Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 78
Текст из файла (страница 78)
(23)) Ьр(х)рз — ~~! (1+ ВО)йуз, = у!(х), к Е и!. (35) р=! р=! В соответствии с (27) положим 22=22!+Из, Кр(х) =с!Во(х), )3= 1,2, (36) где ор(к) =, )3 = 1, 2. Ь,(к)йр 2й Как и в одномерном случае, регуляризованная разностная схема (34)-(36) будет безусловно монотонной при а > 0,25. Аналогом регуляризованной схемы (14), (32) для задачи (33)„(34) служит схема Уа — х! йув = р(х), х Е !а.
(37) Ьр(*) Относительно монотонности регуляризованной схемы (34), (37) справедливы те же выводы, что и относительно регуляризованной схемы (34), (35). Аналогично строятся многомерные аналоги и других приведенных выше монотонных схем для одномерной модельной задачи (11), (12). Это связано с тем, что, если для соответствующих одномерных сеточных операторов достаточные условия выполнения принципа максимума справедливы, то они справедливы и для многомерного аддитивного сеточного оператора. 9.1.б.
Одномерная задача с дивергеитяым оператором Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем применительно к уравнению теплопроводности с конвекцией, которое записано в недивергентном виде (1). Большое значение придается уравнению теплопроводности в дивергентной форме (3). Использование дивергентной записи позволяет, в частности, получить консервативные разностиые 424 Е~ава 9. Конвекгнненый гнелеообмен Для обсуждения вопросов построения монотонных разностных схем для дивергентных уравнений рассмотрим модельную одномерную задачу, аналогичную задаче (11), (12). Пусть ищется решение уравнения а в~и — (Ь(х)и) — — = 7 (х), 0 < х < 1, Ах йхз (38) удовлетворяющее краевым условиям (12).
Поставим в соответствие (38) разностное уравнение с аппроксима- цией конвективного слагаемого центральными разностями; (Ь(х)у)е — уее = 7(х), х е ы. (39) Запишем (39) в каноническом виде (15) с 2 () 2' + 1 Ь(х + Ь) 1 Ь(х — Ь) В+(х) = — —, В (х) = — +, (40) Ьз 2Ь Ьз 2Ь е'(х) = 7 (х), х Е ы. Проверим выполнимость достаточных условий монотонности (17) для схемы (15), (40). Имеем Р(х) = А(х) — В+(х) — В (х) = 2Ь 2Ь и поэтому помимо выполнения условий (18) (положительность В~(х)) необходимо„чтобы (условие Р(х) > О) Ь(х+ Ь) > Ь(х — Ь). (41) На первый взгляд, условие (41) естественно. В самом деле, уравнение (38) можно записать в виде ав аЬ а а Ь(х) — + и — — — = у(х), 0 < х < 1. (42) йх йх вхз Поэтому условие (41) соответствует требованию положительности коэффициента при и(х) в уравнении (42) для выполнения принципа максимума.
Но для дивергентных уравнений принцип максимума выполнен и без таких ограничений на коэффициент Ь(х). Для того, чтобы снять ограничение (41), сформулируем новые достаточные условия выполнения принципа максимума для (15), отличные от (17). Для системы уравнений (15) условия (17) есть условия монотонности соответствующей трехдиагональной матрицы.
Условие Р(х) > 0 соответствует диагональному преобладанию по строкам. Но можно вместо этого использовать условие диагонального преобладания по столбцам, когда Р(х) определяется следующим образом: Р(х) = А(х) — В (х — Ь) — В (х+Ь). (43) 9.1. Стационарные задачи теплопровадности с конвекцией 425 Покажем выполнение принципа максимума для задачи (14), (15) при выполнении условия (18), где теперь Р(х) определяется согласно (43).
Теорема 1, Пусть в (14), (15) е'(х) > О, (е(х) < О) и й > 0 (д < 0), а = 1, 2. 7Ьгда при выполнении условий (17), (43) у(х) > О, х б ы (у(х) < О). Доказательство проводится от противного. Предположим, что существует подмножество узлов ы =(х)хЕы, х <х<х) сетки ы такое, что У(х) < О, х Е ы', причем У(х~ — Ь) > 0 и У(хе+ Ь) > О. Пусть Лу(х) = А(х)у(х) — В+(х)у(х + Ь) — В (х)у(х — Ь) и с учетом (43) рассмотрим выражение ~ Лу = У (А(х)у(х) — В+(х)у(х+ Ь) — В (х)у(х — Ь)) = ест нет = ~ ((Р(х) + В+(х — Ь) + В (х + Ь)) у(х)— лен — В+(х)у(х+ Ь) — В (х)у(х — Ь)).
Имеем в наших предположениях (В" (х — Ь)у(х) — В+(х) у(х + Ь)) = ееи' = В+(х' — Ь)у(х') — В+(хн)у(хн + Ь) < О, (В (х+Ь)у(х) — В (х)у(х — Ь)) = есн' = В (хн + Ь)у(хн) — В (х')у(х' — Ь) < О, и поэтому Лу < ~~~, Р(х)у(х) < О. нан' нет А это противоречит условию е(х) > О. Случай у(х) < 0 рассматривается аналогично. Тем самым теорема доказана. Для схемы (39) условия (17), (43) выполнены при условии (18).
Тем самым показано, что нет необходимости требовать выполнения дополнительного условия (41). 9.1.О. Веаусловио монотонные схемы Приведем вначале монотонную разностную схему с направленными разностями для одномерной задачи (12), (38). Используя ранее введенные обозначения, разностную схему возьмем, например, в виде ГЬ+у) —,+ГЬ у), — уэ, = 7(х). х Еы. (44) 426 Вава 9. Конвенаивный гнеллообмен (45) которая аппроксимирует уравнение (38) с первым порядком. Для иссле- дования свойств монотонности запишем ее в каноническом форме (15) с 2 Ь+(х) Ь (х) А(х) = — + — — —, 1з 1 + 1 Ь (х+ Ь) 1 Ь+(х — Ь) В+(х) = —— В (х)= — + Ь2 Ь ' Ь2 е'(х) = /(х), х Е ы.
При таких коэффициентах достаточные условия монотонности (17), (43) выполнены при любых шагах сетки. Построим теперь экспоненциальную схему для задачи (12), (38). Для перехода к самосопряженному уравнению снова введем функцию е н*~= (-/нен) о Тогда уравнение (38) принимает вид А /, д(йв)1 — — ~й ' — ) =/(х), б<х<1. ,ь ) Далее для этого уравнения строятся обычные разностные схемы на трех- точечном шаблоне. Простейшая из них имеет вид й х — — (йу)я = /(х), х б ы.
Схема (45) имеет канонический вид (15) с А(х) = В+(х — Ь) + В (х + Ь), + й(х + Ь) й(х — Ь) В+(х) = В (х)= й(х + Ь/2) ' й(х — Ь/2) Условия монотонности (17), (43) с очевидностью выполняются. Более простые безусловно монотонные разностные схемы для за- дачи (12), (38) построим на основе принципа регуляризации. Будем в качестве исходной брать условно монотонную разностную схему с цен- тральными разностями (!4), (39). Запишем вместо (39) возмущенное разностное уравнение типа (32): < у — уе, =/(х), х 6ы.
о(х) (46) Эта разностная схема сохраняет консервативный вид и, как нетрудно убедиться, всегда монотонна при выборе регуляризатора согласно (27) или (28). Схема (14), (27), (46) имеет второй порядок аппроксимации, а (14), (28), (46) — первый.
427 9.1. 0национарные задачи и!енлонроводнос!ни с конвекцией Просто строится и аналог регуляризованной схемы (14), (23). Для этого вместо (39) рассматривается разностное уравнение (Ь(х)у)4 — ((1+Я)у)е, = ~(х), х Еи!. (47) Выполнение условий монотонности (17), (43) для схемы (47) легко проверяется. Регуляризованная схема (47) явно не интерпретируется как схема с возмущенной скоростью или коэффициентом теплопроводности. Естественно, существуют возможности получения регуляризованных монотонных разностных схем второго порядка аппроксимации на основе схемы с направленными разностями. Не останавливаясь на этом подробнее, отметим только, что схема с направленными разностями (44) записывается (задача 2) в виде регуляризованной схемы (47) с простейшим регуляризатором В = !о(хИ, т.е.
она принадлежит к классу регуляризованных разностных схем (14), (28), (47). 9.1.7. Миогомериое дивергеитиое уравиеиие Теперь мы имеем возможность рассмотреть вопросы построения монотонных разностных схем для уравнения теплопроводности с кон- векцией, когда оно записано в виде (3). В качестве базовой выберем разностную схему с центральными производными 2 2 ~! !(Ь (х)у) . — ~ Ьуе., = !р(х), х Е и!, (48) а=! а=! дополненную граничными условиями (34). Пятиточечное разностное уравнение во внутренних узлах сетки будем записывать в следующей форме А(х)у(х) = В! (х)у(х! + Ь!, хз) + В! (х)у(х! — Ь!, хз) + + Вз (х)у(х!, хз + Ьз) +Вз (х)у(х!, хз — Ьз) + Р(х), х Е и!. (49) Обычные достаточные условия выполнения принципа максимума (см.
и.4.3) для разностной схемы (34), (49) имеют вид А(х) >О, В,(х) >О, !э=1,2, (50) Р(х) >О, хЕы, где Р(х) = А(х) — ~~! В+(х) — ~~! В (х). (51) а=! Для разностных схем с дивергентным конвективным слагаемым условие диагонального преобладания Р(х) > О не выполнено. Как и в одномерном случае необходимо заменить (51), положив Р(х) = А(х) — В+(х! — Ь!, хз) — В, (х, + Ь!, хз)— — Вз (х!, х! — Ь!) — В! (х!, хз + Ьз). (52) Егааа 9. Конвективный теплооймен При условиях (50), (52) для разнсстной схемы (34), (49) выполнен принцип максимума, а именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть в (34), (49) Г(х) ) )0(Р(х) < 0) и д(х) ~~ 0 (й(х) < 0), х Е ды. Тогда при выполнении условий (50), (52) у(х) > О, х Е ы (р(х) < 0).
Доказательство проводится полностью аналогично приведенному выше доказательству теоремы 1. В силу этого разностная схема (34), (48) будет монотонной при тех же условиях, что и ранее рассмотренная разностная схема (33), (34), т.е. при условиях Ь,Ь шах!Ь (х)) < 2, и= 1,2. вен Безусловно монотонные разностные схемы строятся на основе приведенных выше регуляризованных разностных схем для одномерной задачи (12), (38) и проверке принципа максимума в форме условий (50), (52).
Поэтому мы ограничимся лишь небольшой сводкой результатов. Определим регуляризирующие множители Яр(х), )3 = 1, 2 согласно (36). Разностной схеме (47) будет соответствовать регуляризованная разностная схема з (Ьр(х)у) ° — ~ Й((1+ Кр)р)е = !р(х), х Е ы. р=! р=! Аналогом схемы (14), (4б) является регуляризованная схема Эти регуляризованные схемы с выбором регуляризоторов согласно (Зб) имеют второй порядок аппроксимации и монотонны при всех а > 0,25. 0.1.8. Задачи Задача 1. Постройте безусловно монотонную регуляризованную схему типа (14), (23) для уравнения с переменным коэ4фиииентом теплопроводности: дв д / дв'з Ь(х) — — — ~й(х) — ) =Т(х), 0 < х <1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
