Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 85
Текст из файла (страница 85)
С учетом (22) оператор (64) Для построения адаптивной схемы запишем (63) в виде Ат — + А(т)т = /уеа, х Е ы, (65) где А(т) = А1+ А2. Отделяя оператор давления, положим в (65), (бб) (66) (67) А1(т) = 1г(т) + иЛ, А2 — — Р. т»-1-1/2 т» + А1(т»».1/2)т»+1/2 /3еи»»1/2г 2" (68) + Азт„и1 = О, х Е ы. (69) г Безусловная устойчивость атой схемы обеспечивается выполнением условий (см. (64), (67)) А» ) О, а = 1, 2. Первый полушаг (68) соответствует (см.
(67)) решению обычной краевой задачи лля параболического уравнения — расчет поля скоростей Не» »чета лааленил Более подробного обсужленил заслуживает второй Далее для задачи (65) — (67) применяются те или иные адаптивные разностные схемы (глааа 6). Приведем в качестве примера чисто неявную схему суммарной аппроксимации, которая имеет вид 467 9.4.
Неонаяионарные задачи естественной конвекиии полушаг (69) — поправка скоростей на давление. С учетом определения оператора Р имеем Чпю тп«1/2 +ар„„=о, т (70) х Е и2, х Е ы'. С'ч„+1 — — О, (71) Задача (42), (46), (70), (71) принадлежит к типу задач, которые мы рассматривали ранее при реализации простейшей схемы (39)-(46). Для давления получим уравнение (48) с учетом того, что теперь тп«1/2 пп«1— т Вместо (68) можно использовать и лннеаризованную схему Чп»1/2 — тп + А~(ч„)ч».„1/2 =,беип«~/2, т (72) Чп«-1/2 Чп + У(ч„)т„+ иЛчп«~/2 = /3еип+~/2. т (73) Схема (69), (73) аналогична явно-неявной схеме, которая рассмот- рена в п.9.3 для задач теплопроводности с конвекцией. Для расчета температуры естественно использовать аналогичную линеаризованную схему ип«! вп + У(ч„)ип + кЛи„.,1 — — 1о„.
На основе схемы суммарной аппроксимации (68), (69) (или (69), (72)) можно провести обычным образом более глубокое расщепление. Например, выделив этап конвективного переноса отдельно, либо построить локально одномерные схемы вместо (68) (или (72)). такие идеи уже нами обсуждались (см. п. 9.3), и мы не будем на этом подробно останавливаться. Заметим только, что в задачах гидродннамики в естественных переменных «скорость, давление» давление рассчитывается по решению эллиптической краевой задачи, что часто не позволяет нам рассчитывать 2 шк|роспис . кон2таи ниик тпнисстиыт счсм которая также является безусловно устойчивой. Следует заметить, что для линеаризованных схем оценки устойчивости типа (59), (60) обеспечивают и единственность разностного решения. Среди других линеаризаций особого упоминания заслуживает широко используемая в вычислительной практике схема, когда конвективный перенос рассчитывается по предыдущему временному слою.
Например, при использовании схемы суммарной аппроксимации с (69) приближение ДЛЯ Чп М/2 ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ИЗ УРаВНЕНИЯ 468 Глава 9. Хонвективный теплообмен 9.4.0. Задачи ! Задача 1. Сформулируйте разностные соотношения для узлов х б ш' ~ шн при использовании аппроксииаяий (35), (36). Решение. Для примера выпишем условия при х = х' = (хи хт), когда х1 — — О, х1 = Ьп хз б ы". При х~ = Ь1 условие (40), подобное (51), имеет внд х = х'.
о~ — — (х|+ Лн хз) — (е2);, = О, ~! Принимая во внимание (35) и (47), получим — — '(х, +Ьнх ) — р. а — — — +(Рз)д, Более просто выписываются условия при х~ = О, хз 6 ш,". В этом случае имеем о~(х1 + Ьн хз) = О, х = х, что дает рл(х1+ Ьп хз) = -Р~(х), х = х*. Условия в других узлах х б ы ~ ш~ выписываются аналогично. ! Задача 2. Дзя задачи (65)-(67) постройте линеаризованную схему переменных направлений и приведите оценку устойчивости. те+!/2 тн 0,5т + А1(т„)т„.,11з+ Азт„= Деи„, т„.~~ — т„~цз 0,5т + А~(тн)т„+1гз+ Азтя+1 ш,беи„ы. Оценка устойчивости (см.
п. 6.2) имеет вид 1 !!(Е+ 0,5тАз)тн~1!! ( !!(Е+ 0,5тАз)т,!!+ -т 8(!!и„!!+ !!ивы!!). 2 С учетом определения оператора Аз имеем !!(Е+ 0,5гАз)тоы!! = !!тзнз!! + — !!Срн~з!! ° Аналогичные оценки имеют место и при использовании других схем переменныт направлений Решение. Для задачи (65)-(67) линеаризованную схему переменных направлений (аналог схемы Письмена — Рэкфорда) запишем в виде 9.5. Переменные «функция тока, вихрь скорости, темнература» 4б9 9.5. Задачи конвекции в переменных «функция тока, вихрь скорости, температура» 9.5.1. Постановка задачи дя! 2 д »о ди — + У(т)е! — о Ъ вЂ” — !5 — = О, а1 ~-~ дх2 дх! «=! х»»(х!,х2)бй, О<1<Т, (3) С учетом (1), (2) получим уравнение для функции тока: д2ф — — =»о, хб»2, О<Г<т.
дх2» (4) Уравнение для температуры остается прежним: ая 2 ди — + У(»)и — к ~~ — = у(х,1), х Е й, О < 1 < Т. (5) а1 дх2 В (3) и (5) конвективный член записывается с учетом определения компонент скорости согласно (1). Например, для конвективного слагаемого, определяемого (дивергентная запись) согласно У„(е„)»о = — (е,»о), а = 1,2, (6) о дх, У(») = р У,(е,), а=! рассматривается двумерная нестационарная модельная задача свободной конвекции в прямоугольнике й, сформулированная в п.
9.4 (задача (1)-(8)). Вместо естественных переменных «скорость, давление» будем использовать переменные «функция тока, вихрь скорости». Введем (см. п.2.4) функцию тока»р(х,1) так, что компоненты скорости выражаются через нее с помощью соотношений ай ар о! 1 е2 (1) дх2' дх!' причем условие несжимаемости (2) в п.9.4 в этом случае выполняется автоматически.
Для рассматриваемых двумерных плоских течений вихрь скорости имеет только третью компоненту, т. е. гог т = (О, О, а!), причем де2 ао! »О»» — —— (2) дх! дхз Уравнение движения (1) из п. 9.4 преобразуется к следующему уравнению для вихря скорости Йшва 9. Конвектиеный тенлоабмен 470 имеем д /бган У1(о~)гн = — ~ — гл), ах,1,0х, )' При таком определении конвективного слагаемого имеем (У(т)гз, Ф) = О. Система уравнений (3)-(5) дополняется соответствующими граничными и начальными условиями.
Условия прилипания и непротекання на границе прямоугольника й записываются в виде ф(х,1) =О, х Е Вй, 0 <1(Т, (8) — (х,1)=0, хбдй, 0<1<Т. др (9) дя Начальное распределение скорости (начальное условие (6) в и.9.4) задается следующим образом: гг(х, О) = гг"(х), х б й. (10) Условия для температуры остаются прежними: я(х,1) =р(х,1), хсдй, 0<1<Т, (11) я(х, О) = и (х), х Е й. (12) Приведем также псевдопараболическое уравнение четвертого порядка для функции тока.
Определим двумерный оператор Лапласа Ь с помощью соотношения тогда подстановка (4) в (3) дает д дк —.бгг+ У(т)йгр+ иЬ гл — 13 — = О, х б й, О <1 < Т. (13) дх1 1)заничные условия (8), (9) есть условия Дирихле для уравнения четвертого порядка (13). Для стационарных задач мы имеем задачу Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения, главной частью которого является бигармоннческнй оператор. 9.5.2.
Одиомериая задача для уравиевия четвертого порядка Особенности построения разностных схем для уравнений с частными производными четвертого порядка поясним на примере простейшего обыкновенного уравнения четвертого порядка. Пусть й = (О, 1) и ищется решение уравнения оя — =у(х), 0<в<!. (14) 9,5. Переменные функция тока, вихрь скорости, температура» 471 Рассмотрим два основных типа граничных условий для уравнения (14). На каждом конце отрезка задаются два граничных условия, одно из них есть а(0) =О, а(!) =О, (15) а второе есть На 4а — (0) = О, — (!) = О, (16) 4х ' 4х либо И'а оза 2 (0) ОФ 2 (!) О' (17) Введем равномерную сетку ь» в П с шагом Л: й = ы 1.! ды = (х ) х = !Л, ! = О, 1,..., 1У, ЛГЛ = !).
Дяя аппроксимации граничных условий (15) — (17) используем следующий прием. Расширим сетку й за счет дополнительных узлов с номерами ! = — 1, ! = 1т + 1. После аппроксимации уравнения и граничных условий эти Фиктивные узлы исключаются. С точностью 0(Л~) четвертая производная аппроксимируется разностным выражением следующего вида а;»з — 4а<~! + 6а; — 4аг ~ + а; з аа»ш— Л ь (20) уе,— — О, хбды. (21) Принимая во внимание (19), граничное условие (21) можно записать в виде у(х+ Л) = -у(х — Л), х Е ды.
(22) Краевая задача (14), (15), (17) допускает простое расщепление на две краевые задачи для уравнений второго порядка. Сначала решается краевая задача 4~о — — = У(х), (23) 0(хк1, о(1) = О, (24) о(0) = О, Поэтому уравнение (14) аппроксимируется следующим разностным уравнением во внутренних узлах сетки а-„-„= 7(х), х Е ы. (18) !раничное условие (! 5) дает у(х)=0, х6ды. (19) Рассмотрим вначале аппроксимацию граничного условия (16). Используя центральные разности, имеем у(х+ Л) = у(х — Л), х Е ды. Для (17) получим Ееава 9.
Конвектиеный теплообмен а затем уравнение до — — = е(я)* 4,г (25) 0<я<1, (28) (30) у»*в*, ун-з — 4ун э+5ун ~ йх 1 = йг — 1. Ревностная задача (18)-(20) отличается от задачи (18), (19), (22) только граничными условиями (вместо (22) имеем (20)), может быть записана в операторном виде й У + Р(Я)У = 7(Я), х Е ы, (31) где сеточная функция р(х) отлична от нуля только в приграничных узлах: р(я) = О, й <я <1 — й, (32) я = Ы вЂ” Ь. 84 ' В силу неотрицательности этой функции оператор сеточной задачи (31) является самосопряженным и положительным. Задачу (31) можно интерпретировать как задачу типа (19), (27)-(29).
А именно, определим сеточную функцию иу(я) как решение раэностного уравнения (27) со следующим неоднородным граничным условием 2 2 я (0) = — —,у(й), гн(1) = — —,у(1 — Ь). (33) с условиями (15). Аналогичная ситуация имеет место и для разностной задачи (18), (19), (22). Задаче (23), (24) соответствует разностная задача — Яген = 7(Я), х Е ы, (26) ш(я) =О, я Еды, (27) а уравнению (25) — разностное уравнение — уе,=го(х), ябы, которое дополняется условиями (19). Определим теперь на множестве сеточных функций, обращающихся в ноль при х ф ы, оператор йу = -уе„я Е ы, тогда разностную схему (19), (27)-(29) можно записать в виде й У = 7(х), Я Е ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
