Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 74
Текст из файла (страница 74)
8.1) составленной из двух прямоугольников (Ь-образная область): й = й'гзй", й' = (х ~ х = (х„х,), О < х, С 1'„ йн=(х!Х=(х,,хз), О(х„С1,",, 400 Глава 8. Теллообмен излучением При расчете теплообмена излучением необходимо учитывать потоки тепла с поверхности 7, попадающие на у", и наоборот. Здесь приняты следующие обозначения 7=7 07 у' = (х ( х Е дй, х = 1', ), уе=(х(хбдй, хз=Ц, и Г = дну. Далее будет рассматриваться задача теплообмена в такой расчетРнс.
8.1 ной области в различных услови- ях. Мы начнем с расчета тепловых потоков, обусловленных излучением на 7, в предположении, что распределение температуры излучающей поверхности 7 известно. Поэтому положим в(х) = у(х), х б 7, (1) в стационарных задачах. При рассмотрении теплообмена в нестационарных условиях время выступает в качестве параметра. Поэтому расчет несгационарного теплообмена излучением в рамках приближения известной температуры излучающей поверхности проводится полностью аналогично. 8.3.2. Интегральное уравнение теплообмена излучением Для получения интегрального уравнения теплообмена излучением между участками границы 7' и 7е будем считать для простоты окружающую среду — непоглощающей и неизлучающей, а излучение с поверхности тела — изотропным. Соответствующее интегральное уравнение для плотности теплового потока в общих условиях выписано в п.
2.5. Пусть д(х) — поток излучения в точке х поверхности у. Он определяется как сумма собственною излучения оз(х) и части падающего излучения, которая отражается. Для 4(х) имеем следующее интегральное УРавнение д(х) к(х) С(х,с)я(с) ИГ = ( ), хЕ у, (2) 7 где к(х) — коэффициент очражения. Коэффициент отражения изменяется в пределах от О до 1. Для реальных твердых тел О ( к(х) < 1.
Собственное излучение обусловлено только температурой тела, и в соответствии с законом Стефана — Больцмана из (1) имеем ДО(х) = о2(х) я (х), (3) гле оз(х) — излучательная способность тела. 401 3.3. Теплаобмеп излучением при заданных температурах Ядро интегрального уравнения (2) определяется выражением С(х, б) = соа (п(х), г) соз (я(с), г), 1 (4) 1гг(х, л) где г(х, с) — расстояние между точками х и с, а соз (п(х), г) — косинус угла между нормалью к у в точке х и отрезком, соединяющим х и б. Отметим некоторые свойства интегрального уравнения (2), которое является интегральным уравнением Фредгольма второго рода.
При к(х) = сопзг ядро интегрального уравнения, как следует из (4), симметрично. Кроме того, ядро неотрицатепьно, т. е. С(х, с) = С(с, х) > О. (5) При положительных к(х) ~ сопзг интегральное уравнение (2) легко приводится к интегральному уравнению с симметричным ядром (см. задачу 1). 8.3.3. Дискретная задача Для приближенного решения интегрального уравнения (2) используются численные методы. Метод квадратур приближенного решения интегральных уравнений основан на замене интегралов соответствующими суммами. Применим метод квадратур для перехода от интегрального уравнения (2) к системе линейных алгебраических уравнений. Пусть хн( = 1,2,...,гп — точки выбранной дискретизации границы у. При решении согласованной задачи тепдообмена в качестве таковых можно взять граничные узлы расчетной сетки. Исходными дпя построения дискретной задачи методом квадратур являются соотношения а(х ) — п(х )~С(хнб)дфдб=де(х;), 7 х; Е у, 1=1,2,...,гп.
(б) кз — к(х;) ~~> р С(хо( )е = д,(х,), 1,у =1,2,,пз, (7) уза где р,, у = 1, 2,..., пг — коэффициенты выбранной квадратурной формулы. Как и при применении методов непосредственной аппроксимации дифференциальных задач (см. п. 4.2), построение дискретных задач на основе метода квадратур может привести к системам уравнений, ддя которых теряются важные характеристики исходной задачи. В частности, может напитаться закон сохранения птчнстой энергии. После замены интеграла в (б) квадратурной суммой получим систему линейных алгебраических уравнений дпя приближенного потока излучения ти д(х;). Дпя случая границы у, составленной из отрезков прямых, получим Валява 8. Тенлообмен излучением 402 Более приемлемым способом дискретизации интегрального уравнения (2) является метод баланса (интегро-интерполяционный метод).
Для произвольных криволинейных границ рассмотрим с каждой отдельной точкой х;, з = 1, 2,..., т некоторую окрестность границы 79 с плошадью шезх7; = ) ах, так что в 7 = Ц 70 71 г17з = ш~ 1 ~ 3 иы В халдой такой части границы будем считать собственное излучение (температуру) и поток излучения постоянными. В теории теплообмена излучением за таким подходом закрепилось название зонального метода. Для получения дискретной задачи в сформулированных условиях сначала проинтегрируем уравнение (2) по каждому элементу границы г;, 1 = 1, 2,..., т.
Это дает вместо (б) исходные соотношения /' / а(х) кх — l к(х) / С(х, с) д(9 4(4х = / 9е(х) 4х, (8) 1= 1,2,...,т. Принимая во внимание наши предположения о поведении искомого решения и правой части уравнения (2), из (8) получим тчшезз7;-к(х;)~> / / С(х,с)йсйх из=до(х;)шеш7п 1=1,2,..,,т. 7 и Эта система уравнений принимает вид вн — к(х<) ~~~ 1оззчо = 9н 1 = 1, 2,..., т, (9) 1з; = — / / С(х,с) Ис йх шеаз 7; (1О) т и определяют условия теплообмена излучением между элементами поверхностей 99 и 7з и носЯт название Угловых коэффиЦиентов. Для плотности теплового излучения из (9), (10) получим систему уравнений о< — к(х;) ~ 1озто = 9о(х;), 1= 1,2,...,т.
(11) г=1 где величины чо; = шезз7гвн Ф = шева 7иуо(х;), з = 1, 2,..., т, определяют потоки излучения на весь элемент поверхности гн 1 = 1, 2,...,т. Величины 403 8.3. Теплаабмен иэлунением при заданных мемперамурах Эта система уравнений является основной при исследовании теплообмена излучением. Теплообмен между отдельными телами, имеющими некоторые заданные температуры, описывается системой алгебраических уравнений (9).
Проблема расчета сводится к вычислению угловых коэффициентов. Все руководства по радиационному теплообмену содержат формулы для аналитического вычисления угловых коэффициентов в наиболее важных случаях. В общем случае произвольной поверхности у необходимо рассчитывать эти характеристики согласно формуле (10). Из определения угловых коэффициентов и ядра интегрального уравнения (4), (10) непосредственно вытекают следующие важные свойства. Аналогично (5) имеем: (12) з|я = Закон сохранения энергии приводит к (13) причем равенспю в (13) имеет место только для замкнутых поверхностей 7.
Сформулированные свойства (12), (13) необходимо учесть наряду с условием 0 < п(х;) < 1 при выборе методов решения системы уравнений (11). 8.3.4. Решение системы уравнений Запишем систему уравнений (11) в виде (14) Ае = а, где А — квадратная матрица размерности гп х гп с элементами (15) аб = 1 — н(х;)уб, 1, з = 1,2,...,пт, а б — вектор правых частей: б' = да(х ), 4 = 1, 2,..., гп. (16) Исследование однозначной разрешимости базируется на том, что матрица системы (14) является монотонной матрицей (М-матрицей).
Для того, чтобы установить это для задачи (14)-(16), удобно использовать принцип максимума для сеточных уравнений (см. п. 4.3). С этой целью запишем алгебраическую задачу в канонической форме и проверим условия выполнения принципа максимума. Определим через И)=(х!х=х;бт, г'=1,2,...,тп) 404 1)зава 8. Теллообмен излучением множество узлов дискретизации границы 7. Через Щх) опрелелнм шаблон узла х и Щх) = хВ'(х) () х. Запишем задачу (14) — (16) в виде Ле(х) = Р(х), х Е И), (17) где сеточный оператор Л задается выражением Ле(х) = А(х)е(х) — ~~~ В(х, Ое(6), (енз'(з) и пусть Р(х) = А(х) — ~~~ В(х, ~). (гав'(з) В случае задачи (14)-(16) для (18), (19) имеем (19) А(х) = 1-к(хз)(ои, В(х 6) =к(х) р(зз Р(х) = 1 — к(х;) Я узззз (20) зз( —.У Рззйбз. = ()6 (21) з=1,2,...,пз, х=хп Принимая во внимание (12), (13) и условие 0 < к(хз) < 1, из (20) получим для коэффициентов сеточного оператора Л условия А(х) > О, В(х, 6) > О, Р(х) > О, х Е И7.
А это значит (см. п. 4.3), что для уравнения (17) выполнен принцип максимума. На его основе доказывается однозначная разрешимость задачи (14)-(16). Для оценки точности приближенного решения привлекаются соответствуюшие априорные оценки сеточной задачи и оценки используемой квадратурной формулы. Для достаточно гладких границ и решений для погрешности аппроксимации имеем зу(х) = 0(Ье), где Ье — характерный шаг дискретизации 7.
Учитывая неотрнцательность правых частей уравнения (14), установленный принцип максимума позволяет сделать вывод о неотрицательности самого приближенного решения, т. е. е(х;) > О, з = 1, 2,..., пз. Следует заметить, что такие свойства приближенного решения мы получили при специальном (консервативном) методе построения дискретной задачи. Использование метода квадратур может приводить к сеточным задачам, для которых приведенные выше свойства решения дифференциальной задачи не наследуются. Для решения задачи (14) используются прямые или итерационные методы. Перед этим полезно провести симметризацию системы линейных уравнений. С этой целью разделим уравнение (11) на (к(х;) шея 7() 1/з и получим 405 8.3.
Теплообмен излучением при заданных температурах где с учетом (10) (к(х ) шеаз 7 ) (к(х;)к(х )) (шеаз у; юеза у ) бч ' 7 ть 00(х~) 1, з =1,2,...,пь. (к(х<) шезз у;) (22) Систему уравнений (21), (22) запишем в виде Ао = В, (23) где теперь А — симметричная квадратная матрица размерности пь х гп с элементами А=(А)'>О. (24) Вопросы решения задач типа (23), (24) подробно рассматривались нами в главе 4. В частности, для решения задачи (23), (24) можно использовать (см.
п. 4.5) прямой метод Холецкого. Большого внимания заслуживают (особенно при решении трехмерных задач) итерационные методы, Здесь можно применять итерационные методы вариационного типа (см. п.4.6) с различным выбором оператора В (например, в качестве В выбирается диагональная часть А). В силу трудностей с заданием априорной информации о границах оператора А получили распространение и традиционные итерационные методы (например, верхней релаксации). 8.3.б. Задачи ! Задача 1. Приведите интегральное уравнение (2) к интегральному уравнению с симметричным ядрам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
