Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(53) дх дх т дх) Решение. Для задачи (12), (53) в качестве исходной возьмем схему с центральными разностями Ь(х)рй — (й(х — Ь/2)ре) = У(х), х Е ы, которая является условно монотонной. Регуляризация по типу (23) приводит нас к схеме Ых)в. — 1! -!- Ц(Ь(х — Ь!7)!у-.) — Г(х! к с . ГК4! 429 9.1. Стационарные задачи теплопроводности с конвенцией Выберем теперь В так, чтобы сохранить второй порядок аппроксимации и получить безусловно монотонную схему. Схема (14), (54) записывается в каноническом виде (15) с А(х) =(1+Я) — й х+ — +й х —— ь1 Ь(х) В+(х) = (1+22) — й~ х+ — ) — —, Ьз ~ 2) гй ь1 Ь(х) В (х) = (1+22) — й~х — — ) + —, с(х) =з(х), хаю.
Ь 1, г) 2Ь' Для выполнения условий монотонности (17) достаточно положить В=аВ(х), В(х)= шах й х+ —, й х —— и выбрать а > 0,25. Задача 2. Запишите разностную схему с направленными ровностями (44) в виде (Ь(х)У) — ((1+ 1В(х)~)У) = )'(х), х Е и, (55) где Ь(х) Ь Ф 2 Решение. Для того, чтобы (44) была эквивалентна регуляризованной схеме с центральными разностями (55), необходимо выполнение равенства (Ь+(х — Ь)У(х — Ь) + Ь У) = (Ь(х)У) З вЂ” ()В(х)~У)з,.
(5б) Для правой части (56), помноженной на 2Ь, имеем гь((Ь(х)у)4 — (!В(х)!у)з,) = Ь(х+ ь)у(х+ ь)— — Ь(х — Ь) у(х — Ь) — 1Ь(х + Ь) ~ у(х + Ь) + + 2/Ь(х)!у(х) — !Ь(х — Ь)~у(х — Ь) = = 2Ь (х+ Ь)у(х+ Ь) — 2Ь+(х — Ь)у(х — Ь)+ + 2(Ь" (х) — Ь (х))у(х) = = 2(Ь (х+Ь)у(х+ Ь) — Ь (х)у(х))+ + 2(Ь+(х)у(х) — Ь+(х — Ь)у(х — Ь)) = = гй(Ь" (х — Ь)у(х — Ь) + Ь у),. Тем самым, искомое равенство (5б) доказано, и в силу этого разностная схема с направленными разностями (44) представляется в виде (55).
4ЗО 1Ьава 9. Коивективимй глеплообмеи 9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности с конвекцией 9.2.1. Основные свойства рааиоетиых операторов коивективиого переноса Ранее мы рассмотрели свойства монотонности разностных схем для уравнения теплопроводности с конвекцией в двух важнейших случаях: когда используются аппроксимации конвективных слагаемых в недивергентной и дивергентной формах. Итерационные методы решения соответствующих разностных задач могут строиться на основе свойств монотонности сеточного эллиптического оператора.
Однако значительно большие возможности мы имеем при рассмотрении итерационных методов в гильбертовых пространствах. Этот математический аппарат использовался нами при подробном рассмотрении итерационных методов решения сеточных задач с самосопряженными положительными операторами (см. п. 4.б, 4.7). Здесь мы коснемся особенностей решения задач с несамосопряженными сеточными операторами. Поэтому начнем со свойств сеточных операторов конвективного переноса.
Рассмотрим уравнение теплопроводности с конвекцией в форме (см. п. 9.1) г,з сУ( ) — ~~~ Ь вЂ” = з (*) * б й (1) а=! где У(т) — оператор конвективного переноса. Уравнение (1) дополним простейшим краевым условием в(х) = д(х), х Е дй. (2) Среди важнейших свойств оператора У(т) отметим его кососимметричностгс У(т) = — У'(т) в Н = Бз(й). Коэффициенты теплоемкости с и теплопроводности Ь в уравнении (1) постоянны, и поэтому их влияние в дальнейших построениях несущественно.
Будем рассматривать задачу (1), (2) при с = 1, Ь = 1, к которой мы придем при соответствующем обезразмеривании уравнения (1) (более подробно см. п. 3.1). Поставим обычным образом в соответствие дифференциальной задаче (1), (2) (с = 1, Ь = 1) разностную задачу на прямоугольной сетке: 1г(Ь)у+ Лу = р(х), х Е ы, (3) у(х) = д(х), х Е ды, (4) где У(Ь) — сеточный оператор, соответствующий конвективному переносу (вектор Ь имеет компоненты Ь (х), а = 1, 2), а Л вЂ” сеточный оператор Лапласа: 9.2.
Итерационные методы решения задач теплояроеодности 43! для у Е И. Рассмотрим теперь свойства разностного оператора к'(Ь) в И. Пусть г(Ь) соответствует аппроксимации конвективных слагаемых уравнения (1), записанных в недивергентной форме (оператор У(т) определен согласно (7) в п.9.!). При использовании центральных разностных производных имеем з У(Ь)у = ~~',6 (х)у;,. а=| Найдем сопряженный к тг(Ь) оператор. Скалярное произведение в И определяется выражением (у, э) = ~~| у(х)э(х)Ь, Ь = Ь,Ьз, (7) и поэтому 2 (1'(Ь)у, э) = ~~| 7 6,(х)у; э(х)Ь. а=| ееи На множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на ды, имеем ! 6|(х)у э(х)Ь = — ~~~ 6|(х)(у(х| + Ь!, хз) — у(х| — Ь!, хз))э(х)Ьз = чаи ееи 1 у(х)(6,(х, — Ь|, хз)э(х, — Ь~, хз)- 2 ыш — 6|(х| + Ь|, хз)э(х| + Ь|, хз)) Ьз = — у(х)(6|(х)э) ЬЬ.
ееи В силу этого У" (Ь)у = — ~~' (Ь,(х)у); . (8) а=! Тем самым, оператор, сопряженный к оператору конвективного переноса в недивергентном виде (7), равен с обратным знаком оператору конвективного переноса в дивергентном виде: з 1г(Ь)у = ~~| (6,(х)у) а . (9) Определим через Н пространство сеточных функций, заданных на й и равных нулю на ды. Для этого неоднородные граничные условия (4) включаются (см. п.4.1) в правую часть уравнения (3). Позтому будем рассматривать разностную задачу У(Ь)у+ Лу = У(х), х Е ы (б) 432 Бгава 9. лонвективний тенлоойнен На основании (7) — (8) можно предложить следующий выбор оператора конвективного переноса з !'(Ь)у = — ~ и((Ь,(х)у)д + Ь (х)уе ), (10) «=! т. е. в виде полусуммы оператора конвективного переноса в дивергентной и недивергентной форме. На основании (8) имеем г'(Ь) = — У'(Ь), Ь,(х) = Ь,+(х)+Ь,(х) ! Ь.'(х) = -(Ь.(х)+ !Ь.(х)1) > О, 1 Ь (х) = -(Ь,(х) — )Ь«(х)!) < О, а = 1, 2.
Определим оператор конвективного недивергентного переноса в виде У(Ь)У='Е,(Ь.(х)У.. + Ь.'(х)УЕ.). (12) «=! Принимая во внимание, что Ь|(х)у«,о(х)л = ~ Ь,(х)(у(х! + В!,хз) — у(х))э(х)Ьз —— «ЕИ «Еи = ~~!, у(х)(ь! (х! — Ь|,хз)е(х! — Ь„хз) — Ь, (х)е(х))л, = ХЕИ вЂ” у(х)(ь,(х)е)я Ь, *ЕИ получим 1"(Ь)у = †,е' ((Ь,(х)у)я + (Ь,+(х)у), ). (13) «=! т. е. разностный оператор конвективного переноса в форме (1О) является кососимметричным. Заметим, что зто свойство имеет место при любых скоростях Ь(х) . Для дифференциальной задачи отмечался еще один выбор конвективного слагаемого, для которого условие кососнмметричности справедливо при любых скоростях (см.
(9) в п.9.1). Однако построение разностного аналога, для которого имело бы место свойство (11) представляется более затруднительным или приводит к аппроксимациям типа (10). Рассмотрим теперь свойства операторов при аппроксимации конвективных слагаемых направленными разностями. Пусть теперь (см, п. 9,1) 9.2. Итерационные методы решения задан тенлонрооодности 4ЗЗ И в случае аппроксимации направленными разностями (12) сопряжен- ный оператор, определяемый (13), равен с обратным знаком оператору конвектнвного дивергентного переноса. Поэтому при аппроксимации конвективного оператора в виде у(Ь)у= — Я(Ь (х)у, +Ь,+(х)уе + (Ь (х)у) + (Ь+(х)у), ) (14) а=! будет выполнено условие кососимметрнчности (11).
Нами выделены две аппроксимации конвективных слагаемых в виде (10) и (14), при которых условие (1!) выполнено без каких-либо дополнительных ограничений на компоненты скорости. Причем выбор (10) соответствует использованию схем с центральными разностными производными (второй порядок аппроксимации), выбор (14) соответствует схемам с направленными разностями (первый порядок аппроксимации). Прн построении разностных схем для уравнения теплопроводности с конвекцией и при их исследовании мы будем ориентироваться именно на такой выбор разностного оператора конвективного переноса. 0.2.2. Итерационные методы решения сеточной задачи Запишем разностную задачу (6) в виде операторного уравнения первого рода Ау=у, (15) где оператор А несамосопряжен. Для него выделим симметричную Ао и кососимметричную А| части: (16) А = Ао+Ан где 1 1 Ао = -(А+ А'), А~ — — -(А — А').
2 ' 2 Для задачи (6) с выбором аппроксимаций конвективных слагаемых, удовлетворяющих условиям (11), имеем (17) (18) Ао = Л, А1 — — У(Ь). (19) ЬЕ ( Ае ( ЬЕ, Таким образом, в зедаче теплопроводности с конвекцией симметричная часть сеточного оператора соответствует обычной теплопроводности, а кососимметричная — конвективному переносу тепла. Для оператора Ао имеет место обычная (см., например, п,4.7) двухсторонняя оценка 434 П!ава 9. Конвективный тенлообмен где б и Ь вЂ” миниманьное и максимальное собственные значения раз- ностного оператора Лапласа: 3 т з б = ~~ б = ~~! — з!п — > ~~! 4, зяЬ 8 Ьз 21, а=! а=! а «=! 4 !яЬ« 4 а=! , Ьз Ь2 Для приближенного решения задачи (15) — (!8) будем использовать двухслойные или трехслойные итерационные методы.
Специфика рассматриваемой задачи (15) заключается в несамосопряженности оператора А. В главе 4 построены различные итерационные методы для задач с самосопряженным оператором. Для того, чтобы воспользоваться такими методами можно провести симметризацию исхопиого уравнения (!). В методе симметризоции вместо исходного уравнения (15) рассматривается уравнение (20) Ар = У где А = А'А, ,У = А'У В уравнении (20) оператор А уже самосопряжен, и поэтому для его приближенного решения можем использовать рассмотренные ранее итерационные методы.
Применим, например„двухслойный итерационный процесс Р ь + А в ь (21) ть,! с самосопряженным положительно определенным оператором В. Скорость сходимости итерационного метода (21) определяется постоянными энергетической эквивалентности операторов А и В: !!В( А (тзВ, у! > О. Трудности использования итерационных методов (20), (21) лля задачи (15)-(18) связаны с тем, что число обусловленности (отношение максимального собственного значения к минимальному) для матрицы А = А'А значительно выше, чем число обусловленности исходной матрицы (вместо О()Ь! ~), где !Ь!з = Ьз+ Ь~), имеем 0()Ь~ ~). Поэтому итерационные методы с чебышевским набором итерационных параметров, методы сопряженных градиентов, примененные в симметричной задаче (20), могут значительно уступать простейшим итерационным методам решения исходной задачи (15) с несамосопряженным оператором А.
Кроме того, возрастают вычислительные затраты на реализацию одной итерации. В силу отмеченных обстоятельств метод симметризации редко используется при приближенном решении задач типа (!5)-(!8). 9.2. Итерационные методы решения задач теляонрооодности 435 Для приближенного решения задачи (15) будем использовать двухслойный итерационный метод "' + Ар, = У, й = О, 1,.... (22) тач! Далее мы рассмотрим различные варианты выбора оператора В и итерационных параметров ть, 9.2.3. Метод простой итерации В качестве простейшего варианта итерационного процесса (22) рассмотрим случай постоянных итерационных параметров, т.е.
В""' "'+ Ар, = У, й = О, 1,,... (23) т Исследование скорости сходимости итерационного метода (23) проводиться по обычной (см. и. 4.6) схеме. Изменение нормы погрешности яь = рь — р исследуется в пространстве На, где Р = Р' > О. Положим Яь = Р Ц еь и полУчим нз (23) следующее уравнение для еь. он~1 — — ром Я = Š— тС, (24) где, напомним, С = Рч~гВ 'АР Иг, а Я вЂ” оператор перехода от одной итерации к другой.
Рассмотрим сходимость итерационного процесса (23) в случае, когда оператор В самосопряжен н положительно определен: В = В' > О. !е = О, 1,..., (25) ! С = -(С+ С'), 2 1 с = -(с — с') 2 с=с +с„ задана в виде 73Е < С <7гЕ, !!С|!! < 7з> 7г > О. (27) Ранее рассмотренный (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
