).
Разностное соотношение (!О) используется для уточнения шага по времени. В простейшем случае имеем х — гп+1а При необходимости вместо таких последовательных приближений используется итерационный процесс с релаксационным параметром. В данном варианте метода ловли фронта в узел фиксирована сетка по пространству. Для таких простых задач как (1)-(5) можно использовать и варианты с фиксированной сеткой по времени, когда подстраивается шаг по пространственной переменной. В этом случае удается использовать безытерационные процедуры перехода с одного временного слоя на другой. 7.1.3.
Метод выпрямлеиия Фронта ' Для одномерной задачи (1)-(5) естественным является подход с использованием вместо х новой независимой переменной с, такой чтобы в новых переменных задача решалась в фиксированной области. Простейшая такая замена для задачи (1)-(5) имеет вид х = Щ!). (13) и(х, !) = е(с,!), Новая переменная С изменяется в фиксированных пределах от О (на левом конце х = О) до ! (на границе фазовою перехода * = 1!(!)).
При рассмотрении задач теплопроводности с фазовыми превращениями подходы с такими преобразованиями независимых переменных известны как методы выпрямяепия фронтов, так как в этом случае граница фазового перехода совпадает с фиксированной координатной линией. Сформулируем задачу Стефана (!)-(5) в новых независимых переменных (с, !). Пусть йтава 7.
Задачи теплопроводпости с фазовыми переходами 348 (15) 0 <1< т, следуюшим образом , р" -' д" -д.р" К+о)-у-К-~), В ( 2 (19) Сбит, и=0,1, где уу = ту (1). ревностное уравнение (19) дополняется условиями уо(С) = ио(ету(0)), С Е ы, у„т.~(0) = д(у„чт), и = О, 1,..., Р +~(1) = О, и = О, 1, „ Из (14) и (18) следует, что при 4 = 1 выполнено уравнение д У Уд зчз дз 0'(1) — + - (х — ~ — — = О, 8 = 1, О <1< т. ду 4х дУ) дРз (20) (21) (22) тогда с учетом (13) получим ди 1 де ди де ~ тУту де ди я(!) дту' д! д! п(1) д! дР,' С учетом этого уравнение (1) примет вид дту де ту (!) — — ~ту(1) — — — — =О, 0<('<!, 0<1< Т (14) д! т11 дЕ' дс'з Начальное условие (2) дает е((, 0) = ио(сту(0)), а граничные условия (3), (4) преобразуются следуюшим образом е(0,1) = д(1) > О, (1б) е(1,!) = О, (17) — (1,1) = -уиу(1) —, О <1< т.
де тУту д» ' ду' (!8) Полученная краевая задача (14) — (18) для определения е(Е, !) и ту(1) является нелинейной, но в отличие от исходной задачи (1) — (5) рассматривается в фиксированной расчетной области: 0 < 4 < 1. Необходимо отметить присутствие в уравнении (14) члена с первой производной по переменной С', который отражает перенос тепла за счет движения расчетной области.
Для численного решения задачи (14)-(18) в новых переменных будем использовать разностные методы. Уравнение (14) аппроксимируем на равномерной сетке й=(~)(=~;=та, т=о,у,...,УУ, йуо=!) 349 7.1. Методы с выделением границы фазового перехода Поэтому аппроксимация граничного условия со вторым порядком по Ь на решениях уравнения (14) имеет вид У»„® - Ув„(( - 0) дв„- дв Ув+~ у» " ов»-1 ив С=1, и=0,1,.... Реализация разностной схемы (19) — (23) связана с определением на новом временном слое 1= 1„ы сеточной функции у„ы и В„+1 из нелинейной системы уравнений. С этой целью используются те или иные итерационные методы. Например, аналогично методу ловли фронта в узел можно применять следующий (см. (! 1), (12)) итерационный процесс. При заданном й~ находится у~ „как решение следующей задачи: У +1 Ув д .»1 ив Увнй + ") У м(( ") , с т 2т У»+1 > бам, н=0,1,..., у„,(0) = д(1».»,), н = О, 1,..., ь Уй,1(1) =О, и = О, 1,....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
