Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Нетрудно убедиться, что в разложении (48) каждый отдельный оператор является кососимметричным, т.е. У,(Ь,) = -У'(б,), а = 1,2. В силу этого для б„а= 1,2 имеем г 4 гя!<а 6,= з — з!и —, а=1,2. < !<а 21ч Осталось получить постоянные д»„а = 1, 2 в (50). (52) ' (53) ) < 9.2. Итерационные методы ре<иениа задач теллолроеодлости 441 йоава 9. Конвективный тенаюбмен 442 На основании (47) имеем (Аау~ гьаУ)»г- 2(ЛаУ|Лау) + 2($„(Ьа)36 уа(Ьа)У) » ~2~-"~а(ЛаУ~ У) + 27а(ЛаУ> У)~ где 2 о ч» 4 2ЯЬа Л = у — соз —, с- /ьг 21 а=1,2. Для 7, по аналогии с (45) имеем 7 = — (2шахЬ,(я)+Мшах((Ь (х))4 ) ), а=1,2.
4 ага аоа 9.2.7. Задачи Задача 1. Пусть 2 то =— 72+72 72 71 Ро = 72+ 72 При каких В Е (О, 1) 4ункяия 'Р(В) Рор + ((1 В) + Во72В ) достигает минимума и чему он равен. (54) Решение. Удобно ввести новую переменную 1 — г/ В= —, !+аз (55) а = то72. Имеем / 2 2 !/2 Рот/ ~! Ро В® (! ! а2)1/2 1 (! ) (! ! е2)2/2/ (! + а2)1/2' Для определения точки минимума вычислим производную (1 + 2)1/2 Ф 2/ (92 + а2)1/2 Необходимое условие минимума дает Ро (! + е2)~/2 2, „2~1/2 т . 21 1/2 оксо В силу этого получим, что в (50) /Ь, = О(/2 2), а = 1, 2, и зависит от самой скорости конвективного переноса н ее изменения. Асимптоти- ческая зависимость от шагов сетки числа итераций метода переменных направлений остается такой же как и в самосопряженном случае.
В случае (55) 21 6 ( — а', 1) и, допуская любые а > О, выберем положительный корень уравнения (56): аро 21 = 21о = (1+, 2)цз. Принимая во анимание условие ро < 1, получим по 6 (О, 1). В силу 2 Изб %" 2 2 (1+а) — 2 —— 2 2 2~2 >0 дз1 (21 +а 1 в этой точке достигается минимум, равный 1 — 22о 1+ аз зз(бо) = 2Р(21о) = — + Робо, Ро (57) Принимая во внимание (54), получим Ро = 2 2 то 7к7ь то 72ро (1 — Р2 + т272) 3/2 о~ 1 — к 2 1+ кро (58) 3 к= (71 72 + 72) И Во= При таких оптимальных параметрах минимум функции у(б) равен 1 — 6 — 1 — к 7~ Мбо) <Ро Ро = = 6 = 1+6 1+к 72 Зти соотношения получаются подстановкой (58) в (57).
Задача 2. Покажите, что дея нормы оператора Я(ы) = (Е+ыА) '(Š— ыА) (59) при А>бЕ, б>0, 1!АИ~'<Ь(Ар р) и ы = ыо — — (бЬ) ' справедлива оценка 2 Ц2 )))2 1 с (60) (61) Решение. Положим (Е+ыА)р = о, тогда в силу (59) имеем о ' — !и --:'л)ч 9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности 443 Бава 9. Хонеектненый тенлообмен Принимая во внимание Ц(Е~ыА)уЦг ЦуЦз~2„,(А у)+„,зЦ1 Цг (62) получим тождество Ц(Е+ хА)уЦ вЂ” Ц(Š— ыА)уЦ~ = 4х(Ау, у). На основе (62) н априорной информации (60) приходим к оценке Ц(Е+ыА)уЦ < (б + 2х+ бтра )(Ау,у).
Учитывая (63) и (64), имеем (63) (64) Ц(Š— хА)уЦ = Ц(Е+ ыА)уЦ вЂ” 4<и(Ау, у) < — Ц(Е+ хА)уЦ~, 1+к где 2хб к= 1+ иРЬб' Таким образом, установлено неравенство ЦдеЦ' < — „ЦеЦ' !+к т.е Цй' <— 1+к Минимум правой части достигается при максимуме к, т. е, при х = хе = (ббз) ' и в атом случае имеет место оценка (61). ь 9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла 9.3.1. Нестациовариые задачи теплопроводиости с конвенцией При описании динамических процессов теплопередачи будем учитывать как теплопроводность, так и движение среды. Уравнение теплопроводности в однородной среде будет иметь внд /ди '1 ди с'( — +У(ч)и) — ~ й —., =у(х,1), х6й, 0<1<У, (1) дхз а=| з дш У(ч)|и = ~~~ еа(х,1) —, дх, (2) где слагаемое У(ч)и определяет перенос тепла за счет движения среды со скоростью ч = ч(х,1).
Среда предполагается несжимаемой, и поэтому для У(ч) используются различные представления. В недивергентной форме (см. п.9.1) имеем 445 9.3. Нестационарные задачи конвективного переноса тепла при использовании дивергентной записи: У(ч)чв = ~~>, ' а(о.. ) в=! (3) Эти формы эквивалентны при выполнении условия несжимаемости 2 , Вх. В п. 9.2 в качестве основной формы записи конвективного слагаемого выступает 2 чч-=,-'~~(л*,ч ~ — ",""')], а=1 (4) т. е.
берется полусумма конвективных слагаемых в дивергентной и недивергентной формах. Уравнение (!) дополняется соответствующими граничными и начальными условиями. Для определенности, гюложим и(х,С) =д(х,С), хЕ дй, 0 < С<У, (5) и(х,0) = яо(х), х Е й. (6) Для нестационарного уравнения теплопроводности (1), (2) выполняется классический принцип максимума Монотонность решения задачи теплопроводности с конвективным слагаемым в виде (3), (4) при произвольных ч(х) (не удовлетворяющих условию несжимаемости) требует отдельного рассмотрения. Прн условиях, что нормальная компонента скорости обращается в нуль на границе области (см. п.
9.1), оператор конвективного переноса У(ч) кососимметричен в 7С = Ь2(й), т. е. У(т) = -У'(ч) . На основании этого можно получить простейшую оценку устойчивости решения задачи (1), (б) при однородных граничных условиях (5). Домножая уравнение (1) скапярно на и(х, С), получим в"» — »'~1+Ьй( — )' *=У ' *.
ихи а=1 и и Из этого равенства непосредственно следует следующая оценка устойчивости по правой части и по начальным данным: Ф 1 !Цм(х, С)Ц < !!ио(х)Ц+ — / /Щх,т)Ц 2Ст. (7) в Можно получить и несколько более общие, чем (7) оценки. Существенно то, что в таких опенках влияние конвективного переноса не проявляется. Нгава 9. Хонвеклгналый лсемообмел (9) У;(Ь )у = †((Ь (х)у)С + Ь (х)уз ). 1 Определим через е(х, С), х Е «! приближенное решение уравнения (!) в момент времени С и н принеденных обозначениях придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений !Се — + Ст(Ь)у+ Ле = уг(х, С), х Е о!, 0 < С < Т, (10) Принимая во внимание (5), (6), дополним (10) условиями е(х,С) =д(х,С), хбдог, 0<С<Т, (11) э(х, 0) = ио(х), х Е о!. (12) Для задачи (10)-(12) можно получить аналогичные (7) оценки устойчивости по начальным данным и праной части при рассмотрении задачи на множестне сеточных функций Ы, обращаюшихся в нуль на д«!.
9.3.3. Ревностные схемы с весами Построим и исследуем на устойчиность разностные схемы для при- ближенного решения задачи (!0)-(!2), которую будем рассматривать прн однородных граничных условиях (сеточная функция д(х, С) включа- ется в правую часть разностного ураннсния). Запишем для (10)-(12) лвухслойную разностную схему с весами.
Во внутренних узлах сетки «! используется разностное уравнение у«!-! у« т +$ (Ь)(!тгу««!+(! !"!)У«)+Л(лгу««!+(! ег)у«) — 'Р«, (13) хЕ«!, п=О, 1,..., которое дополняется начальным условием Уо(х) = Яо(х) х Е о!. (14) 9.3.3. Дифференциально-рааиостяая аадача В дальнейшем будем считать, что обезразмеривание уравнения (1) проведено так, что в (1) с = 1, Ь = 1.
В прямоугольнике П введем обычным образом равномерную сетку ы с шагами Сг„а = 1, 2. Пусть (см. и. 9.1, 9.2) сеточный оператор Лапласа Л соотнстствуст аппроксимации оператора теплопронодности, т. е. г Лу=~~~ Л«у! Л«у= ут а=1 2. (8) «=! Будем, для определенности, использовать для оператора конвектнвного переноса аппроксимацию на основе определения (4). Тогда справедливо представление 9.3.
Несвационарные задачи конвеквнвного переноса зненла 447 Для исследования устойчивости запишем схему (13) в каноническом виде (15) т Здесь сеточные операторы имеют вид В = Е+ а~т1г(Ь) + озтЛ, А = 1т(Ь)+Л. (1б) Рассматриваемая схема с весами характеризуется тем, что оба оператора А и В являются несамосопряженными. Позтому общие результаты устойчивости (необходимые и достаточные условия) (см. и. 5.4) напрямую (без преобразования задачи) использовать не удается. Рассмотрим класс схем (13), (14), когда веса одинаковы: (17) о! =аз=о.
В силу (1б), (17) имеем В = Е+ отА, А ~А'~)0. (18) Отметим условия, при которых схема (15), (18) устойчива. Будем рассматривать только устойчивость по начальным данным, т. е. Р„= 0 в уравнении (15). Теорема 1. Разносмнал схема (15), (18) устойчива в Н и в Нп, Р = В'В при выполнении операторного неравенства 1\ А+т о — -~А"А > О. (19) 2,) Для доказательства запишем схему (15) в виде: рвы Ври) где оператор перехода Я =Š— тВ ~А =  — т(Е+отА) ~А. (20) Устойчивость в Н имеет место, если .7 = Š— Я'Я > О.
С учетом перестановочности операторов А и В, определяемых согласно (18), имеем Š— Я'Я = Š— (Š— тА'(В') ) (Š— тВ А) = = т((В') ~А'+АВ ~) — т (В') А'АВ > О. (21) Домножая (21) слева на В', а справа на В (неравенство при этом остается в силе), получим для (20) В" (Š— В'Я)В = т(А'В + В'А) — т А*А = = т(А'+А)+ т(2от — т)А'А > О. (22) Полученное неравенство (22) и есть доказываемое неравенство (19).
ТЬава 9. Конвекмивный тсилоойнен 448 Доказательство устойчивости в Но прн Р = В*В проводится полностью аналогично. В терминах операторных неравенств условие устойчнвостн в Нп, Р = Р' > 0 эквивалентно выполнению неравенства .Т = Р— Я".РЯ > О. В нашем случае Р = В'В и поэтому Р— Я'РЯ = В' — (В" — тА')( — тА) = = т(А'В+ В'А) — т А'А.
(23) Подстановка В = Е+ ггтА в (23) снова приводит нас к (19). Очевидно, что для схемы (15), (18) неравенство (19) будет выпалнено прн а > О, 5, т.е. в этом случае мы имеем абсолютно устойчивую разностную схему. И в этом смысле разностные схемы с весамн прн несамосопряженном положительном операторе ничем не отличаются от схем с весами прн самосопряженном положительном операторе. Прн и < О, 5 имеет место условная устойчивость. Пусть дополнительно к (18) нзвестна оценка 'ОАра < Л(Ау,у). (24) Тогда неравенство (19) будет выполнено при 1 1 а> — —— 2 Лт' нлн 1 < о Л(05 — ) (25) Для конкретизации условий (25) для задачи (10)-(12) необходнмо получнть оценку (24).
Неравенства такого типа были рассмотрены в и. 9.2 прн изучении скорости сходнмостн метода переменных направленнй. На основании этого можем заключить, что в (24) постоянная Л = ОЩЩ ~) и зависит от самой скорости конвектнвного переноса н ее изменения. 9.3.4. Явно-неявные схемы Среди схем с весами (13), (14) заслуживает отдельного рассмотренна схема, когда конвектнвные слагаемые берутся с предыдущего временного слоя, т. е.
~т~ — — О, аз = и. (2б) В явно-неявной схеме (13), (26) на верхний временной слой выносится только симметричный оператор теплопроводностн: В = Е+ огтЛ, А = 1г(Ь)+ Л. (27) Рассмотрим условия устойчивости схемы (15), (27). В силу кососнмметрнчностн оператора 1г(Ь) н симметричности оператора Л положим А = Ао+А1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
