Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 69
Текст из файла (страница 69)
7.2) для численного решения квазистационарной задачи (1)-(3), (5) можно использовать алгоритмы с выделением и без выделения границы фазового перехода. Необходимо только по возможности учитывать особенности квазистационарных задач Стефана, которые проявляются в том, что исходное уравнение является эллиптическим, а не параболическим. Заметим, что эллиптический оператор квазистационарной задачи несамосопряжен.
Для таких задач вопросы построения разностных схем, 373 7.4. Квазистаянонарнан задача Онефана исследования точности и методы решения сеточных задач нами практически не рассматривались. Отдельные моменты применительно к задачам тепло- и массопереноса затрагиваются ниже. Здесь же мы ограничимся рассмотрением полходов к численному решению на уровне дифференциальных постановок. Простейший подход к приближенному решению задачи (1)-(3), (5) связан с построением итерационных методов сквозного счета на основе сглаживания коэффициентов в уравнении (1). От уравнения (1) в соответствии с п. 7.2 перейдем к уравнению ди д /- да 1 рос(и) — — ~ — ~Й(и) — ~ = О, х б й, (6) дх, дх. 1, дх.) а ! где с(и) = с(а)+6(и, Ь) при использовании обычной аппроксимационной формулы для б-функции: 1 — ~и! ( с5, 6(и, Ь) = О, 1и~ > Ь.
При численном решении задачи (2), (3), (5), (6) можно использовать простейший итерационный процесс последовательного угочнения коэффициентов. На каждой итерации решается линейная краевая задача „ам з а+1; уес(в ) — — ~~~ — ~Й(е ) — ) = О, х Е й, дит дХа дха ) ь два+1 й(в ) — =О, *,=1, ди „два+' Й(е ) — =у(х) > О, х| — — О, ди е (х)=-1, 1хг! = 1г. Тем самым на каждой итерации решается линейная краевая задача для эллиптического уравнения с конвекгивным слагаемым. 7.4.3.
Выделение границы фазового перехода В рассматриваемой задаче (1) — (3), (5) граница фазового перехола Я (см. рис. 7.4) имеет простую структуру. Поэтому для таких задач успешно могут применяться методы с выделением границы фазового перехода. Запишем уравнение теплопроводности в каждой отдельной фазе, т.е. да д Г да т Ъгес(и) — — ~ — ~Й(и) — ) = О, х Е й+ О й .
(7) дхз дха дха 374 1лава 7. Задачи теялояроводиогти с фазовыми аереходами Выделим явно условия сопряжения на границе фазового перехода Я, для которой Я = (х 1 х Е П, в(х) = 0). (8) Условия на Я имеют вид (9) (10) хЕЯ, Для упрощения задачи (2), (3), (5), (7)-(10) удобно использовать преобразование Кирхгофа (и. 3.3): Н о = о(в) = / й(ь) аь. о В этом случае уравнение (7) примет вид до д~о з Ч(о) — -Š— 2=0 дхз дхз х Е Й+ О й, где а(о) = Уес(в(о))/й(и(о)). На свободной границе Я=(х)хЕИ, о(х)=0) (12) условия сопряжения (9), (1О) принимают вид (13) (о) = О, хЕЯ, с до 1 — ~ = — АУесоз(п>хз), дп (14) х Е Я.
Соответствующим образом преобразуются и граничные условия (2), (3), (5). Зааача для уравнения (11) характеризуется особенностью решения, которая проявляется в неоднородных условиях сопряжения (13), (14) на неизвестной границе (12). Методы решения задач со свободной границей строятся на методах итерационного уточнения неизвестной границы. Поэтому можно говорить, что на каждой такой итерации при известном приближении для границы приходится рассматривать задачу с неоднородными условиями сопряжения (14).
Аналогичные подходы могут использоваться и при построении разностных схем с выделением свободной границы прн приближенном решении нестационарных зааач. В силу нестационарности в таких задачах можно использовать и безытерационные варианты такого подхода (ограничиваясь одной итерацией). Опишем на дифференциальном уровне итерационный процесс последовательного уточнения свободной границы. Естественным является 7.4.
Хвазистаиианарнан задача Стефана 375 подход с определением нового приближения из решения следующего линейного уравнения де+ т("') Е з — — О, в б П» ГЗ П» (15) дх», дхзз когда (17) (18) х0й, х Е Я», Я»=(х[хбй, н(х)=0). (1б) Условия сопряжения (13), (14) дают [е ~~] = О, х б 8», ди»+ 1 — ~ = ф»(х), х Е Я», д. 1- где 15»(х) = -Луе сов (и», хз). Тем самым вычисление скачка нормальных производных проводится по найденному приближению для свободной границы.
Для численного решения задачи (15)-(18) можно использовать раз- личные подходы. Простейший из них связан с построением разностной схемы непосредственно лля этой задачи. Для использования интегро- интерполяционного метода полезно включить неоднородные условия со- пряжения (17), (18) в уравнение. В соответствии с п.2.2 единое уравнение в Й будет иметь вид »+~ з ~з„»м О(») — — Š—, = бз.гр» (19) дхз дха где бз — поверхностная б-функция.
Для приближенного решения задачи (15)-(18) можно использовать различные варианты адаитивного выделения особенности. Для этого определим решение задачи (15)-(18) в виде е»+ (х) = ча(х) + «(х). (20) Выберем достаточно гладкую в П»+ и П» функцию «(х) такой, чтобы дня та(х) условия сопряжения на Я» были однородны. Поэтому мы должны строить функцию «(х) такую, что [«[=О. (21) с д«1 — ~ = ф»(х), х Е Я».
(22) С учетом (20)-(22) для ча(х) получим уравнение т(и ) — — ~ — = -О(» ) — — 7 без особенностей во всей области П. 316 Глава 7. Задачи теллопроаадиости с фазовыми лсрсходами Теперь вся проблема в построении достаточно гладкой функции г(х), удовлетворяюшей условиям (2!), (22). Необходимо также, чтобы для ее вычисления вычислительные затраты в худшем случае были соизмеримы с затратами на решение краевой задачи для в2(х). Не пытаясь сколько- нибудь подробно описывать возможные полходы для построения функции х(х) в рассматриваемой задаче, отметим лишь адаитивное выделение с помошью гармонических потенциалов.
Принимая во внимание свойства потенциала простого слоя, положим х(х) = чрь(у)С(х, р) ду, (25) Яч где С(х, у) — фундаментальное решение двумерного оператора Лапласа: 1 2 2 -1/2 С(х, у) = — 1и ((х1 — у ) + (х2 — р2) ) 2я 7.4.4. Однофааиая задача При некоторых условиях можно выделить как самостоятельную однофазную квазистационарную задачу.
Это имеет место в случае, когда можно считать постоянной температуру в жилкой фазе. Выравнивание температуры может быть обусловлено, например, значительно большим коэффициентом теплопроводности, либо интенсивным конвективным перемешиванием. В рассматриваемых условиях полного проплавления пластины (рис. 7.4) можно рассмотреть отдельно однофазную задачу при хз > О н задачу х, ( О (изменяется только знак скорости).
для определенности будем рассматривать задачу при х2 > О. т.е. в области 27 = (х1х б П, х2 > О). Уравнение теплопроводности имеет вид до дзо Π— —:Е: — 2=О дХ2, дХО2 о=~ (24) х Е 27, где теперь а = Уес 7'х На свободной границе Я, определяемой согласно (12), имеем (25) е(х) =О, х Е Я. В этом случае условия сопряжения (21), (22) будут выполнены.
При вычислительной реализации метода потенциалов необходимо вычислять потенциал во всех узлах расчетной сетки. Прямое использование формулы (23) приводит к значительным вычислительным затратам. На основе решения краевых задач для уравнения Пуассона можно строить экономичные алгоритмы вычисления значений потенциала во всей расчетной области. 377 7.4. Хвазиетацианаряал задача Стефаяа С учетом того, что и — внешняя нормаль, второе условие на свободной границе имеет вид де — = — Л$~см(п,хз), х Е Я. (2б) дп Для полной формулировки задачи дополним (24)-(26) граничными усло- виями де — =О дп (27) х~ — — ро де — =д(х) > О, ди (28) х1 — — О, 1 и(х) = — —, (29) Кратко остановимся на возможных подходах к приближенному решению квазистационарной однофазной задачи Стефана (24) — (29).
7.4.б. Введение новой неизвестной Я=(х~хз=О(х~), хбй), и поэтому (рис, 7.4) й+ =(х ~хз < О(х1), х б й), й =(х ~ хз > п(х1), хай). В качестве новой неизвестной будем использовать (см. п. 7.3) новую функцию гв(х), которая определяется через е(х) с помощью соотношения хз> г(хю) (хСР ), (ЗО) хз < П(х1).
га(х) = Как и для нестационарной однофазной задачи для приближенного решения задачи (24)-(29) можно вместо е(х) ввести новую неизвестную гв(х) с помощью преобразования Дюво. С этой целью рассмотрим (24)-(29) как нестационарную задачу (в системе координат, связанной с движущейся пластиной) и используем преобразование Дюво для общей нестационарной однофазной задачи. Вторая возможность, на которой мы здесь остановимся, связана с проведением преобразования для стационарной задачи.
Пусть уравнение свободной границы имеет вид хз —— О(х~), т.е. агава 7. Задачи теплонроводности с фазовыми нерекодами 378 Из (30) непосредственным дифференцированием интеграла с переменными пределами интегрирования получаем Ф! т дго г де дг! г де — 1 — (х!, д) йе — е(х!, г1(х!)) — = 1 — (х!, В) Ф (3!) дх! дх! дх! У дх! г(н!) е(т) и аналогично дв — = э(х). дхг Дифференцирование (31), (32) дает (32) (33) На свободной границе Я выполнены однородные условия в(х)=0, хбд, (34) — (х)=0, хбд.
дв (35) дп Наиболее просто переформулируется граничное условие (29). Принимая во внимание (32), получим дэ! 1 — — хз = 1г. дв й-' С учетом (3!) граничное условие (27) дает (Зб) дв г де — = У вЂ” (х„В) бд = 0, х =1. дп / дп (37) дг Р~ дг д д д — = / — (х!, В) Ф вЂ” — (х!, г((х!)) — + —. , дхг / дхг! ' дх! ' дх! дхз н(*!1 Принимая во внимание уравнение (24) и граничное условие (25), это соотношение преобразуется к виду дв де дг! де — — дэ(х) — — (х „г1(х !)) — + — (х!, г1(х!)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
