Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 76
Текст из файла (страница 76)
С этой целью можно вместо чисто неявной схемы (17), (18) рассмотреть схему, в которой используется уравнение 6(х) " + ЛУ»+! + Ро(х)Рз(х~ У»+1) + Ро(х)а» = Р1(х), т (19) хЕыгзуь, я=0,1,.... Разностная схема (18), (19) на этапе расчета теплопереноса внутри тела с учетом собственного излучения полностью совпадает с рассмотренной в п.
8.2. В частности, на основе (18), (19) могут строиться и соответствующие схемы суммарной аппроксимации. При построении разносгных схем для нестационарных задач типа (12)-( 16) необходимо учитывать следующее обстоятельство. На каждом временном слое необходимо решать задачу расчета потока теплового излучения. Поэтому необходимо минимизировать вычислительные затраты на этом этапе. Можно использовать итерационные методы, ориентируясь на то, что существует хорошее начальное приближение для потока теплового излучения с предыдущего временного слоя, Вторая возможность 411 8.5.
Библиография и комментарий связана с обращением матрицы системы уравнений, которая соответствует интегральному уравнению и ее постоянному хранению. Это связано с тем, что задача расчета потока характеризуется изменением лишь правой части интегрального уравнения. 8.4.6. Задачи ! Задача 1. Выделите окрестности точек границы 'у при дискретизации интегрального уравнения (4).
Региенне. Для перехода к сеточному уравнению (7) используются узлы сетки, лежащие на границе у. Пусть т. е. точка излома границы у — это узел (Лг,', 1чзн). Необходимо найти температуру и поток излучения в узлах ($, 1чз )~ 1 = 7у1 + 1, ЛГ1 + 2, ..., гч1, (20) (1у1 3) 3 = Лгзн + 1, 7уз» + 2, ", Лгз, (21) и в узле (7У,', Гуз~ ). С каждым этим граничным узлом связывается окрестность, равная Л1 в случае (20), Лз — в случае (21) и 0,5(Л1+ Лз) лля узла (~% Л2). ! Задача 2..Напишите линеаризованную схему с использованием явнои схемы для расчета потока теплового излучения. Решение.
По явной схеме о(х) +Лр»+Рь(х)в» = р~(х), х Е ы 07ь, т рассчитывается у„+ ~. Эта функция используется для линеаризации правой части разностного уравнения для потока и поэтому ВРз (Е В)л»+1 — Рз(х, у») — — (х, р»)(р»+1 — р») = О, р х67л, п=0,1,.... Приближенная температура рассчитывается согласно (17). ь 8.5.
Библиография и комментарий 8.0.1. Общие замечания 8.!. Численные методы решения задач с нелинейными граничными условиями затрагиваются во многих работах. Здесь используется стандартный для теории разностных методов решения эллиптических краевых задач математический аппарат (8, 91 412 йвва 8. Тенлообмен излучением 8.2.
Для нестацнонарных залач с учетом собственного излучения прнменены обычные разностные схемы ]7]. Краевые задача для параболнческнх уравнений второго порядка с нелинейными краевыми условиями обсуждаются в книге ]11]. 8.3. Имеется обширная литература (см., например, ]!, 3 — 6, 10]), которая посвящена решению задач излучения в простейших постановках, когда температуры известны. Там же излагаются методы, основанные на решении соответствующего интегрального уравнения. Вычислительные алгоритмы решения интегральных уравнений широко представлены в книге ]2]. 8.4. Мы ограничились простейшими соображениями по поводу решення задачи теплопроводностн в твердом теле с учетом перензлучення.
8.6.2. Лнтература 1. Блок А. Г., Журавлев Ю. А, Рыэгков Л. Н. Теняосбнен излучением. Мз Энергоатомнздат, 1991. 2. Верлакь А.Ф., Сизиков В. С Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, !986. 3. Зигегь Р., Хауэлл Дэг. Тенкообмен излучением. Мл Мнр, 1975.
4. Исаченко В. П., Осииова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. Мл Энергоэтомнздат, 1981. 5. Карслоу У., Егер Д. Теплопроводнссть твердых тел. Мл Наука, 1964. 6. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачн. Мл Мнр, 1983. 7. Самарский А.А. Теория разностных схем. Мл Наука, 1983. 8. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы дкя эллиптических уравнений. Мл Наука, 1976, 9. Самарский А.А., Николаев Е С Методы решения сеточных уравнений.
Мл Наука, 1978. 10. Сиэроу Э. М,, Сесе Р Д. Теплообмен излучением. Л., Энергия, 1971, 1!. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Мл Мнр, 1968. Глава 9 Конвективный теилообмен Важное прикладное значение имеют процессы переноса тепла с учетом движения среды. Примером может служить движение неравномерно нагретой жидкости под действием выталкивающей силы (свободноконвективные движения). Процессы теплопереноса в этом случае обусловлены не только теплопроводностью, но и движением среды. В свою очередь в таких процессах тепло- и массообмена тепло и обуславливает само движение среды. Учет конвективного переноса тепла проводится в рамках уравнения теплопроводности с конвективным слагаемым. Сначала рассматривается ситуация, когда движение среды задано.
Задачи для уравнений теплопроводности с учетом конвективного переноса обладают определенной спецификой. Она проявляется в том, что операторы конвективного переноса являются несамосопряженными. Сначала рассмотрены вопросы построения разностных схем для стационарных уравнений конвективного переноса тепла.
Выделяется класс монотонных разностных схем, для которых выполнен принцип максимума. Проводится анализ различных разностных аппроксимаций конвективных слагаемых в уравнении теплопроводности. Обсуждаются особенности итерационных методов решения сеточных эллиптических задач с несамосопряженными операторами, ориентируясь на задачи конвективного теплоперен оса. Строятся различные разностные схемы для нестационарных задач конвективного теплопереноса.
Основное внимание уделяется монотонным разностным схемам при использовании дивергентной и недивергентной записей уравнения теплопроводности. Для многомерных нестационарных задач описываются соответствующие экономичные разностные схемы. Проблемы тепло- и массопереноса моделируются на основе уравнений Навье — Стокса в приближении несжимаемой жидкости. Рассмотрены методы решения задач коивекции при использовании исходных переменных скорость, давление, температура», Для формулирования приемлемой задачи для давления используются ющитивные операторно-разностные схемы. Это дает сеточные параболические задачи для компонент скорости : температуры и сеточную эллиптическую краевую задачу для давления.
414 Б!ава 9. аонвективный гоеплообмен Для двумерных задач конвекции традиционно широко используются методы, основанные на использовании переменных ефункция тока, вихрь скорости и температура», Такой подход приводит к обычным уравнениям математической физики для неизвестных. На основе общей теории аддитивных разностных схем строятся безьперационные разностные схемы с заданием вихря скорости на границе. Для моделирования течений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости в каналах, трубах используются упрощенные модели, основанные на решении параболизованных уравнений Навье — Стокса.
Анализируются особенности решения задач в таких постановках на примере задачи о течении на входе в плоский канал. Рассмотрены проблемы моделирования задач плавления/затвердевания с учетом конвективных движений расплава. Основное внимание уделяется построению разностных схем сквозного счета.
С этой целью для моделирования течений жидкости привлекается метод фиктивных областей в различных вариантах. 9.1. Разностные схемы для стационарных задач теплопроводности с конвенцией 9.1.1. Уравнение теплопроводности е конвекцией будем в двумерной области й рассматривать процесс теплопереноса, обусловленный теплопроводностью и движением самой среды. Считая среду однородной, запишем уравнение теплопроводности в виде г ди ди с~ ао(х) — — ~ Й вЂ” = )'(х), х = (х!,Хз) Е Й, (1) дх,, дх~~ где о„(х), а = 1, 2 — компоненты скорости (е = (е!, ез)), которые мы считаем заданными. Считаем среду несжимаемой, и поэтому компоненты скорости связаны соотношением е = О, т. е. г — =О, хай.
дх Такое допущение, оправданное во многих прикладных проблемах, позволяет нам несколько сузить класс рассматриваемых задач и дает возможность строить более ориентированные вычислительные алгоритмы. Условие несжимаемости (2) позволяет переписать (1) в виде с ~ — — ~~! 1с — = з (х), х Е й, д(о,н) д и дх, дхоз «=! а=! который соответствует дивергентной записи конвективных слагаемых. 415 9.1. Стационарные задачи тенлонроводногти с конвекцией Уравнение (1) (нли (3)) дополняется обычными условиями первого- третьего рода на границе. Например, положим в(х) = д(х), х б дй, (4) т.е.
на границе поддерживается заланный температурный режим. В более общем случае используется граничное условие третьего рода: ди й — + т(х)и = р(х), х е дй, (5) дв и„(х) =та=О, х Е дй, (б) т.е. нормальная компонента скорости движения среды на границе области равна нулю (замкнутая область, условие непротекания). Определим для уравнения (1) оператор У(т) с помощью соотношения 2 дго У(т)го = тягай го = ~~~ о,(х) —. дх, «=! (7) Аналогично для уравнения (3) получим У(т)т = Йт (тго) = ~~> дх (8) При выполнении условий несжимаемости (2) олераторы конвективного переноса, определенные в недивергентной (7) и дивергентной (8) формах, совпадают.
где о(х) > Π— коэффициент конвективного теплообмена с окружающей средой. Для уравнения теплопроводности с конвективным переносом справедлив принциц максимума (см. п.4.1), Причем он выполнен как для недивергентного уравнения (1) (см. и. 4.1), так и для дивергснтного уравнения (3) (см. задачу 1 в п.4.9). С выполнением принципа максимума связывается цонятие монотонности решения, что имеет прозрачную физическую интерпретацию.
Свойству монотонности решения уделяется (и не всегда заслуженно) повышенное внимание при приближенном решения задач конвективной теплопроводности. На основе принципа максимума обычным образом устанавливается единственность решения краевых задач для уравнений (1), (3) с условиями (4), (5). Рассмотрим более подробно оператор конвективного переноса тепла.
Положим, что 416 Б~ава 9. коноектионмй теллообмен В гильбертовом пространстве 'Н = Ьз(й) при выполнении (6) имеем 2 1н.>, 1=7'. ~1 а=;7 а~ а= = — ~ 01н(тео ) е1х — — ~ ги йнчдх = — ~ и„го дх= О. 2! 2,/ Тем самым, введенный согласно (7) (или (8)) оператор конвективного переноса при выполнении (6) является кососимметричным в 71 = Ьз(й) (У(т) = — У'(т)) . Помимо (7), (8) полезно привести еше одну запись для оператора конвективного переноса: д, 1' д. у(ч)за=чйгаг1зо+ -еоЫчч= ~~~ еа(х) — +-~~ го — (9) 2 дх 2 дха Выбор этого представления примечателен тем, что оператор У(т) является кососимметричным, даже если условие несжимаемости (2) не выполнено. При выполнении (2) все приведенные выражения для оператора У(т) ((7)-(9)) эквивалентны друг другу.
При переходе к дискретной задаче такую эквивалентность часто бывает трудно обеспечить, например, в случае, когда условие несжимаемости (ее разносгный аналог) выполнено не точно. С учетом введенных обозначений запишем уравнение теплопроводности в виде сУ(т)в — ~~> 7е — = 7(х), х Е й, д~и (1О) а=! дополнив его соответствующими граничными условиями. На основании кососимметричности оператора У(т) можно получить простейшие априорные оценки.
Например, при однородных условиях первого рода (в (4) д(х) = О) из (1О) непосредственно имеем равенство агм П и Отсюда следует простейшая оценка по правой части Пв(х)Ив",'1п> ~ МПУ(х)йх,<п1. Аналогично рассматриваются и более общие задачи, в частности, с граничными условиями (5). 9.1. Стационарные задачи тенлонроводности с конвекцией 417 ОЛ.2. Монотонные разиоетиые схемы для одномерной задачи Разностные схемы, лля которых выполнен принцип максимума, будем называть монотонными разностными схемами. Их построение мы начнем с простейшей одномерной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
