Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Определим, например, г'р=(Р|р> Рзр), х Е ы, (37) где операторы Р, а = 1, 2 заданы согласно (31) ((33) или (35)). Принимая во внимание (Рр, ч) = (р, С ч) уравнение (22) принимает вид 2 3 Р'е =О. (ЗЯ) Прежде чем строить сеточный оператор С, рассмотрим разностные операторы левой и правой производной на Н.
Пусть для х, а = 1, 2 определена сетка й, причем ыа =(х ) ~, =1Ь„1= 1,2,...,Ф вЂ” 1), а>а =(Ха ~Х =Ма> 1= 1,2,...,АГа), ыа = (ха 1 ха = гьа» г = В> 1»... лГа 1). Для одномерной сеточной функции определим оператор правой разност- ной производной Рау(ха) = уа > ха Е а>а> гг = 1> 2.
(31) На основе формулы суммирования по частям (см, и. 4.4) для сеточных функций и>,(х ), обращающихся в нуль при х Д а>, а = 1, 2, получим (Рауа> >ва)и = Х~~ уа и>а»а = Х~~ и>з уала. а,чи, а„чи+ В силу этого определим сопряженный оператор с помощью соотношения Р',>а(х,) = -ыз., ха Е а>,", а = 1, 2, (32) т.е. с точностью до знака оператор Р; совпадает с оператором левой разностной производной.
Вместо (31) можно использовать соотношение Рау(ха) = уа > ха Е >на> й = 1,2. (33) Аналогично (32) для сопряженного оператора можно использовать выра- жение 462 Б2ава 9. Лонвекн2нвный о1еонообмен Заметим, что разностное уравнение неразрывности (38) записывается на различных множествах сеточных узлов а!'. При использовании, например, аппроксимаций (35), (36) уравнение (38) выполнено при х Е Р с учетом того, что о,(х) = О, х К !о. Для (31), (32) имеем 1о' = ы+, где ы (х 1х (х! х2) х б !оа) Аналогично для (33), (34) а2' = !о, где = (х ~ х = (х11 х2)1 ха Е !ол). На этих же множествах узлов выполняется условие однозначности давления (22).
Нетрудно видеть, что использование (31), (32) или (33), (34) (направленные разности) для (37), (38) приводит к аппроксимации уравнений конвективного движения с первым порядком по пространству, а для (35), (36) в (37), (38) (центральные разностные производные) имеем второй порядок аппроксимации. 9.4.3. Простейшая разиостяая схема Особенности реализации разностных схем для задач конвективного теплообмена удобно проиллюстрировать на примере схемы, когда в уравнении движения конвективные слагаемые и перенос теплопроводностью берутся с предыдущего временного слоя.
Эта схема является аналогом явной схемы для уравнения теплопроводности. На равномерной сетке по времени поставим в соответствие системе дифференциально-разностных уравнений (21) — (23) следующую разностную схему то+1 тл + 1е(ч„)т„+ Ср„11+ оЛтл — 13еил т б вл+! + У(т„) ил + кЛи„ т х Е 1о, (39) х Е а2', (40) х Е а1, (41) =О, а =0,1, Эта система разностных уравнений дополняется (см. (24)-(28)) усло- виями: х Е д!о, х Е д!о, х Е а2, тл!.1(Х) = а.„(х) = ча(х) = иа(х) = рл,!(х)Л!Л2 = О, д(х, гл.~.1), т (х), и (х), О, (42) 0,1,..., (43) (44) (45) О, 1, (46) 4б3 9.4.
Несталионарнме задачи естественной конвенции где т» Р «~ — — У(т„)т„— т„+ иЛт„—,деи„— —. т Положим ю =(х!х=(хпхз), х«Еы;, гг=1, При использовании (31), (32) имеем ы«= (х«!х«=1Л«~ 1=2~3~ зйг«1)~ Множество узлов ын для (33), (34) определяется при ы« = ~х«! х« = гЛ«~ ( = 1, 2,..., Ф« — 2), 2). а=1,2. а=1,2, а для (35), (5б) ы«»=(х«!х«=(Л«, й'=2,3~ ° 1Лг«2), а=1,2. При выборе аппроксимаций первого порядка ((31), (32) или (33), (34)) имеем 2 С Ср = — Я рв,«,, х Е ы, (49) «=! т. е. уравнение (48) есть не что иное как уравнение Пуассона для давления. Отметим только то, что это уравнение записано на множестве узлов ««, которое не совпадает с множеством внутренних узлов ы.
Для аппроксимаций (35), (Зб) центральными разностными производными имеем 2 ССР= — Ч ~Р; Е, хЕы~, (50) ««1 что соответствует аппроксимации оператора Лапласа на расширенном (через узел) пятиточечном шаблоне. Осталось выписать разностные соотношения при х Е «г' ~ и|'. Для аппроксимаций первого порядка эти соотношения можно рассматривать Устойчивость схемы (39)-(46) будет иметь место при соответствугощих ограничениях на шаг по времени.
Нас больше интересует вопрос о вычислительной реализации этой схемы. Для определенности будем считать, что операторы С и С* определены согласно (37), (38). Из (39) имеем т„«1 = т„— т(У(т»)т„+ Ср„~1+ иЛт„—,деи„), х Е м. (47) С учетом граничных условий (42) подстановка этого выражения в уравнение неразрывности (40) позволяет получить уравнение для давления. Пусть ыв — подмножество узлов сетки ы', для которых при определении оператора С'т не использузотся граничные узлы сетки й. Тогда из (40), (47) имеем разностное уравнение С'Ср„„= С'Р„,ц Глава 9. Колвектяаный ееллообмел как краевые условия для уравнения (49).
Рассмотрим, например, эти условия при аппроксимации (31), (32). В узле х = я' = (хн хз) 6 м' ~ ы", х1 — — Ьь хз Е ыз' уравнение неразрывности (40) имеет (опуская индекс и+ 1) вид Ю~ — — — (Ф2)л = О, Ж = Ж . Л ю (51) ! Подстановка (47) в (51) даст следующее разностное уравнение рю й ' ' 1г (Р)ен (52) Пусть теперь х = х' = (кп хт) Е ю' ~ ю", х, = 1н яг Е ыз', тогда (40) записывается в виде я = х'. и1(х~ — 1гн хз) = О, С учетом (47) получим рк(х) = -Р~(х~ — Ьн яз), (53) Аналогично (52), (53) выписываются разностные уравнения в других точках х Е ы' '1 ы".
Граничные условия (53) могут быть включены в разностное уравнение, записанное в виде (52) в узлах х = (х, — лн хз). Тем самым, можно ограничиться разностными уравнениями во внутренних узлах сетки и. Разностная задача (48), (49), (52), (53) есть задача Неймана для уравнения Пуассона, выписанная в узлах ы, с краевыми условиями на границе, отстоящей на полшага от сетки ы (потоковая сетка). Для однозначной разрешимости уравнения (48), (49), (52) дополняются условием (46).
Аналогично (52) формулируются краевые условия и при выборе аппроксимаций (33), (34). Более громоздкой представляется запись разностных уравнений для давления в узлах х 6 м' ~ ые при использовании аппроксимаций центральными разностями (35), (36). Таким образом, реализация разностной схемы (39)-(46) приводит к необходимости решения на каждом временном шаге сеточной эллиптической задачи Неймана для нахождения давления. Такой элемент присутствует в большинстве используемых разностных схем для уравнений гндродннамики в естественных переменных и может рассматриваться как основная трудность соответствующих вычислительных алгоритмов.
9.4.4. Неявные рааиостные схемы В линейных параболических задачах безусловно устойчивыми являются неявные схемы, для которых вес о не меньше 0,5. В частности, большого внимания заслуживают чисто неявные схемы, которые облалают лучшими асимптотнческимн хачествамн свойством монотонности 465 9.4. Нестационарнмв задачи естественной конвенции Поэтому естественно использовать для приближенного решения диф- ференциально-разностной задачи (21)-(28) следующую чисто неявную схему: т»+! т» + У(т»., ~)т».,1+ Ср„»1 + иЛт».,1-)3еи», ~ = О, т С т„.
~=0, хЕы, (54) х Е ы', (55) х6ы, (56) и»+~ и» + У(т».~1) и»+ ~ + кЛи»+1 — — 1о», т а = О, 1, ... с условиями (42)-(46). Получим для этой разностной схемы оценку устойчивости, которая соответствует приведенной выше оценке устойчивости для дифференциальной задачи. Будем считать, что граничное условие (43) однородное (включено в правую часть уравнения (56)). Домножим разностное уравнение (54) скалярно в Нз = Н Ю Н на т„ы а уравнение (56) скалярно в Н на и„.,п Принимая во внимание (55) и условие кососимметричности оператора (30), получим Пт»ИП < Пт„П+тЩи»~1П, (57) Пи„П < Пи,П+тЬ,П.
(58) Из неравенства (58) получим оценку Пи„|П < ПиоП+1„+~ шах П1о„П. 0<»<» (59) т»+1 т» + У(т„)т„+1+ Ср» ы + иЛт„. ~ — )уеи»».1 = О, т а,+ ~ — а„ + У(т„)и„+1 + кЛи„~1 — — у», т — и хны, (61) х6ы, (62) Подстановка (59) в неравенство (57) приводит к неравенству Пт„+1П < ПтоП+)М».,~ПаоП+)31~,, шах П1о»П. (60) ок»<» В силу нелинейности зодачи естественной конвекции оценки устойчивости (59), (60) не дают возможности показать сходимость разностного решения к точному. Для этого требуется специальное исследование (см. для простейших нестационарных задач теплопроводности, например, п.
5.9). Реализация чисто неявной схемы затруднительна. Зто связано, в частности, с нелинейностью разностной задачи. Поэтому в вычислительной гидродинамике, тепло- и массопереносе большое распространение получили линеаризованные схемы, когда скорости в операторе конвехтивного переноса берутся с предыдущего временного слоя.
Вместо (54), (56) используются разностные уравнения П2ава 9. Коноективный теплообмеи 466 При организации вычислений сначала из уравнения (62) с учетом граничных условий (43) находится температура на новом временном слое, а затем по (55), (61) при выполнении (42), (46) рассчитывается поле скоростей и давление. ОА.б. Схема расщепления Задача совместного определения давления и поля скоростей из уравнений (54), (55).
(или линеаризованных уравнений (55), (61)) является достаточно сложной. Позтому используются различные подходы для ее упрощения. Наиболее интересный связан с построением адцитивной схемы, которая соответствует последовательному расчету давления, а затем и поля скоростей — расщепление по физическим процессам. Запишем уравнение (21) в виде, аналогичном (9): Ит — + У(т)т+ Рт+ иЛт — /уеи = О, а Е ы, й (63) где формально положим Рт = Ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
