Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Это приводит к необходимости решения соответствующих интегральных уравнений. Для системы изотермических твердых тел задача упрощается и сводится к системе алгебраических уравнений. В этой главе мы рассматриваем особенности решения задач излучения для простейшего модельного двумерного случая, когда излучение учитывается с одной части прямоугольной границы. Рассматриваются отдельно стационарные и нестационарные задачи теплопроводности.
Нелинейные задачи теплопроводности с учетом переизлучения рассматриваются на примере модельной задачи ддя невыпуклого тела. Учет переизлучения проводится в рамках постановки соответствующих граничных условий. Основное внимание уделяется методам решения интегрального уравнения для плотности теплового потока. Более общие задачи (учет селективности излучения, поглощающая окружающая среда) могут быть рассмотрены аналогично.
Приближенные модели для системы излучающих изотермических тел, подробно рассматриваемые при изложении инженерных методов теплофизики, здесь не обсуждаются. 8.1. Стационарное излучение выпуклых тел 8.1.1. Модельная задача Рассмотрим процессы теплопередачи, которые моделируются двумерной задачей в прямоугольнике 0 < ха < 1ю гг = 112). й = (х ~ х = (хн хз), Глава 8. Тенлообмен излучением 390 Среда предполагается изотропной, поэтому стационарное тепловое поле описывается уравнением д г' ди 'т — ~ й(х) †) = з(х), х Е П.
, д*.1, д .,г' Через т обозначим часть границы расчетной области: 7=(х/хЕдй, хз=1з), и пусть Г = дй 1 у. Будем считать, что на Г поддерживается заданный температурный режим, т. е. д / двч — ~~ь — ~й(х) — ~ = О, , дхе 1, д*.,1 хЕП, в(х) = О, хЕГ, и поэтому максимум функции в(х) достигается в некоторой точке хо Е у. В силу этого дв — >О, х=хеЕ у. яя и(х) = д(х), х Е Г. (2) На оставшейся части границы происходит теплообмен с окружающей средой. Учитывая излучение с этой поверхности, запишем (см.
п.2.5) граничное условие в виде й — + о~(х)(и — д(х)) + оз(х)(й — д (х)) = О, и Е у, (3) дп где д(х) — температура окружающей среды, Перепишем это условие в виде ди й — + о~(х)и+ оз(х)и = д(х), х Е 7. ди Здесь коэффициент о,(х) > О обусловлен конвективным теплообменом с окружающей средой, а оз(х) > Π— потерями тепла на излучение. Приведем некоторые простейшие факты для краевой задачи (1) — (3), нелинейность которой обусловлена только граничным условием (3), Нас будет интересовать прежде всего единственность решения. Доказательство единственности проводится на основе принципа максимума (см. п. 4.1, а также п.4.9).
Будем считать, что существует два решения задачи (1) — (3) ид(х), 11 = 1, 2. Рассмотрим разность в(х) = и~(х) — из(х), Пусть в некоторой точке х области П функция в(х) > О (если это не так, то рассмотрим разность из(х) — и~(х)). Из (!), (2) имеем 8.1. Стационарное излучение выпуклых тел 391 С другой стороны, граничное условие (3) дает дм х й — = сг,(х)(из — и~) + аз(из — и~) < О, х = хо Е 'у, д так как и~(х) < из(х) в точке х = хо Е у. Полученное противоречие и дает хв(х) = О, х ЕЙ. 8.1.2. Разностная задача г — (а ух.),„= 1о(х), х Е ш, а=! где, например, (4) а,(хи хо) = Уо(х~ — О 5Ухп х,), аг(хихг) = й(х~ хг — О 51хг). Граничные условия (2) дают (5) У(х) У(х) х Е Гл. Граничное условие (3) записывается в виде й(х) — (*)+ а~(х)и+ аз(х)и = д(х), хз = 1з. ди 4 дхх Аппроксимация на решениях (см.
п.4.3) со вторым порядком этого условия дает аз(х)уе2+а~(х)у+аз(х)у — — (а~ух,)„= — у(х)+д(х), хЕ уь. (6) а д, йз По аналогии с дифференциальной задачей (1)-(3) можно показать единственность решения разностной задачи (4)-(6) (задача 1). Доказательство существования проводится другими методами и здесь не рассматривается. Мы предполагаем априори существование решения как дифференциальной (достаточно гладкого), так и разностной задачи, т.е. выполнены достаточные условия разрешимости как для исходной, так и для разностной задач.
8.1.3. О сходнмости разностной схемы На основе принципа максимума можно получить соответствующие априорные оценки для решения разностной задачи (4)-(6) в равномерной норме (см. п.4.3), а также соответствующие оценки для погрешности. В П введем обычную прямоугольную сетку ш с шагами Ух| и Ьз и пусть множество граничных узлов дш = Го О ую где х Е уь — узлы, лежащие на у. Уравнение (1) во внутренних узлах аппроксимируется разностным уравнением 392 Егава 8. Теллообмея изеучением Сформулируем, например, задачу для погрешности з(х) = у(х) — и(х).
Из (1), (4) и (2), (5) получим г — (а,з-,.), = г)г(х), х Е ы, ч=! з(х) = О, х Е Гго (8) где погрешность аппроксимации р(х) = ООЬ!г), ~д!г = дг+ дг. Несколько сложнее в силУ нелинейности выглЯдит кРаевое Условие на 7ь. Из (3), (6) следует Ьг аг(х)зх, + о(х)з (аггю)*~ т)гг(х) х Е 7ы (9) здесь тег(х) = 0(~6~~), а коэффициент У(х) определяется выражением о = о1(х)+ ог(х)(у+ и)(у + и ). (10) Разностная краевая задача с граничными условиями третьего рода рассматривалась в и. 4.3. Для задачи (7)-(9) имеет место априорная оценка при у(а) > гто > О. Как следует из (10), при с~(х) > оо > 0 для этого достаточно, чтобы как решение раэностной задачи у(х), так и решение дифференциальной задачи и(х) были неотрицательны.
В задачах тепло- обмена условие положительности температуры естественно и достигается заданием неотрицательных функций Дх), д(х). При исследовании дифференциальной и разностной задачи соответствующие утверждения должны, вообще говоря, доказываться. Здесь уместно сделать следующее замечание. Условие Стефана— Больцмана предполагает положительность температуры. При формальной записи краевого условия на излучающей поверхности в виде (3) предположение о положительности температуры явно не присутствует. Это затрудняет качественный анализ соответствующей задачи. Однако можно несколько преобразовать условие (3), чтобы упростить ситуацию. Положим и+ = шах(О,и) и запишем краевое условие на излучающей поверхности в виде ои ч 4 гг — + о~(х)и+ ог(х)(и ) = д(Х), х 6 7. (11) Физическое содержание задачи излучения осталось прежним. А вот математическая форма изменилась.
Поэтому для задачи (1), (2), (11), например, можно легко показать положительность решения (задача 2). Аналогично рассматривается и соответствующая разностная задача. Таким образом, в классе неотрицательных решений разностная схема (4)-(б) сходится со вторым порядком в равномерной норме к достаточно гладкому решению задачи (1)-(3).
393 8.1. Стационарное излучение вылуклых тел 8.1.4. Решение сеточных задач Разностная схема (4)-(6) нелинейна, и для нахождения приближенного решения мы должны использовать те или иные итерационные методы. Для этого удобно разностную схему записать в следуюшем операторном виде ЛУ = Р(х~ У)~ х Е и' О 7ь~ (12) где Л вЂ” линейный сеточный оператор, который соответствует краевой задаче с условиями третьего рода.
Уравнение дополняется краевыми условиями (5). Принимая во внимание (4), (6), для Л имеем г — 2, (а,у;;)... азы, а=! (13) 2 †(аэ(х)У;, + а~(х)У) — (а~Уз,)ео Лэ х Е 7ь. Для правой части разностного уравнения (12) из (4), (6) аналогично получим у(х), хны, Р(х, у) = 1(х) + — (Ч(х) — оэ(х)У ), х Е 7ь. Л2 (14) Сформулированная разностная задача (5), (12) — (14) принадлежит к классу нелинейных разностных задач, итерационные методы решения которых рассмотрены в п.4.9. В частности, для приближенного решения уравнения (12) с условиями (5) можно использовать простейший итерационный процесс последовательных приближений Л +ЛУь — Р(х,рь) = О, х Е ыгэ7ь Уьм — Уь т В силу неограниченности производной правой части Р(х, у) по у можно ограничиться простейшим выбором итерационного параметра т, положив его равным 1.
Вторая возможность связана с использованием переменного итерационного параметра. Для приближенного решения задачи (5), (12) можно испольэовать итерационный метод Ньютона. В этом случае новое приближение находится из решения разностного уравнения дР дР ЛУь~~ — — (х, Уь)уь м —— Р(х, Уь) — — (х, Уь)ры х Е ы О 7ь. У При хорошем начальном приближении этот итерационный метод имеет квадратичную скорость сходимосги.
З94 Глава 8. Теплообмен излучением 8.1.б, Задачи ! Задача 1. На основе принципа максимума аоказките единственность решения разностной задачи (4)-(б). Решение. Воспользуемся принципом максимума для разностных схем (см. п. 4.3). Для разности двух решений разностной задачи (4)-(б) э(х) получим г — ~(а,иа,),,=О, хбш, ь=! о(х)=О, хЕГь, и поэтому максимум (как и в дифференциальной задаче — положительный) достигается в некотором узле х = хь Е уь. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при таких условиях граничное условие 4 ь Лг аг(х)ие, + о1(х)и+ аз(х)(у, — у,) — — (а1ое,)„= О в узле х = хь Е 7ь не выполняется.
Тем самым, решение разностной задачи (4)-(б) единственно. ! Задача 2. Покажите, что при неотрицательных з(х), у(х) и ч(х) решение задачи (1), (2), (11) неотрицательно. Решение. На основании принципа максимума (п.4.1) при у(х) > О и у(х) > О решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), не может достигать отрицательного минимума в Й 0 Г. Предположим, что отрицательный минимум достигается на у. Тогда левая часть (11) будет отрицательна, а правая положительна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
