Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(28) 9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла где как обычно 1 1 .4о = -(А+ А"), А, = -(А — А'), 2 ' 2 Схема (15), (27) соответствует (28) и выбору оператора В = Я+ отАо, Ао > О. (29) Исследование устойчивости схемы (15), (28), (29) при дополнительном ограничении ЦА~УЦ' < М(Аоу, у).
(30) Наше рассмотрение базируется на следуюшем утверждении. Теорема 2. Длл ревностной схемы (15), (28), (30) при Ао > 0 и т  — -А>еЕ, е>0 (31) справедлива оценка (32) Цуп НЦл, < 1+ — т ЦУ„Цл,. Доказательство основывается на следующем полезном факте. Лемма 1.
Дзл разностной схемы (15) справедливо знергетическое тозкдество т <(2В тА)уыус) + (Асуп+и Уп+ь) — (Асуп ~уп) + 2т(Аорп, Ус) = О. (33) Для того, чтобы получить (33), достаточно скалярно умножить (15) на 2тус = 2(уп+~ — уп) и учесть равенство А = Ао + Ао. Принимая во внимание равенство (ЗЗ) и условие (31), имеем неравенство 2те(уыус)+(Аоуп+~ уи~~) (Асуп уп) < 2т! (А~уи>ус)~. (34) Правая часть оценивается с учетом (30) следующим образом: ~ — (А~уп ус)~ <еЦусЦ +„ЦАьупЦ (еЦусЦ + — (Асуп>уи) (35) Подстановка (35) в (34) дает М (Аоуп+ыуи~1) ~ (1+ — т) (Асуп~ уи).
2е ) Отсюда с учетом неравенства < И ~'~з И 1+ — т) < 1+ — т 2е ) 4е и следует искомая оценка устойчивости (32). 450 Егава 9. Хонвекгнивныд гяенлообмен Используем теперь доказанную теорему 2 для исследования явно- неявной разностной схемы (15)„(28), (29). При выполнении условия подчиненности (30) кососимметричной части симметричной и гг > 0,5 справедлива оценка (36) (1у„+~()х, < 1+ — т 1)(у„!)»,. 4 / Это следует нз того, что а случае (29) неравенство (31) выполнено при о ) 05 и выборе е = 1. Тем самым, для явно-неявной схемы (15), (27) будем иметь р-устойчивость (оценка (36)) с М р=1+ — т 4 где М вЂ” постоянная (см. (30)) в неравенстве ПР(Ь|' < М(Лу, у).
(37) Такая оценка получена нами в и. 9.3 при рассмотрении метода простой итерации для приближенного решения стационарной задачи теплопроводностн с конвекцией при выборе В = А. В (37) М не зависит от сетки по пространству, а только от скорости конвективного переноса. 9.3.6.
Монотонные схемы Для приближенного решения задачи (10)-(12) можно строить по аналогии со стационарной задачей монотонные схемы. В этом случае необходимо ориентироваться на аппроксимации конвективных слагаемых в недивергентной (2) или дивергентной (3) формах. При построении монотонных схем будем опираться на принцип регуляризации. Поэтому, например, вместо задачи (10)-(12) с т'(Ь) = ~~~ К~(Ье), 14,(Ь~)у = Ья(х)уу (38) будем (см. п.
9.1) рассматривать регуляризованную задачу, когда уравнение имеет внд де г +у(Ь)„~> (1+щр)с-,-, =1о(х,1), хЕы, 0<1<Т. (39) р=) Регуляризаторы выберем, например, в виде (см. п. 9.1) В = В| +Ям Ир(х) = аВр(х), )3 = 1,2, (40) где Вр(х) = , )5 = 1,2. Ьр(х)нр (41) 9.3, Нестационарные задачи конеектиеного переноса тепла 451 Среди схем с весами (13), (14), (17) для задачи (11), (!2), (39) безусловно монотонной является чисто неявная разностная схема Уя+! Уи + Р(Ь)д„„ - ,'~ (! +яр)(у.+!)-..., = р„, р=! хЕи!, и=0,1,,... (42) де Ьл(х) — +~~ еа +Ли=!р(х,1), ханш, 0(!<Т, (43) й, 1+!2Л(х) а регуляризаторы выбираются, например, согласно (40), (41).
Безусловно монотонной схемой при а > О, 25 будет разностная схема 2 у„ч ! — у„~ Ьр(х) +г„! д,,(у. )е,+Лу»+! = р. а ! 1+4йх) (44) хЕч!, п=0,1,... Аналогично стационарному случаю (см. п. 9.1) строятся монотонные схемы в случае, когда используется дивергентная аппроксимация конвективных слагаемых. Например, при аппроксимации центральными разностньпии производными вместо (38) имеем 2 1 (Ь) = ~; Р.(Ь.), «=! К,(Ь )у = (Ь,(х)у)а . (45) Для задачи (10)-(12), (45) может использоваться (см. п,9.1) регуляризация на основе уравнения, аналогичного (43): де / Ь~(х) — +~„~ е +Ле=!р(х,Ф), хЕы, 0(14Т. —,,~",(.) „ Подобно стационарной задаче, регуляризованная схема (42) будем монотонной при а > 0,25. Аналогично рассматриваются схемы с другими типами регуляризаторов.
Схемы с весами для задачи (!1), (12), (39) будут монотонны только при соответствующих ограничениях на шаг сетки по времени, аналогичные тем, которые имеют место для задачи с само- сопряженным оператором теплопроводности (см. п. 5.3). Регуляризация разностный схем может осушествляться за счет возмущения конвехтивных слагаемых.
В этом случае вместо (10), (38) рассматривается дифференциально-разностное уравнение 452 1Ьава 9. лонвективный тенлооомен Монотонной при любых шагах сетки по времени и пространству будет разностная схема типа (44), когда з у„+1 — у„~ ( Ьр(х) .~..( Уем +Лул+1=рт хЕы, птО 1, т ' ~1+Яр(х) ~ л с регуляризатором (40), (41) при а > 0,25. Тем самым, монотонные чисто неявные разностные схемы строятся на основе соответствующих монотонных разностных схем лля стационарных задач теплопроводности с конвекцией, подробно рассмотренных в п.9.1.
Э.З.Э. Схема расщепления по фиаичееким процессам Здесь мы выделим специальный тип адаптивных разностных схем лля задачи (9)-(12), которые часто в силу своего прикладного содержания называются разностными схемами расщепления по физическим процессам. Для построения адаптивной схемы для задачи (9)-(12) запишем уравнение (1) в виде й~ й — + Ау = 1о(х,1), х Е ы, 0 < 1 < <2; (46) где (47) А = А1 + Ам причем А~ = 1г(Ь) Аз = Л.
(48) Расщепление (46) соответствует выделению отдельно конвективного переноса (оператор А~) и переноса теплопроводностью (оператор Аз). В силу этого адднтивное представление (47) связывается с расщеплением по физическим процессам. Принимая во внимание свойства оператора 1г(Ь), определяемого согласно (9), для расщепления (47) имеем А~ — — -А|, Аз = Аз > О. (49) Для задачи (46), (47), (49) можно использовать различные адаптивные разностные схемы, которые для задач с самосопряженными операторами обсуждаются в главе 6. Отметим некоторые основные возможности в этом направлении. При расщеплении на два оператора можно использовать наряду со схемами суммарной аппроксимации н схемы типа переменных направлений.
Аналогом обычной схемы переменных направлений из п. 6.2 для задачи (46), (47), (49) служит слелуюшая разностная схема: Ул+Ов — Ул 0 5 + Аул+1/з+ А?ул — — 'рл, (50) Уо ы — Ул+Оч 0,5т + А, Уп+ Пз + Азуо ы = 1ол. 453 9.3. Нестационарныв задачи квнввктивнвгв иеремоса вема Схема (50) записывается как факторизованная схема (см. п.6.3) (15) с оператором В = (Е+ втА1)(Е+ втАз) (51) при а = О, 5.
Устойчивость факторизованной схемы (15), (47), (49), (51) по начальным данным (~р„= 0 в (15)) при о ) О, 5 обеспечивается оценкой '0(Е+ ать)у„+Д < '8(Е+ втАз)у„л. (52) Доказательство (52) лишь в небольших деталях отличается от доказательства устойчивости факторизованной схемы, которое приведено в п.6.3. Реализация факторизованной схемы при расщеплении (47), (48) соответствует расчету на верхнем временном слое сначала конвективного переноса тепла, а затем — переноса тепла теплопроводностью. Для приближенного решения задачи (46), (47), (47) могут применяться и другие схемы суммарной аппроксимации, подробно рассмотренные в п.
6.4. Пусть г уз = рп + р тогда аддитивная схема с весами для рассматриваемой задачи (46), (47), (49) имеет вид Ув-~1/2 Уп 1 + А!(в! уз+! + (1 — в1)у~) = 4з, т (53) Ун м — У +уз г +Аз(атунм+(1 — вз)уп+~) = 1в„. т Устойчивость (а с учетом суммарной аппроксимации (см. п.6.4) и сходимость) обеспечивается при в, > 0,5, а = 1, 2 в Н. Каждое из отдельных уравнений схемы (53) представляет собой обычную схему с весами для операторов А, а = 1, 2, для которых безусловная устойчивость в Н обеспечивается теоремой 1.
0.3.7, Экономичные схемы для многомерных задач Экономичные схемы для многомерных задач строятся на основе аддитивного расщепления оператора теплопроводности с конвекцией на сумму одномерных операторов. Нашу модельную двумерную задачу (10)-(12) запишем в операторном виде (46), (47) с А~ = гг (Ь,) + Лю а = 1, 2, (54) где операторы Л„а = 1, 2 определены согласно (8), а операторы У„(Ь,), а = 1, 2 в соответствии с (9) (или (38), или (45)). Для основного варианта аппроксимации конвективных слагаемых (по формуле (9)) имеем У„(Ь„) = — У„'(Ь,), а=1,2 454 Евва 9. Конеентивнмй темообмен и поэтому с учетом (54) имеем А,>0, а=1,2. (55) Для задачи (46), (47), (55) могут использоваться различные алдитивные разностные схемы.
Например, при о > 0,5 будет устойчива факторизованная схема (15), (51) — разностные схемы переменных направлений. При решении многомерных (особенно трехмерных) задач большие возможности предоставляют локально-одномерные схемы. Для задачи (46), (47), (55) такая схема записывается в виде (53) и она устойчива в Н. Построение монотонных локально-одномерных схем базируется на использовании аппроксимаций конвективных слагаемых в виде (38) или (45). Рассмотрим в качестве примера разностную схему с недивергентной аппроксимацией конвективных слагаемых. На основе (38) вместо (54) используем расщепление А, = ~УЬ,) + (!+В,)й,, Д = 1, г, (56) где Я,г, Д = 1, 2 определены, например, в соответствии с (40), (41). Для приближенного решения задачи (46), (47), (56) можно использовать разностную схему Уп+)Г2 Уп + А)Уп+!)2 = 92' т (57) Уп+! Уп+ ) /2 2 + А2Уп+2 = 92п.
В локально-одномерной схеме (56), (57) для каждого отдельного уравнения выполнен принцип максимума, на основе которого устанавливается (см. п.6.5) устойчивость и сходимость схемы суммарной аппроксимации в равномерной норме. Аналогично исследуются и другие классы локально-одномерных монотонных схем. Можно строить локально-одномерные разностные схемы суммарной аппроксимации на основе более глубокого расщепления, комбинируя (48) с расщеплением по отдельным направлениям. В этом случае А = Уа(Ьа) А2+а — - й„а = 1,2. (58) Для задачи (46), (47), (58) можно использовать аддитивные разностные схемы суммарной аппроксимации Уп+а/4 Уп4(а-1)/4 + Аа(оауп+аГ4+ (1 оа)Уп4!а-2)/4) = )Оп~ т а = 1, 2, 3, 4.
Устойчивость таких схем имеет место прн ранее приведенных ограниче- ниях на веса (о„> 0,5. а = !. 2, 3, 4). 455 9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 9.3.8. Задачи Задача 1. На огневе теоремы 2 исследуйте устойчивость регуляризо- ванной разностной схемы (Е+аЯ) " +АУь=1оь, хбы, п=0,1,..., (59) т где А = 1г(Ь) + Л при К = Л, К = А'А, К = й для приближенного решения задачи (9)-(12).
Решение. Схема (59) имеет канонический вид (15) при В = Е + а1ч.. (60) М Ь.„!1, . —.)!Ы1„ 4е ) (61) если тг а> (62) 16(1 — е) Например, при К = А'А из неравенства (3!) получим т т  — -А=Е+аА А — — А= 2 2 = (а ~ А' — — а 1 Е) (аичА — — а И Е) + (1 — — )Е)~еЕ. 4 4 1бо Отсюда следует оценка (62) для параметра регуляризации а, а нз (32)— оценка (61) для разностного решения.
Аналогично рассматривается случай И=йз. Задача 2. Показките устойчивость по начальным данным аддитивной разностной схемы Уч+а/в УьКь-О/и а + Аьрь, и/ы = 1оь, сг = 1, 2,..., пь (63) т при А, > О, а = 1, 2,..., пь. Решение. Домножим скалярно уравнение (63) на у„+,1 и с учетом неотрицательности оператора А„получим (Уч+и/е~ Уь+ь/т) Ч (Уь+ь/ы~ УьЬ(а-1)/т) Ч < 1!у., 1! !!у. ш о,А1. гг= 1.2, ...т,. При выборе регуляризатора К = й неравенство (31) выполнено при а > 0,5т с е = 1. Принимая во внимание неравенство подчиненности (31), из (32) следует оценка (36). При выборе К = А'А, с гс = Л~ для разностной схемы (59) имеет место оценка 456 Пгава 9. аонвективный теплообмен т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
