Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В каждой подобласти выполнено уравнение теплопроводности ьди а да 3 2 с — — й ~~~ — =О, хай (1), 0<1<Т (5) дг дхз с некоторыми начальными и граничными условиями: и~(х, О) = иа(х), х б й (О), (6) и (х, 1) = у(х,1), х Е 7 (7) где снова у~ =7 (1) = дй Пдй (1), 0<1<Т, 7.0.3. 'Гермоднффузнонная задача Стефана В качестве модельной будем рассматривать задачу с фазовыми переходами и диффузией примеси в прямоугольной области Й, которая подобна модельной двухфазной задаче из и. 7.2. Будем считать, что скорость движения границы фазового перехода при кристаллизации/плавлении бинарного сплава небольшая и диффузия примеси играет существенную роль.
В этом случае имеется граница фазового перехода (узкая двухфазная зона) Я = Я(1), которая разделяет жидкую (Й+(1)) и тверлую фазы (й (1) ). В рамках равновесного приближения граница фазового перехода определяется по температуре ликвидуса для концентрации С+ примеси в жидкой фазе, или температурой солилуса по концентрации С в твердой фазе. Концентрации примеси в жидкой и твердой фазах связаны соотношением 385 7.5. Моделирование фазових переходов в бинарных сплавах На границе фазового перехода выполнены обычные условия: [и[=0, хЕЯ(1), (8) ! ди1 й — ~ = — ЛГ~„, х Е о(г).
(9) Все отличие проявляется в задании условия (4) на свободной ~ранние вместо обычного условия Стефана: и(х,1) = О, х Е БЯ, 0 < 1 < Т. Сформулируем теперь задачу для распределения примеси. Будем считать, что коэффициенты диффузии примеси постоянны в каждой фазе, поэтому уравнение диффузии имеет вид дС+ д С+ — — 'Е д1 дха а=! хЕЙ+(1), 0<1<Т. (10) 7.5.4. Численное решение термоднффузнонной задачи Для поставленной задачи (3)-(13) не удается получить обобщенную формулировку в виде системы двух уравнений (температуры и диФфузии) во всей расчетной области й. Поэтому не удается построить методы сквозного счета для решения термодиффузионной задачи Стефана, подобно рассмотренным в п.7.2 для чисто тепловой задачи Стефана.
Поэтому в различных вариантах можно применять вычислительные алгоритмы, Будем предполагать, что примесь не может покинуть вещество, и поэтому используется граничное условие 27 — (х1)=Р, хЕ у, 0<1<Т. дс" (и) На границе фазового перехода помимо соотношения (3) выполнено следующее условие (п. 2.3) с 73 — ~ = -$~„(! — Й)С~, х Е Я(1), дС1 (12) д.1- выражающее закон сохранения массы. Дополнительно задается некоторое начальное условие С (х, 0) = Св(х), х Е й (0). (!3) Термодиффузионнан задача Стефана состоит в определении температурного поля из решения задачи (5)-(9) и поля концентраций из решения задачи (3), (10)-(13) при условии, что граница раздела фаз определяется равенством (4). Особенностью диффузионной задачи являются не совсем обычные условия сопряжения (3) и (12)„а тепловой — переменная температура на границе фазового перехода (условие (4)).
Етва 7. Задачи тепяопроводпости с фазовыми переходами основанные на выделении границы фазового перехода. Достаточно подробное описание имеющихся подходов приведено в п. 7.1. В вычислительной практике наиболее широко исследуются одномерные термодиффузионные задачи Стефана. В частности, это относиться к вариантам подхода с выделением границы фазового перехода при использонании методов выпрямленна фронта. Необходимо только иметь в виду, что термодиффузионная задача рассматривается обычно в двухфазной постановке. Среди различных упрощений отметим лишь некоторые. При моделировании перераспределения примеси обычно можно пренебречь диффузией в твердой фазе, так как Р+ Ъ Р . Тем самым по моделированию диффузии примеси мы будем иметь однофазную задачу (см.
задачу 1). Заслуживают отдельного упоминания и приближения термодиффузионной задачи Стефана, когда н жидкой фазе концентрация выравнивается (эффективный коэффициент диффузии Р+ л !). Это может быть обусловлено интенсивным коннектинным перемешинанием. В этом случае температура фазового перехода (см. условие (4)) будет постоянная на всей границе, но соответствующим образом меняться но времени. Такую ситуацию можно отдельно просмотреть при использовании однофазного приближения для тепловой задачи. 7.5.б. Задачи ! Задача 1.
Сформулируйте задачу диффузии принеси в ягодкой фазе, считая что в твердой фазе примесь яе распростраяяется. Решение. Условия задачи соответствуют тому, что мы можем положить Р = О. Уравнение диффузии в жидкой фазе имеет вид (см.
(10)): Граничные условия (11) дают дС+ Р+ — (х,!)=О, х6 у+, 0<!<Т. Моделирование условий на границе фазового перехода зависит от того, идет ли процесс затвердевания (Р„' < 0), либо процесс планления (иь ) 0). Наиболее интересная ситуация имеет место, когда на одной части границы Я идет затвердевание, а на другой — плавпение. В этом случае мы имеем дело со сменой граничных условий. При плавлении поле концентраций в твердой фазе (функция С (х)) задано, и поэтому на такой части границы имеем из (3) граничное условие первого рода 387 7.6. Библиография и камментарий При затвердевании граничное условие следует из условия сопряжения (12) с учетом и = О.
Это приводит к краевому условию третьего рода Р— (х, Е) = — У„(1 — Ус)С, х Е Я(1) дС+ на границе фазового перехода. ь Задача 2. Сформулируйте условия для определения температуры плавления в условиях, когда примесь в твердой фазе не диффундирует, о в жидкой — полностью перемешивается. Решение.
В рассматриваемом случае температура фазового перехода постоянная в каждый момент времени на границе фазового перехода, т. е. я(х,1) = — тС (1), х Е Щ, О (1(Т. Для определения зависимости С+ = С+($) привлекаются балансные соотношения. Обозначим через С (х) — примесь в твердой фазе. При проплавлении захваченная из твердой фазы примесь идет на изменение концентрации примеси в жидкой фазе. В силу этого для С+(1) получим Я01 и+ О) где У„ > 0 — скорость движения границы фазового перехода. 7.6. Библиография и комментарий 7.6.1.
Общие замечания 7.1. Методы с выделением границ фазовых переходов используются в различных вариантах давно и широко. Аналогичные подходы применяются и при решении более общих задач со свободной границей. Исследования в этом направлении ведутся, начиная с пятидесятых годов. Здесь, как и в других частях этой книги, мы не имеем возможности цитировать оригинальные работы, не будем пытаться решать вопросы приоритета. Ограничимся ссылками на работы только общего характера. Общее обсуждение вычислительных алгоритмов решения задач типа Стефана дается в работе [7], методы с выделением свободной границы рассматриваются в книге ]2].
7.2. Методы сквозного счета на основе сглаживания коэффициентов рассматриваются, начиная с работ А. А. Самарского и Б. М. Будака с соавторами (1965 г.), где рассматривались многомерные задачи. 7.3. Преобразование Дюво для задачи Стефана описано во многих книгах по вариационным неравенствам (см., например, ]5, 8]).
Численное исследование одно- и двухфазных задач на основе такого подхода 388 Бпгва 7. Задачи пгеплопроеодности с 46азоеыми переходами проведено в работах 1сййезта К.А. (1979 г.). Метод штрафа широко используется при теоретическом и численном исследовании вариационных неравенств [3].
7.4. Вопросы разрешимости квазистационарной задачи обсуждаются в работах [4, 6]. Аддитивное выделение особенности при численном решении таких задач на основе теории потенциала предложено П. Н. Вабишевнчем (1983 г.). Обращение переменных в различных эллиптических задачах обсуждается в книге [2]. 7.5. Проблемы моделирования многокомпонентных сплавов затрагиваются во многих работах. Различные модели двухфазной зоны обсуждаются в работе [1], где приведены результаты аналитического и численного исследований. 7.6.2, Литература 1.
Аедонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации. Рига: Зинатке, 1980. 2. Вабиигеаич П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей. Мс Иза-во МГУ, 1987. 3. Гаоеински Р., Диане Ж -Л., Тремольер Р. Численное исследование вариациоиных неравенств.Мс Мир, 1979. 4.
Даниаюк Н. Н О задаче Стефана // Успехи математических наук. Т. 40. 1985. Вып. 5 (245). С. 133-185. 5. Дюео Г., Пионе Ж.-м. Неравенства в механике н физике. Мс Наука, 1980. 6. Мейрманов А. М Задача Стефана. Новосибирскг Наука, 1986. 7, Рубинштейн Х Н. Проблема Стефана.
Рига: Зеайгзне, 1967. 8. Фридман А. Вариационные принципм и задачи со свободной границей. Мс Наука, 1989. Глава 8 Теппообмен изп учением Мы выделили (см. п.2.5) простейший класс моделей излучения твердых тел. В этом случае перенос излучением осуществляется только с поверхности. Для одиночных выпуклых тел излучение теряется с поверхности по закону Стефана — Больцмана. При моделировании мы имеем обычную краевую задачу со специальным нелинейным граничным условием. В системе твердых тел, одиночном теле с невыпуклой границей необходимо учитывать падающий на поверхность поток излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
