Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 83
Текст из файла (страница 83)
е. 11У«+а/гп11 (. 11У««(а-3)п«!1~ Отсюда и следует искомая оценка 11У. 11 <!1У«11 < 11У011 устойчивости разностного решения по начальным данным. 9.4. Нестационарные задачи естественной ионвеиции 9.4.1. Задача конвенции в еетествевиык перемеввык Большое прикладное значение имеют процессы совместного протекания тепло- и массопереноса. При естественной конвекции движение жидкости обусловлено изменением плотности с изменением температуры и подъемом более лепсой жидкости в поле силы тяжести. Моделированию естественной конвекции уделяется очень большое внимание в вычислительной практике.
Здесь мы отметим основные моменты построения и реализации разностных схем для задач конвекции в случае, когда используются так называемые естественные переменные «скорость, давление и температура . В прямоугольнике П рассматривается течение теплопроводящей жидкости в приближении Буссинеска (см. и. 2.4). Далее будем использовать следующие обозначения. Пусть ч = (ен ез) — скорость, р — нормализованное на плотность давление н в — отклонение температуры от равновесной.
Будем считать, что ускорение свободного падения направлено вертикально вниз (вдоль координаты хг). Уравнение движения записываются в виде дч — +(ч,Угад)ч+йгадр — ид1ч йгадч — )уеи = О, дг (1) х=(хнхз)ЕЙ, 0<1(~Т. Здесь и — кинематическая вязкость, коэффициент 11 определяет объемное расширение, вектор е = (О, 1) задает направление выталкивающей силы.
Уравнение неразрывности в приближении несжимаемости имеет вид (2) д1чч = О, х б П, О < $ ( Т. Перенос тепла осуществляется теплопроводностью и за счет движения жидкости. Пренебрегая тепловыми потерями на вязкое трение и работой сил давления, уравнение теплопроводности запишем в виде (к = и/с) да — +(ч,Угад)н — кд1чагади=,1(х,$), хбй, 0(1<Т. (3) н 457 9.4. Нестационарные задачи естественной конвекции Таким образом, тепло- и массоперенос описывается уравнениями (1) — (3) для трех неизвестных: вектора скорости ч, давления р и температуры (точнее, отклонения температуры) и. Дополним систему уравнений (1) — (3) необходимыми граничными и начальными условиями. Будем считать, что граница области дй твердая и неподвижная.
Условия прилипания и непротекання дают однородное граничное условие первого рода для скорости: (4) ч(х,1) = О, хЕдй, 0<1<Т. Пусть на ней поддерживается заданный температурный режим: и(х, 1) = р(х, 1), х Е дй, 0 < 1 < Т. (5) При 1 = 0 заданы начальные условия ч(х, 0) = ч~(х), и(х, 0) = и (х), (б) (7) хЕП, х Е й. Для однозначного определения давления можно использовать усло- вие р(х, $) дх = О, (8) 0 < 1 < Т. (10) Рч = йгабр оператор давления, а Л1 = — г11ч 8гаг1 — оператор Лапласа. Уравнение переноса тепла (3) записывается аналогично: ди — + У(ч)и+ кЛ/и = 3(х, 1), 0 < 1 < Т. 41 (11) Отметим основные свойства операторов У, Р, Л~.
В рассматриваемой двумерной задаче для векторов ч определим пространство Нз = Н Ю Н, Н = Ьз(й) так, что скалярное произведение (чпчз) = (ип Фз) + (оп из), ч» = (и», ч»), и = 1,2. и Краевая задача естественной конвекцни (1)-(8) является предметом нашего дальнейшего рассмотрения. Как обычно, будем предполагать сушествование и лостаточную гладкость решения этой задачи.
Однозначная разрешимость имеет место при достаточно малых,б и больших и. Определим через И' подпространство векторов ч, удовлетворяющих условию несжимаемости (2) (подпространство соленоидальных векторов) и однородным граничным условиям (4). Уравнение (!) при ч Е гУ запишем в следующем операторном виде дч — + У(ч)ч+ Рч + иЛГч — )уеи = О, О < 1 < Т, (9) дй где, как и ранее, У(ч) — оператор конвективного переноса, Вава 9. Хонвективний меллоебмея 458 Для оператора конвективного переноса (см. п. 9,1) в Н имеем У(т) = -У'(ч).
(12) Очевидно, что это свойство кососимметричности сохраняется и в Нм Оператор Лапласа Л/ в Н и Нз симметричен и положителен ЛГ=Л/" > О. (13) Для оператора давления, определяемого согласно (1О), при выполнении условия (4) получим (Рт,т) = (8гадр,т) = — (р,б1тт). Принимая во внимание условие несжимаемости (2), получим (Рт, т) = О, т.е. на множестве векторов т Е И' оператор Р в Нз кососимметричен: р = -р'.
(14) И вЂ” ЦтЦ < ЩвЦ, — ЦиЦ < Ц(х,1)Ц. Из (15) непосредственно следуют Цв(х, Й)Ц < Цв (х)Ц + Т шах Цу(х, Й)Ц, м10,т1 Цт(я,т)Ц < Цт~(х)Ц+)3ТЦи~(х)Ц+)51~ пзах Цу(х,1)Ц. м(е,т! Приведенные оценки обеспечивают ограниченность решения нелинейной задачи (1) — (8). Операторная формулировка в виде уравнений (9), (11) явно не содержит давления — задача рассматривается на подпространстве соленоидальных функций. Определим теперь оператор градиента у из Н в Нз с помощью соотношения (16) мр = 8гадр.
Па основании равенства (8шдр,ч)+(р,б1тт) = О, При построении разностных схем для задачи естественной конвекцнн (1) — (8) естественно стремиться, чтобы сеточные аналоги операторов У, Р и Л' наследовали основные их свойства (12) — (14). Причем здесь мы должны уделить основное внимание именно оператору давления, так как разностный оператор Лапласа и оператор конвективного переноса нами уже рассматривались. Для получения простейшей оценки устойчивости для задачи (1) — (8) по начальным данным и правой части (у(х,1) = 0 в (5)) домножим скалярно в Нз уравнение (9) на т, а уравнение (11) — скалярно в Н на и.
Это с учетом свойств операторов У, Р, Л~ приводит нас к простейшим оценкам (15) 9.4. Неппационарные задачи еетесгоеенной конеекции справедливого для всех ч(х, 1), удовлетворяющих (4), сопряженный к Д оператор, действующий из Нз в Н, есть и'ч = — 41ч ч = О. (17) На основании (1б), (17) оператор Лапласа представляется в виде ЛГ = й'й, а сами уравнения (1), (2) могут быть записаны в следующем операторном виде дч — + У(ч)ч + йр + кВ'ч — )уев = О, 41 (18) й'ч = О, О < 1 < Т.
(19) Действуя на уравнение (18) оператором ц' и принимая во внимание (19), приходим к следующему уравнению для давления Л/р = — Я*У(ч)ч+,60*(ев), О < 1 < Т. (20) Уравнение (20) есть уравнение Пуассона для давления при извест- ных скоростях и температурах.
Оно дополняется краевыми условиями, которые следуют из уравнения (18), записанного на границе расчетной области дй с учетом условий прилипания и непротекания (4). Формули- руются граничные условия второго рода н задача Неймана решается при дополнительных условиях однозначности (8). 9.4.2, Дифференциально-разноетная задача Будем строить разностные схемы на основе записи уравнений свободной конвекции в виде операторных уравнений (11), (18), (19). В вычислительной гидродинамике большое внимание уделяется построению разностных схем, когда сеточные функции, приближающие отдельные компоненты скорости, давление и температуру, определяются на различных сетках (сдвинутые сетки, узлы и центры ячеек и т.д.). В этом случае, конечно, усложняется логика вычислительного алгоритма, требуется более громоздкий математический аппарат для исследования свойств разностных схем.
Затруднителен также переход к задачам на нерегулярных сетках. Поэтому мы ограничимся разностными схемами, в которых все сеточные функции определены на единой сетке. Пусть в прямоугольнике П введена обычная равномерная сетка и разностный оператор ч" (ч) соответствует некоторой аппроксимации дифференциального оператора конвективного переноса, б — оператору й и, как и ранее, Л вЂ” оператору Лапласа ЛГ. Сохраняя за приближенными решениями те же обозначения, что н за точными, после дискретизации по пространству от уравнений (11), (18), (19) придем к следующей системе дифференциально-разностных уравнений.
Для внутренних узлов сетки используем разностное уравнение движения в форме ач — + у(ч)ч+ бр+ иАч — )уез = О, х Е ы. (21) 41 460 йгява 9. Конвехтнвный и!енлообмен (29) (30) 1 У„(о )у = †((е (х)у)С + о (х)уа ). При таком задании операторы Л, а = 1, 2 являются самосопряженными и положительными, а операторы Уо(о,), а = 1,2 — кососимметричными в Н вЂ” на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на д!о, и аппраксимируют соответствующие дифференциальные операторы со вторым порядком.
Уравнение неразрывности принимает вид СГ в=О, хЕ!о, (22) который согласуется с выбором разностной аппроксимации градиента давления. Уравнение (22) записывается на множестве узлов !о' сетки Р, которое связано с конкретным выбором оператора 6. Уравнение для тем- пературы имеет стандартный вид на множестве внутренних узлов сетки Р: !Си — + У(т)и+ кЛи = С(х, С), х Е !о, 0 < С < 2'. (23) Аппроксимация (4), (5) дает граничные условия т(х)С)=0, хбды, (24) и(х,С) = у(х,С), х Е д!о, 0 < С < Т. (25) Из (6), (7) получим начальные условия т(х, О) = т (х), х Е !о, (26) и(х, 0) = й(х), х б юо.
(27) Условие однозначности давления (8) записываются для всех сеточных зна- чений давления, участвующих в разностном уравнении движения (21), т. е, р(х,С)Л!Лз=О, 0<С<Т. (28) в Ен Для построения разностных операторов удобно ввести скалярное произведение в сеточном гильбертовом пространстве СС обычным обра- зом: (у,го) = (у,го)„ = 1!, у(х)го(х)Ь!Ьз, вен т. е, суммирование ведется по внутренним узлам сетки Р = !о гз д!о, Пусть ! Лу=~) Л,у, Л,у= — ух„... а=1,2, а=! а для конвективных слагаемых будем использовать (см.
п. 9.2, 9.3) выра- жения 9.4. Иестацианарные задачи естественной канвекнии 461 Раю(ха) = — а>... х, Е а>„, а = 1,2. (34) Осталось рассмотреть аппроксимации центральными разностными производными. Пусть теперь Рау(ха) = ув ха Е ыа> гч = 1, 2, (35) тогда на множестве сеточных функций и>,(х,) = 0 при х >с ы, а = 1, 2 имеем Р'в(х,) = — и>з, х, Е а>, а = 1,2. (Зб) На основании (31), (32) ((ЗЗ), (34) или (35)„(36)) построим операторы С и 0' в (21), (22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
