Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 70
Текст из файла (страница 70)
дх~ дх! ' дх! дхг С учетом граничного условия (26) имеем де дг1 де — — (х!, г1(х!)) — + — (х!, г((х!)) = -Лес, дх! ' дх, дхг Поэтому в(х) удовлетворяет уравнению дго д~в Ч вЂ” — — г — -Лев хСР . дхг ~-' дхгн В~ива 7. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами 380 Принимая во внимание и соответствующее выражение для оператора Лапласа в новых коорди- натах, от уравнения (24) придем к следующему уравнению для функции хз(хн е): Подстановка (40), (41) в это уравнение дает искомое уравнение Д вЂ” + 1+ — дз— дх дх дзх /дхг~здзх -2 — — — + ~ — ~ —, =О.
де дх~ дедх~ (, до / дх', (42) 7.4.7. Задачи Задача 1. 11а основе метода штрафа (и. 7.3) сформулируйте «ра- евую задачу для приблиз«енного решения задачи со свободной грани- ие (33)-(38). Это нелинейное уравнение рассматривается в фиксированной прямоугольной области 231 = ((хи е) ! 0 < х| < 1н -1/«< е < О).
Тем самым нелинейность исходной задачи, обусловленная наличием свободной границы, проявляется в нелинейности уравнения (42) при переходе к задаче в фиксированной области. Свободная граница Я в силу граничного условия (25) определяется зависимостью хз = хз(хн 0). Для формулировки граничных условия при е = О используем условие де з — = — Л1есоз (п,хз), х Е Я, дхг которое следует из (25), (26). Это позволяет использовать следующее граничное условие второго рода в новых переменных дхг з — = -(ЛЪ~ соз (и, хз)), о = О. де Другие краевые условия формулируются аналогично (задача 2).
Для решения нелинейной краевой задачи для уравнения (42) со смешанными производными можно использовать итерационные методы с последовательным уточнением коэффициентов, подобно рассматриваемым выше в методах сквозного счета решения задач типа Стефана. З81 7.4. Квазистационарная задано Стефана дте д — — у — +Д,(го,)го, —,1 ш дхг .. дх! где теперь На границах выполнены условия дго, 1 дп ге го,(х) = О, хг = О, хг — — 1г, — = ~ д(б,д) дд, дц~, «1о) д, — =О, дв х| — — 1п х~ — — О. Нелинейность этой задачи помимо нелинейного оператора штрафа обусловлена и граничным условием при х~ = О. ь ! Задача 2. Переформулируйте краевые условия (27) — (29) в переменных Мизеса (для уравнения (42)). Решение. Наиболее просто записывается условие (29) в новых переменных: 1 хг(хп о) = 1г> о = — —. н Для преобразования условий (27), (28) используем соотношение дхг до — = —,7— дх~ дх1 В силу этого (27) дает граничное условие дхг У =О, дх1 х| — — 1ь Для (28) имеем дхг — =.7д(х), х~ = О.
дх~ Последнее условие является нелинейным. Решение. В прямоугольнике О < х~ < 1ы О < хг < 1г приближенное решение го,(х) ищется как решение уравнения 382 Права 7. Задачи теллоороводиогти с фазовыми лереходами 7.5. Моделирование фазовых переходов в бинарных сплавах 7.5.1. Двухфазная зона Затвердевание характеризуется совместным протеканием тепловых процессов в твердой и жидкой фазах, кинетическими процессами на поверхностях растущих кристаллов. Поэтому этн процессы определяются двумя характерными временными масштабами. Первый из них связан со скоростью плавления/кристаллизации, скоростью движения границы фазового перехода.
Второй масштаб времени обусловлен скоростью самого фазового перехода, его кинетнкой. Обычное предположение, которое лежит в основе рассматриваемой выше задачи Стефана, связано с тем, что скорость образования новой фазы значительно превышает скорость движения границы фазового перехода. Поэтому при рассмотрении фазовых переходов исходят из того, что фазовые превращения происходят мгновенно и есть четко выраженная граница фазового перехода.
При моделировании быстро протекающих процессов кристаллизации/плавления часто оказывается невозможным пренебречь скоростью роста новой фазы. Поэтому при кристаллизации жидкого вещества фазовый процесс начинается и продолжается некоторое время, за которое граница затвердевания продвигается на заметное расстояние. Помимо границы начала затвердевания (границы жидкой фазы), границы конца затвердевания (границы твердой фазы) имеется и область, в которой при постоянной температуре фазового перехода происходит фазовое превращение. Эта область, в которой присутствует как твердая так и жидкая фазы называется двухфазной зоной.
Для ее описания естественно ввести новую неизвестную — долю твердой фазы. В силу сказанного прн больших скоростях движения границы кристаллизации/плавлення фазовый переход происходит в некоторой пространственной области (двухфазной зоне). Медленные движения границы фазового перехода приводят к тому, что двухфазная зона утоньшается, и как предельный случай мы имеем выраженную границу фазового перехода, т. е. классическую задачу Стефана. Вопросы учета конечности скорости фазового перехода, самой кинетики роста новой фазы мы здесь затрагивать не будем. Аналогичная ситуация имеет место и при рассмотрении процессов кристаллизации/плавления простейших бинарных сплавов (две компоненты, одна примесь). В этом случае появляются новые временные масштабы: имеется характерный временной масштаб диффузии примеси (выравнивания концентрации примеси) в твердой и жидкой фазах.
Это существенно расширяет спектр возможных направлений протекания фазовых переходов. Некоторые характерные режимы кристаялизации/плавления мы здесь и затронем. 383 7.5. Моделирование фазових переходов в бинарных сплавах При постоянной температуре двух- и компонентный сплав может находиться в трех различных состояниях. Будем й считать, что температура фазового перехода чистого вещества (С = 0) равна нулю и прн малых концентрациях примеси температуры солидуса и ликвнауса представляют собой прямые линии (рис.7.5), причем температура ликвидуса падает с увеличением концентрации при- Рае.
7.5 меси. При температуре и = ие — — сопц сплав в зависимости от концентрации может находится в твердом состоянии (при С < С,) или жидком состоянии (при С > С~). При С, < С < С~ имеется промежуточное равновесное состояние, когда присутствуют как жидкая, так и твердая фазы. Происхождение данной двухфазной зоны обусловленно именно многокомпонентностью сплава.
7.5.2. Кристаллизация без перераспределения примеси Рассмотрим простейшую модель кристаллизации бинарного сплава, основанную на следующем предположении. Предположим, что за время кристаллизации примесь не успевает сколько-нибудь существенно перераспределиться на веществу. В рамках равновесной модели это предположение будет соответствовать тому (см. рис.7.5), что фазовый переход происходит в интервале температур (а4, а~), где и, равновесная температура солидуса (начала затвердевания) и и~ — температура ликвидуса (начала плавления, конца затвердевания). Выделение теплоты кристаализации учитывается заданием эффективной теплоемкости е(а) по формуле с(и) = с(и) — Л вЂ , 41Э (1) йю' где ф(и) — обьемная доля твердой фазы, определяемая по равновесной диаграмме конкретного сплава.
Функцию гр(а) естественно предполагать непрерывной и удовлетворяющей условиям ф(а) = 1 при и < и„за(и) = 0 при и>и~ и 0<уЗ(а) <1, если и, <и<ив Тепловое поле при фазовых превращениях бинарного сплава в нашем приближении будет описываться обычным уравнением теплопроводности ди д / да з с(и) — — ~) — ~й(и) — ) =О, х б П, О <1< Т, (2) д1 дх. 1, дх.)— а=! особенность которого проявляется в задании эффективного коэффициента теплоемкости согласно (1). Приближенное решение задачи для уравнения (2) может основываться на использовании разностных схем, приведенных ранее в п.
7.2. Емва 7. Задачи гпеплопроводносви с фазозмии перетдамп 384 Уравнение (2) отличается от уравнения со сглаженным коэффициентом теплоемкости в методах сквозного счета лишь заданием (специальным сглаживанием) эффективного коэффициента, т.е. выбором интервала сглаживания ((и„и~) вместо Ь) да специальной аппроксимационной зависимостью ( — ~Ь/~/Ни вместо б(и, Ь)). Уравнение (2) можно аппроксимировать, например, чисто неявной схемой Уи-~ У» Ь(у»ы) + й(У„.~1)у»».~ = О, х Е ы, п = О, 1,..., рассмотренной в п.7.2.
Там же приведены и некоторые другие разностные схемы. Поэтому нам нет необходимости здесь подробно на этом останавливаться. С =7еС~, а 6 Я(1), (3) где й — коэффициент распределения. В нашем простейшем случае (рис. 7.5) уравнение ликвидуса имеет вид и~ = — тС+, где постоянная т определяет угол наклона, и поэтому и(х,1) = — тС+(х,1), хе Я(1), 0 <1<Т. (4) Условия (3), (4) определяют специфику рассматриваемой задачи с фазовыми переходами. Краевая задача в отдельных фазах формулируется обычным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
