Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Переформулируем одиофазную задачу (!)-(6), (9) для новой неизвестной гв(х, !). Прежде всего из (10) непосредственным дифференцироваиием получаем дгв — (х,!) =и(х,!), х Ей, (1!) т.е. температура и(х, !) имеет смысл скорости изменения функции гв(х, !) со временем. Егава 7. Задача тепеолроеодаоста с ((еазоеыма переходами 366 Для производных по пространственным переменным имеем — (х,С) = / — (х, 0) ао — и(х,г)(х)) —, дго Г ди дг) дх ',/ дх дх «(е) а=1,2.
дго Г ди — (х,С) = ( — (х, О) оо, дх ',/ дх а= 1,2. ч(*) Аналогично — ( С) — (х,а) д — — (х,п(*)) —, ч( ) а= 1,2. С учетом (9), уравнения (!) и соотношения (11) эти представления вторых производных дают г г д го Г дзи Г ди ~- —,(х,С)= ~"',)- —,(х,е)дв+Л=~'-(х,д)дВ+Л= „( дВ ч(ч) ч(*) дх = и(х, С) — и(х, г)(х)) + Л = — (х, С) + Л. Тем самым функция го(х, С) удовлетворяет уравнению дз о — — =-Л, хбй (С), 0(С(Т. (12) В силу (4), (10) в твердой фазе чо(х, С) = О, х Е й (С).
На свободной границе соотношения (6), (10) дают го(х, С) = О, х Е Я(С), (14) а второе условие (7) преобразуется к виду дго — =О, хбд(С). дп (15) В силу (2) начальное условие имеет вид чо(х, О) = О, х Е й. (!6) Принимая во внимание условие (6) на свободной границе, определяемой согласно (8), получим 367 7.3. Преобразование зависимых леременных Осталось сформулировать граничные условия на дй.
С учетом (3), (5) запишем нх в виде в(х, 1) = я(х,г), х б дй = у+ 1з 7 . Принимая во внимание (11), это граничное условие преобразуется к виду го(х,1) = у(х,б) бб> х Е дй. (17) о Таким образом приходим к задаче со свободной границей (12)-(17) для новой неизвестной функции го(х, 1).
Задача (12)-(17) отличается от исходной задачи (1)-(7) для температуры тем, что теперь само решение и его первые производные непрерывны во всей области й. 7.3.3. Метод штрафа В подобласти й (1) можно (см. (13)) считать выполненным однородное уравнение дгн дзго — — — =О, хай (1), 0<1<Т. (18) дг дхз а=! до з дзо дг — ~Х' д = -н(го) х Е П(1), О < Г < Т, (19) д 3 дхз где разрывная правая часть имеет вид (Л, к(гв) = ~ го ) О, го < О. (20) Уравнение (19), (20) дополняется граничными условиями (17) и начальным условием (16). Можно пытаться строить однородные вычислительные алгоритмы сквозного счета на основе поставленной задачи (16), (17), (19), (20).
Однако разрывная правая часть (20) существенно затрудняет проблему приближенного решения задачи для зо(х, 1) . При теоретическом исследовании (вопросы однозначной разрешимости, гладкости свободной границы) с успехом используется формулировка задачи (16), (17), (19), (20) в виде вариационного неравенства. Для приближенного решения вариационной задачи используется метод штрафа. ~ Объединяя (12) и (18) и принимая в расчет однородные условия (14), (15) на свободной границе, можем записать одно общее уравнение во всей ~ расчетной области; 368 !Лава 7.
Задачи теплопрооодпости с фазовыми переходами Не давая вариационную формулировку рассматриваемой задачи, приведем лишь задачу лля приближенного решения, полученного на основе метода штрафа. Обозначим приближенное решение метода штрафа для задачи (16), (!7), (19), (20) через в,(х, !), где е > 0 — параметр штрафа. Для нахождения в,(х, !) формулируется следующая задача. В области П решается уравнение с однородной правой частью: две ' д™е +А(ве)в, = — Л, хб й, 0 <!(Т, (21) ч дхз где )7,(о) — оператор штрафа: ГО, о>0, 1.ез о<0 (22) Начальные и граничные условия для (21), (22) имеют (см.
(16), (17)) обычный вид в,(х,О) = О, с в,(х,!) = О(х, В) дВ, о (23) хай, (24) х б 011. Рассмотрим теперь уравнение (21), (22) для приближенного решения, Пусть линия уровня в,(х) = 0 определяет приближение для свободной границы, т.е. Бе(!) =((х,С) ! ве(х,!) =О, хай), (25) н поэтому две ч-~ д ве ! — — — + — в,=-Л, хай (!), 0<!(7. И ~ах. е' ' В силу принципа максимума (см. п.
5З), положительности Л и однорол- ных условий первого рода на дй (!) имеем в,(х, !) < О. й,+(!) = ((х, !) ! в,(х, !) > О, х Е й), П, (!) = ((х, !) ! в,(х, !) < О, х Е Й). Для того, чтобы убедиться в возможности такого определения подобластей П,(!) и П+(!), рассмотрим краевые задачи в отдельных подобластях. В подобласти й,+(!) выполнено (слг. (21), (22)) уравнение, совпадаюшее с исходным уравнением (12), н соответствуюшие граничные условия. Поэтому в П,+(!) действительно в,(х,!) > О. Длв подобласти й,(!) получим 369 7.3. Лреабразавание зависимых неременнмх При стремлении параметра штрафа е к нулю функция а!,(х,С), определяемая из (21)-(24), дает приближенное решение задачи (! 6), (17), (19), (20), т.е. йш Цн!,(х, С) — а!(х, С)Ц = О, х б П, 0 ( С < Т.
Задача (21)-(24) характеризуется только разрывом коэффициента Д(я!,). Приближенная свободная граница определяется согласно (25). 7.3.4. Рааностиые схемы метода штрафа Ун г ! - Ун А(ун~ !)Ун+! — — -7!, х бы, и — 0 ! (26) т с дополнительными условиями ув(х) = О, х б и!, У в!(х) = д(х, С„.„), х б ды, и = О, 1, (27) (28) Здесь как обычно Лу = ~~„Л.у, а=! Лву = -уз..., х б !и. Реализация нелинейной разностной схемы может основываться на ис- пользовании следующего итерационного процесса: ы! + Ле + + )7г(н )е +' = — Л) х б ы, (29) т е~+~(х) = д(х, 1„5!) --. х б Ои! (30) с начальным приближением и ~' у„. Новое приближение находится о на основе внутреннего итерационного процесса, построение которого проводится с привлечением результатов п.4.7 с учетом специфики сеточной эллиптической задачи (29), (30) (диагональный неотрицательный сеточный оператор 75,(еь)Е).
Вместо нелинейной схемы (26) — (28) можно использовать линеаризованную схему, которая соответствует одной итерации итерационного процесса (29), (30). Приведем некоторые разностные схемы для приближенного нахождения решения задачи (16), (17), (19), (20). Для этого используется задача (21)-(24). При достаточно малых значениях е поставим в соответствие дифференциальной задаче метода штрафа следующую чисто неявную разностную схему. Используя обычные обозначения, аппраксимируем на равномерной прямоугольной сетке уравнение (21) разностным уравнением Игала 7. Эайачи теплоаровойности с фазовыми переходами 370 Обычным образом строятся экономичные аидитианые схемы для задачи (21)-(25). Приведем и качестве примера аддитианую локально- одномерную схему (см. и.б.5): Уп+~/з Уп + Л~Уп+Пз = О, т Уп+~ Уп+из + Лзрп+! + 15п(Уп+1)Уп+! = г хЕы, «=0,1,...
с соответствующими начальными и граничными условиями. Аналогично строятся и другие разностные схемы суммарной аппроксимации. 7.3.6. Задачи ! Задача 1. Преобразуйте условие (7) на границе фазового перехода Я(1), уравнение которой есть 1 = п(х), к условию (9). Решение. Принимая ао внимание (б), из (7) получим д« вЂ” =-ЛУ, а=1,2, (31) дх, Зг, = —, а=1,2, дх (32) Из уравнения границы 1 = я(х) непосредственно следует дз1 дх ,дх И (33) Домножим (31) на дг1/дх, и, складыаая при а = 1,2, с учетом (32), (ЗЗ), получим Е ди д« вЂ” — = -Л.
дха дха Это и есть искомое соотношение (9) на границе фазового перехода. Задача 2. Переформулируйте граничное условие третьего рода д« вЂ” +а(х)и=у+(х,В), хат+, 0<8 <2' йлн функции из(х,1), определяемой согласно (!О). (34) где У вЂ” компонента скорости движения свободной границы по напра- алению х, о = 1, 2. Для точек на границе фазового перехода имеем 321 7.4. Квазнстаннанарнан задана Стефана Рещение. Из (10) имеем дш г ди дч Гд — (х, 1) = / — (х, 9) ад — а(х, О(х)) — = ~ — (х, а) ю1й. да 1 Оа н1н1 т1Ю Дифференцируя это равенство с учетом (11) и (34), получим д2ш да д2а — = — = -о(х)и+ у+(х,1) = -а(х) — + д+(х, 1).
ди д1 ди д1 Интегрируя по 1, отсюда имеем — +а(х)ш = у+(х,1), х Е у+, 0 <1~ (Т. о Тем самым приходим к граничному условию третьего рода для новой функции ш(х,1), ь 7.4. Квазистационарная задача Стефана ди д / да'1 нд(с(и) + ЛО(а)) — — ~ — ~й(и) — ) = 0 (1) дх2 а=! дха дха при х = (хохз), 0 < х2 < 1м — оо < хз < со. Здесь коэффициенты теплоемкости и теплопроводности постоянны в каждой фазе, т.е. Гс+, и>0, Гй+, и>0, с(и) = ~ ' ' й(и) = ~ „ Сформулируем краевые условия на границах пластины. Будем считать„ что нижняя часть пластины теплоизолирована: ди й(а) — = О, х2 — — 1н о ! (2) 7.4.1.
Двумерная модельная задача Под квазистационарной задачей Стефана мы понимаем (см. п.2.3) задачу о стационарных тепловых полях в цилиндрических телах, когда граница фаз движется без изменения своей формы вдоль образующей. Такие задачи имеют важное прикладное значение в микроэлектронике (получение монокристаллов), металлургии (непрерывное литье), сварке и т.д. Рассмотрим модельную двумерную задачу о движении бесконечной пластины мимо теплового источника.
Пусть направление движения пластины со скоростью ее совпадает с осью хз. В неподвижной системе координат уравнение теплопроводности имеет вид 372 .Бава 7. Задачи теппоороеодпости е 4азооыми переходами а на верхнюю действует тепловой поток (моделирование источника тепла): Ои й(и) — = у(х) ) )О, х| = О, (3) Ои причем у(х) Ф О только в небольшой окрестности точки хз = О (локальный источник тепла). Вдали от источника температура пластины постоянна: (4) и(х) = -1, )хз) со. Для определенности будем считать, что мощности теплового источника достаточно для полного проплавления пластины (примерная картина изотерм представлена на рис.
7.4). Рис. 7.4 Поставленная квазистационарная задача Стефана (1)-(4) характеризуется неограниченностью расчетной области. Для приближенного решения этой задачи выделим достаточно большой прямоугольник й = (х ) х = (хн хз), О < х| < 1н ~ххах < 1з) и будем рассматривать уравнение (1) в й, дополнив его условиями на боковых границах: и(х) = — 1, 1хг! = 1н (5) Отметим некоторые возможные подходы к приближенному решению задачи (1)-(3), (5). 7.4.2. Алгоритмы сквозного счета Как и при приближенном решении нестационарных задач (см. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
