Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 88
Текст из файла (страница 88)
(10) , дхг «=1 Вместо (7), (8) используются условия ф(х, 1) = О, х Е дй+(1), О < 1 < Т, (11) — (х, 1) = О„х Е дй+(1), 0 < 1 ( Т, (12) дф ф(х, 0) = ф (х), х Е Й~(0). (13) Особенности решения задач типа Стефана (задачи (1), (3), (4) при заданной скорости ч(х, 1)) рассматривались в главе 7, Поэтому мы остановимся на особенностях решения задачи конвекции (5) — (8) (или (9)-(! 3)) в динамических областях й+(1). 9.6.2. Методы с вьщелением границы фазового перехода Как и при решении классической задачи Стефана (см. главу 7) будем выделять две группы методов. В методах с выделением границы фазового перехода задача чаще всего решается в новых независимых переменных, в которых расчетные области й" (1) отображаются в фиксированные регчлярные области.
Новые переменные вводятся по-разному (см. п. 7.1). 486 Е2ава 9. йонвектнвный тенлообмен х, = х,(61, 62, 1), а = 1, 2, где (с1, с2) — новые независимые переменные и и(х,1) = Щ,1), Ях,2) = «У(6,2), о2(х 1) = 2о(6,1). Запишем в новых переменных уравнения (1), (9), (10) для подобласти, занятой жидкой фазой х Е Й+(2). Для произвольной функции У(х,1) = В,1) имеем (см. задачу 2 в п. 7. 1) вУ вУ в61 вУ д62 дУ вЂ” + + де д2 д2 вд в2 в62' (14) причем (15) Здесь для якобиана преобразования используется выражение Х дх1 дх2 дх1 дх2 (16) д61 д62 д62 о61 Для оператора Лапласа имеем ч-' В'У ! В Уд„дУ У„ВУ! ! В Удп ВУ У„ВУ! — — — — — — — — + —— (17) , дх2«Хд61 ~ Х од1 Х д62( Хддз ~ Х д82 Х д61(' где У11= + дх1 дх1 дх2 дх2 У12 = У21 = + о6, д(, д(, а~,' "=(й)'. (й)' (!8) Мы здесь лишь отметим переформулировку задачи конвекции в переменных «функция тока, вихрь скорости, температура» при общем преобразовании независимых переменных, которое рассматривалось ранее для задачи теплопроводности.
Пусть 9.6. Задачи тепло- и массолереноса с фазовыми лревраигениями 487 Осталось выразить в новых координатах конвективный перенос. Уравнение неразрывности (б) в новых переменных имеет вид 1 д ~~2, — — (.7о ) = О, 7 дса поэтому функцию тока мы можем ввести соотношением 1 дф 92 = 1 дф Оз = — —— .7д~~' (19) Для конвективного слагаемого в дивергентной форме получим У(ч)7 = Х: — (ее 7,7). ! д , 7д~„ (20) Приведенные формулы (14)-(20) позволяют записать уравнения свобод- ной конвекции (1), (9), (10) в новых независимых переменных. Например, уравнение для вихря (9) примет вил дго 1 дхз дх~ дх~ дх2 д2о 1 7'дх2 дхз дхз дх~ ~ дго .7 ~ д2 д~2 д1 д~2,7 д6 д1 .7 д1 д6 д2 дЬ д6 1д1д + — — (е2 72о) + — — (92 72о) .7 д6 .7 д(2 1 д 922 дзо У!2 дго 1 дй дх2 да дхз'1 ~ — 0.
1 д йн дгб 9~2 дго 7д6 7 дС2 7 д6 7 д~~ д~2 дС2 д~~ Р Аналогично выписываклся и другие уравнения. На основе такой переформулировки строятся соответствуюшие разностные схемы на динамических подвижных сетках. Соответствуюшую разностную задачу можно формулировать и на таких сетках без выписывания задачи в новых переменных на основе интегро-интерполяционного метода. Недостатки методов с выделением границы мы уже обсуждали.
В рассматриваемых задачах тепло- и массопереноса трудности использования методов такого класса усугубляются большей сложности задачи конвекции по сравнению с чисто тепловыми задачами. 0.6.3. Методы сквозного счета в естественных переменных Значительно больший интерес для практического использования представляют методы без выделения свободной границы.
Для расчета температуры используются подходы (см. п.7.2) со сглаживанием коэффициентов. Необходимо построить методы сквозного счета лля решения задач гидродинамики в нерегулярных, динамических расчетных областях. 488 Езава 9. Конееквиеяый теллооомен Такие алгоритмы могут базироваться на методе фиктивных областей, общее обсуждение которого имеется в п.4.8. Будем рассматривать задачи конвекции в естественных переменных (2), (5)-(8), считая, для простоты, поле температур заданным. Вместо задачи в нерегулярной, динамической области П+(«) будем рассматривать задачу в фиксированной области, которая включает П+(«).
В качестве такой вспомогательной области можно взять П. Приближенное решение, зависящее от малого параметра е, будем обозначать т,(х, «), р,(х, «). Определим его из уравнения неразрывности д1т т~ = О, х б П, О < «< Т (21) и уравнения движения в виде бте От, — ' + У(т,)т, + 8«ад р, + С,(и)т, — и ~~~ —,' —,д,(и)еи = О, 11ха (22 (24) х ай, 0<«<Т. Здесь (см. п.4.8) разрывный коэффициент С,(и) определен с учетом (2) и (5) следующим образом О, и > 0 (х Е П+) С,(и) = (23) и<0 (хб««).
Аналогично задается н коэффициент Щи): «у, и > 0 (х б П+), Ф)= ~ О, и<0 (хбй ). Тем самым, в расчетной области й+(«) выполняется исходное уравне- ние, а выбор большого коэффициента позволяет приблизить условие (2) в твердой фазе и в частности — граничные условия (7). Уравнения (21), (22) дополняются граничными и начальными усло- виями, согласованными с (7), (8): т,(х,«) =О, х Е дй, 0 <«<Т, (25) т,(х,«) = 1 те(х), х б П+(0), (2б) ~ О, хбй (0).
Задача (21) — (2б) соответствует использованию варианта метода фиктив- ных областей с продолжением по младшим коэффициентам (см. п. 4.8). Имеются соответствующие оценки близости приближенного т,(х,«) и точного т(х,' «) решений задачи в некоторых упрощенных постановках, В ряде прикладных работ такой подход получил название модель лорислюй среди. Член С,(и) может интерпретироваться как сила со- противления движению жидкости в пористой среде (уравнение Дарси— Буссинеска). 9.6. Задачи гпволо- и маггопврвнога с фазовыми превращениями 489 Для приближенного решения задачи (2), (5) — (8) можно применять метод фиктивных областей с продолжением но старшим коэффициентам, которых может интерпретироваться как модель с переменной вязкостью.
В этом случае вместо (22) используется уравнение движения в форме д те д / дч 1 — ' + У(т)т, + йшбР, — и У вЂ” '( Сг(и) — ) —,д(и)еи = О, (27) где теперь 1, и>0 (хбй'), Св(и) 2 и<0 (хбй ). (28) Вариант (21), (24)-(28) соответствует рассмотрению твердой фазы как сильно вязкой жидкости. Для уравнений (22) естественными (которые получаются при интегрировании уравнения, и поэтому можно их не выписывать каждый раз) являются следуюшие условия сопряжения на свободной границе Я(1): [т,)=0, хбд(1), с дт, иС,(и) — -р,в = О, х б о'(1), дк первое из которых отражает непрерывносп скоростей, а второе — непрерывность нормальных к границе напряжений. Реализация метода фиктивных областей может проводиться на основе разностных схем для задач гидродинамики в естественных переменных, которые рассматривались в п.9.4.
Особенности задач (21)-(26) и (21), (24)-(28) связаны с разрывным коэффициентом С,(и) и не носят принципиального характера. йф = го, х б й+(1), О < 1 < Т. 0.6.4. Метод фиктивных областей в переменных вфуикция тока, вихрь скоростич Отметим возможности использования метода фиктивных областей для построения вычислительных алгоритмов сквозного счета в задачах тепло- и массопереноса, когда учитывается конвективное перемешивание жидкой фазы, в переменных «функция тока, вихрь скорости, температура». Будем рассматривать уравнения (9), (10) с дополнительными условиями (11)-(13) в области й+(1). Удобно записать (9), (10) в виде одного уравнения четвертого порядка для функции тока. Пусть А — оператор Лапласа, тогда д1 — йч~+ У(ч)йф+ иБ~ф —,д — = О, х Е й+(1), 0 < 1 < Т, (29) дх~ причем 490 Брава 9.
Коявеквиваы» тепаообмен Среди имеющихся вариантов метода фиктивных областей для уравнения (29) (уравнение четвертого порядка) можно в качестве основных выделить три варианта метода фиктивных областей. Таковыми являются вариант с продолжением по младшим коэффициентам, с продолжением коэффициентов при вторых производных и с продолжением коэффициентов при старших (четвертых) производных.
В варианте с продолжением по младшим коэффициентам вместо уравнения (29) в нерегулярной области й+(1) решается возмущенное уравнение в фиксированной расширенной области, в качестве которой мы взяли й: — Ьф, + У(т,)14, + иЬ 91, + иС,(и)~, — 13,(и) — = О, х~ хбй(1), 0<1<Т, (30) гле коэффициент С,(и) определен согласно (23), а 13,(и) — (24). Уравнение (30) дополняется граничными условиями у1,(х,1) = О, ОФг — (х,1) = О, 0 (31) хбвй, О<С<Т, хбдй, 0<1<Т.
(32) Начальное условие для уравнения (3), с учетом (!3) и (2), задается формулой / 91~(х), х Е й+(0), (О, хай (0). При е -+ О решение задачи (30)-(33) дает приближенное решение исходной задачи (11), (13), (29), т. е. ф,(х, 1) -+ ф(х, 1), х Е й+(1), 0 < 1 < Т. (33) В качестве варианта метода фиктивных областей для уравнения (29) можно рассмотреть вариант с продолжением по коэффициентам при вторых производных.
В этом случае приближенное решение определяется из уравнения — ур,+У(т,)йР,+ой Ф,— и~~ — ~С,(и) — ) -Д(в) — =О, хай($), 0<8<Т и условий (31)-(33). В уравнении (34) коэффициент С,(я) снова определяется согласно (23). Вариант с продолжением по младшим коэффициентам (уравнение (30)) не имеет какого-либо физического содержания подобно отмеченным выше вариантам метода фиктивных областей в естественных 9.6.
Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями 491 переменных (пористая среда, сильно вязкая жидкость). В то время как вариант с продолжением коэффициентов при вторых производных (34) отвечает отмеченной выше (см. уравнение (22)) модели пористой среды. Для моделирования движения расплава в двухфазной зоне привлекаются те или иные соображения о ее структуре. Например, считая двухфазную зону пористой (дендридная структура), можно моделировать течение в двухфазной зоне на основе задания эффективного коэффициента фильтрации, зависящего, например, от температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
