Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Для уточнения В„,.~ используется соотношение (23). Например, простейшая линеаризация дает у„"~(б) — у„'~(б — Д) В„',+1 — В„ у~и у " дм н = О, 1,,... (=1, Конечно, вместо этого можно использовать и другие формулы, в частности, определять новое приближение В„~+, 'из соответствующего квадратного уравнения. 7.1.4. Выпрямленно фронта в двумерной задаче Для исследования возможностей метода выпрямления фронта в многомерных задачах рассмотрим следующую модельную однофазную задачу Стефана. Пусть прямоугольник (рис.7.1) П = (х ~ х = (хы хз), 0 < х < 1, а = 1,2) разбивается свободной границей Я = Я(1) на две части: П+(1) (жидкая фаза) и П (1) (твердая фаза).
Будем считать, что граница фазового перехола Я описывается уравнением х~ = 0(хн1), О < хг < 1г и в течение всего 350 йгава 7. Задачи теплопроеодноети с фазовыми переходами исследуемого вРемени сохраняет свою структуру (функция Ч(хп1) при каждом фиксированном 1 является однозначной — свободная граница без самопересечений, 0 < г1(хг, 1) < 11), хг Однофазная задача Стефана для од- 12 нородной среды описывается уравне- нием ди дги — -Š—,=О, д1 дхг (24) х=(хнхг)ЕЙ~(1), 0<1<Т 0 1 ! с начальным условием и(х, 0) =ив(х) > О, х Е Йе(0).
(25) На фиксированной части границы 7 = 7(1) = дй П дйе(1) положим и(х,1) =д(х,1) дО, хй У, 0<1<Т. (2б) На свободной границе имеем (см. и.2.3) Рве. 7.1 х Е Я(1), О < 1 < Т, (27) х~ 51=, чг=хг. (29) гу(хг, 1) Полагая и(х, 1) = в(с, 1), с учетом (29) получим ди дэ д41 до до 1'1 дд до д1 д1 + дг дЬ д1 г1(хг,1) д1 06 Для записи оператора Лапласа в новых переменных вместо непосредственных преобразований используем обшие соотношения тензорного анализа. Пусть д р, а,)3 = 1, 2 — компоненты метрического тензора, З вЂ” якобиан преобразования, который в нашем двумерном случае равен З = дндгг — дадг1. Обозначим через д", а,13 = 1, 2 — компоненты асар социированного (обратного метрическому) тензора.
Тогда для оператора Лапласа в произвольной системе координат имеем (30) г дг г (31) и(х,С) =О, ди — (х,1)=-ЛР„, *Од(1), О<1<Т. (20) Здесь и — внешняя нормаль, а 1п — скорость движения свободной границы по нормали к Я. В рассматриваемых условиях можно провести выпрямление фронта по переменной х„используя преобразование х~ — — с1 г1(хг, 1). Далее залача (24)-(28) записывается в новых независимых переменных С = ф, Сг), причем 7.1. Менгоды с выделением границы фазового перехода 351 (ах~) +(дхг) =Ч (д6) +2(~г7 — Ж~ У6+ ~1+ ~~,— ~ (л(г) г г г г до дьг ь 1 д6) 1 В силу этого имеем угг=1+ 4~ 1 дп Уи =Ун =6г7 > д6' Ун=г7~ и поэтому 6 дг7 ~г г~ 6 дг7 г °,,г д= — + — ( — ~, У=У=- — —, Уз д(г , д(г дг' = 1, (32) а для якобиана преобразования получим выражение 7 -! (33) Подстановка (30), (31) в (24) дает искомое уравнение де 11 до де г 1 д / ер до 1 (34) д1 «, 1) дб ~-,,т д(„1, жр 1 коэффициенты которого определяются согласно (32), (33).
Уравнение (34) рассматривается в фиксированной регулярной области ПГ=Ы!4=(6,1г), 0<~, <1, 0<~г<1г). Соответствуюшим образом преобразуются начальные и граничные условия (25)-(27). Как обычно, отдельного рассмотрения заслуживают условия на свободной границе (при ~, = 1) (28). Принимая во внимание краевое условие (27), из (28) получим дв — (х,1) = -Л~н х Е Я(1), 0 < 1 < Т, (35) дх~ где ~ — компонента скорости движения фронта вдоль осн х,. Из дв 1 де д, да~, и уравнения свободной границы х~ = г7(хг, 1) из (35) получим де дг) — =-Лп —, ~,= 1, 0<1<Т. (36) Щ д1' Заметим, что условие на свободной границе (3б) полностью совпадает с аналогичным условием лля одномерной задачи (см (18)).
Для задания У~Р используемого преобразования вычислим сначала компоненты метрического тензора. Для этого запишем (29) в виде х ~ = 6 г7(6, 1), хг = ~г и получим 352 глава 7. Задачи теплопроводпоети е фазовыми переходами Дальнейшее рассмотрение задачи в новых переменных проводится по той же схеме, что и в одномерном случае. Итерационное уточнение неизвестной границы на каждом временном слое теперь связано с уточнением не одного параметра, а функции. Поэтому здесь могут оказаться полезными упрощенные безытерационные схемы, которые соответствуют, например, использованию одной итерации в приведенных итерационных процедурах для одномерной задачи.
7.1.б. Общее преобразование независимых переменных Для многомерных задач могут использоваться и более обшие преобразования независимых переменных, чем приведенное выше растяжение по одной переменной. Для рассматриваемой задачи (24)-(28) выпрямление фронта может осуществляться общим динамическим преобразованием в~ = з~(4ПСз 1)~ вз = зз(6 Ь 1). (37) Новые переменные выбираются так, чтобы свободная граница была фиксирована. Например, исходная нерегулярная область Йе(1) на каждый момент времени отражается на регулярную (ч ~ ч (61~2)) О < чи < чйчч =СоПЗГ, а = 1,2), Примером такого непрерывного преобразования служит рассмотренное выше преобразование (29). Аналогично рассматриваются и двухфазные задачи Стефана. В этом случае преобразуется не только область Й+(1), но и область Й (1) (твердая фаза).
Понятно, что при этом возникают дополнительные сложности, которые мы не будем как-либо комментировать здесь. Дискретизация по новым переменным фактически соответствует использованию нерегулярных согласованных со свободной границей сеток, адаптивных к границе фазового перехода. Поэтому к проблеме построения вычислительного алгоритма выпрямленна фронта можно подойти с позиций построения таких сеток, не указывая непрерывного преобразования переменных, не формулируя дифференциальную задачу в новых переменных. В каком-то смысле такие построения могут представляться и лишними.
При построении сеток в многомерных задачах типа Стефана необходимо отметить важное обстоятельство. А именно, сетка должна быть динамической, перестраиваемой, по крайней мере, на каждом временном слое. В таком контексте многие известные подходы к построению сеток лля таких задач не совсем подходят. В частности, это относится к ортогональным сеткам. Построение ортогонапьных сеток достаточно сложная задача, которая решается для достаточно простых классов областей со значительными вычислительными затратами. Среди различных подходов к построению двумерных задач наиболее экономичными являются алгебраические методы. Примером может 353 7.1. Методы с выделением гранины фазового перехода 1.1.8. Задачи Задача 1.
Дал модельной однофазной задачи Стефана (1) — (5) рассмо- трите вариант ловли фронта в узел нерегулярной сетки по простран- сгпву. Реьиепве. Будем использовать неравномерную сетку по пространственной переменной. Новые узлы этой сетки будем определять условием, что в этот узел попадаег граница фазового перехода. Пусть на момент времени 1 = 1„+! сетка состоит из узлов х; = х! ! + Ьг, ! = 1, 2,..., з„,, причем положение граничного узла х, гл = з„«! неизвестно (нам не задан шаг Ь,„). Поставим в соответствие (1) разностное уравнение 2 у»»!(х!«!) — у„+!(х;) у»»!(х!) — У„»!(х! !) т»+! 1»!«!+1»! 1ы»! 1ы у»+! у» (38) 1 ( ! ~ гл.
Уравнение (38) дополняется соответствующим начальным и граничными условиями: (39) У ~(0) =У(1 м), у,м(х ) =О служить использование фиксированной х х! сетки по переменной хз в задаче (24)- (28) и локально равномерной сетки по переменной х! (рис. 7.2). Фактически это соответствует использованию алгебраических соотношений (29). Конечно, такой подход может рассматриваться и в более общих ситуациях. Другие известные подходы к построению сеток, связанные так или ина! ! х че с решением некоторых вспомогатель- Рие.
1.2 ных задач для уравнений с частными производными, менее пригодны для быстрого построения перестраиваемых, динамических сеток. В вычислительной практике получили распространение методы «эллиптической» генерации расчетных сеток. Понятно, что решение Соответствующих краевых задач может ло вычислительной работе значительно превосходить затраты на переход с одного временного слоя на другой. Методы с генерированием согласованных динамических сеток особенно важны при повышенных требованиях к точности результатов численного решения.
С этой целью используются и адаптивные сетки. Основные особенности решений задач типа Стефана локализуются вблизи границы фазового перехода, где разрывны производные решения. Поэтому для повышения точности естественно использовать сетки, динамически сгущающиеся вблизи границы фазового перехода. 354 Втава 7. Задачи теплопроводпоспти с о»»тзовмми переходами Для аппроксимации условия (5) используем простейшее разностное соотношение уч, ~ (х,„) — у„, » (х 1) ЛЬ + — О. (40) Ь,„ тч-»! Для решения нелинейной задачи (38)-(40) по определению у„+» и Ь,„ применим метод прогонки (см.
п. 4.5). Для этого используем обозначения тл = уч.„~(х,), т = О, 1,..., тп. Разностная залача (38)-(40) записывается в виде трехдиагональной системы линейных уравнений Соео — Вое1 = Ро т = 1, 2, ..., тп — 1, — А;в; »+ С;е; — В;е;, ~ — — Рп — А 1е -»+С„,в,„=Р„„ и решение иШется в виде т = 1, 2,..., тп — 1, е» = а».»»о» .1+»О»+»» Для прогоночных коэффициентов используются следующие расчетные формулы ао = Со Во, а»».1 = (С» — А;ат) Во т = О, 1, ..., пт — 1, до=Со Ро )ут+» =(С; — А;а;) '(Р;+А<0,), о=О,!,...,тп.
В нашей разностной задаче (38)-(40) имеем ао=О, )то» у(1.1) 1 1 Ь;„+Ь; Ь;,1+Ь; Ат= —, В;=— Р;= С;= + — + —. » » Ь, ' ' Ь;+~ 2т„+~ 2т„.»( Ь; Ь;„» ' В силу этого мы можем вычислить все коэффициенты а;, 15; вплоть до т = тп — 1. Принимая во внимание граничные условия (39), (40), получим 1 )3 — три.» = —. ЛЬ "+ Ь~' Используя выражение для Д, придем к кубическому уравнению для определения Ь з /Ьт+ Ьи-, 1 1 — ат-1'т тчт~ /Ьт+ Ьт-~ )ут-~ 2тлт» Ь»ч Ьт 1 Л 2тч+! Ь»ч Как показывает дополнительный анализ, это уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
