Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Данное противоречие и доказывает неотрицательность решения задачи (1), (2), (11). ь 8.2. Нестационарные задачи излучения 8.2.1. Двумерная задача для выпуклых тел Обсуждаются особенности разностного решения нестационарных задач излучения выпуклых тел на примере модельной задачи в прямоугольнике й. Рассматривается обычное уравнение теплопроволности ов о у ов ~ с(х) — — ~ — ~й(х) — ) = Дх,1), х Е Й, 0 <1(Т.
(1) о1, 8.1 о.) Оно дополняется начальным условием (2) в(х, О) = вь(х), х Е й. 8.2. Несмаиионарные задачи излучения 395 и(х, 1) = д(х, 1), х Е Г, 0 < 1 < <Т. (3) На другой части задаются нелинейные граничные условия третьего рода, которые запишем в виде Ь вЂ” +иг(х)и+из(х)н =д(х,г), хЕ у> 0<1 <Т. (4) ди 4 Здесь коэффициенты иг(х) и иг(х) предполагаются положительными.
Как и для стационарной задачи (см. и. 8.1) на основе принципа максимума устанавливается (зедача 1) единственность решения задачи (1)-(4). 8.2.2. Рааиоетиая схема Для численного решения нестационарной задачи (1) — (4) с нелинейными граничными условиями используются стандартные разностные схемы. Ориентируясь на использование принципа максимума для обоснования безусловной устойчивости разностных схем, будем в качестве базовой использовать чисто неявную разностную схему. Для внутренних узлов сетки по пространству ы и граничных узлов уь определим оператор — 2,(а Ув,)... х6ы, а=! (5) 2 — (аг(х)уз, + г1(х)у) — (а у-*-,)*„ х Е 7ь> и положим ь(х) = с(х), х б ы гг 7ь. с учетом введенных обозначений аппроксимируем уравнение (1) следующим разностным уравнением Ь(х) " "ч Лу„.„1 — — Р„(х,у„~1), хбигО7ь, п=0,1,....
(б) т В этом разностном уравнении Е„(х, у„+~) = Р(х, Ф„он у„+~), где 2(х, г), Р(х,г, у) = 2 у(х, о) + — (ч(х, о) — иг(х)у ), аг хны, (8) х Е 'уь. Условия (2), (3) дают уо(х) = ио(х) уем(х) =д(х,г г), (9) (10) х б иг Гг 7ь, х Е Гл. Используем для отдельных частей границы обозначения предыдущего параграфа. На части границы д(2 задано условие первого рода 396 Глава 8. Теллоосмен излучением Чисто неявная разиостиая схема (5) — (10) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с погрешностью 0(т + )Ь(~). Подобно стациоиариой задаче устанавливается единственность разиостиого решения иа новом временном слое. Принцип максимума позволяет установить устойчивость этой нелинейной схемы, ее сходимость (см.
п. 5.3). Исследование разиостиой схемы (5)-(10) проводится по схеме п. 5.9. В частности, для нахождения решения иа новом временном слое используются итерационные методы, подобные тем, что рассматривались в п. 8.1. Например, метод Ньютона приводит к следующей линейной сеточной задаче: аы 6(х) " + Ле~~' = Р„(х, ти ) + — "(х, ш")(э ь — и"), (11) т ду хе Гь, (12) где х Е ш 'ш' 7ь, и = О, 1,..., при начальном приближении в~(х) = у„(х). Среди лииеаризоваииых разиостиых схем для задачи (1)-(4) отметим следующие. Лииеариэацию граничного условия на новом временном слое можно провести относительно решения иа предыдущем временном слое. Это приводит к схеме Ун+ ! — Уп ~%, Ь(х) +Лу„~-1=У„(х,у„)+ (х у )(у н у ) т ду хишш7л, и=0,1,..,, которая соответствует использованию одной итерации метода Ньютона (У„~1 — — ш' в (11), (12)).
Более глубокая лииеаризация связана с тем, что правая часть в приведенной схеме вычисляется по предыдущему временному слою, используя для определения У„.,1 — у„явиую схему. Необходимо только отметить, что лииеаризация чисто неявных схем приводит к более жестким условиям сходимости разиостиых схем, хотя и позволяет уменьшить вычислительиую работу для нахождения решения иа новом временном слое. Заслуживает отдельного упоминания линейная схема с лииеаризацией краевого условия (4) относительно температуры внешней среды. Граничное условие л — + н,(х)(и — д(х,1)) + от(х)(и — д (х, 1)) = О, ди (!3) хб7, 0<1(Т записывается в виде ди й — +д(х,й,и)(и — д(х,Ф)) =О, хЕ у, 0<1<Т, 8.2.
Нестаиионарные задачи излучения 397 где коэффициент о (х, 1, и) = а, (х) + аз(х) (и + у(а, 1)) (к~ + д~(х, 1)) интерпретируется как эффективный коэффициент теплообмена. Линеа- ризованная схема лля задачи (1)-(3), (13) строится на основе вычисления коэффициента а(х, 1, и) по предыдущему временному слою.
8.2.3. Экономичные схемы Экономичные разностные схемы для приближенного решения задачи (1) — (4) строятся на основе расщепления линейной части где с учетом (5) Л|у = — (а|у;,)„, * Е ш о ул, т -(агуз,)*, Азу= 2 — (аг(х)у;, + о1(х)у), 2 наш, а Е 7л. Приведем в качестве примера схему переменных направлений. Она (см. п. 6.2) имеет вид УчмГз — У» Ь(х) +Л,У„Н,+Л у„= К„(к,у„), (14) 0,5т Усы — У +нд 0(х) + Л1У„~~1з+ Лгу„+1 — — Х„(х, уя м), 0,5т (15) абш07я, п=0,1,..., юг ~~я т.е. нелинейная часть связывается с оператором Лз. На первом этапе решается линейная сеточная залача (!4), на втором — нелинейная.
Следует заметить, что одномерная сеточная задача (15) при каждом фиксированном х~ характеризуется нелинейностью только в одном расчетном узле. Для таких задач (задача 2) можно строить специальные итерационные алгоритмы, вычислительные затраты для которых не зависят от общего числа узлов. Поэтому локально-одномерные схемы для задачи (1)-(4) с нелинейным граничным условием будут экономичными. Аналогичное замечание касается и более сложных задач 398 Глава 8. Теплообмен излучением 8.2.4.
Задачи ! Задача 1. Покажите единственность решения задачи (1) — (4). д д Г д с(х) — — ~~~ — ~ й(х) — ) = О, д1, дх,~, дх ) хе!!, 0<1<У, в(х,О) = О, в(х,Ф) = О, хбй, хБГ, 0<1<У. В силу принципа максимума для параболических уравнений (см. п.5.1) максимУм фУнкции в(х, г) достигаетсЯ в некотоРой точке хе Е 7 на мо- мент времени $ = $е. В этой точке дв — >О, ди 1 = 1е.
х= хе 6'у, В этих условиях граничное условие (4) дает дв 4 4 й — + а!(х)(из — и!) + оз(из — и!) < О, х = хд Е'," 7, 3 = ге. ди Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Задача 2. для решения нелинейной сеточной задачи С,у, - В! уз = Р„ — А;у; !+С;у; — В;у!ы = Рн -А,у,+С у =Р (у ), ! = 2, 3, ..., т — 1, (16) рассмотрите вариант метода прогонки (параметрическая прогонка), когда решение ищется е виде у, = и;у,„-1- вп 1 = О, 1,..., т. (17) Решение.
В силу (16), (17) можно определить сеточные функции и; и в; из решения трехточечных задач. Для определения и; используются уравнения С!и! — В!из = О, -А;и; !+С,и; — В<и;+! — — О, — 1 ! = 2,3,...,т — 1, (18) Решение. Доказательство проводится от противного. Пусть существует два решения задачи (1) — (4) ир(х, $), где )5 = 1,2. Рассмотрим разность в(х,1) = и!(х,1) — из(х, С). Будем считать, что в некоторой точке (х,1) области функция в(х, 1) > 0 (в противном случае рассматривается разность из(х, 1) — и!(х, 1)). Из (1)-(3) имеем 399 8.3.
Тенлообмен излучением нри заданных температурах а соответствующая задача для чог имеет вид С1иЧ вЂ” В~газ = Рц — А;гог 1+ С;ин — Вгичч.1 — — Хп 1=2,3,...,пз — 1, (!9) Решение задач (18), (19) проводится на основе обычного (см. п. 4.5) варианта прогонки и проблем не вызывает. Необходимо только отметить наличие общего прогоночного коэффициента, что позволяет сократить вычислительные затраты. После того, как сеточные функции и;, ич, 1= 1,2,...,га найдены, подстановкой представления (17) для решения задачи (16) в последнее уравнение получим нелинейное уравнение -А,„(и,„|у, +чо 1)+С„р,„=е~,(у ) для одной неизвестной ум.
Для решения нелинейного уравнения используются стандартные методы вычислительной математики, например, метод Ньютона. 8.3. Теплообмен излучением при заданных температурах а=1,2), а= 1,2). 8.3.1. Задача теплообмеиа с учетом переиалучеиия Для невыпуклых тел или системы тел необходимо проводить учет тепловых потоков, которые попадают на элементы поверхности тела с других участков поверхности. Это приводит к дополнительным тепловым потокам, повышению температуры поверхности и, таким образом, к увеличению самого потока теплового излучения. В таких условиях естественно говорить о дополнительном излучении, переизлучении. Задача расчета процессов теплообмена должна рассматриваться в согласованной постановке. Интенсивность теплового излучения зависит от температуры поверхности, которая, в свою очередь, зависит от тепловых потоков на поверхности, от теплового излучения, Прежде чем рассматривать такую общую задачу, остановимся на упрощенной модели, считая температуру поверхности заданной.
Это даст нам возможность сосредоточиться именно на задаче расчета теплового излучения твердых тел. Для описания процессов теплообмена излучением рассмотрим простейшее твердое тело с невыпуклой границей. Будем рассматривать процессы теплопереноса в условиях двумерной задачи, когда расчетная область представляется (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
