Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Вместо (28) часто используют урав- нение Уп~-1 — У* мд Ь(уп+пв) + Лз(уп-~~/з)уп+1 — О~ х Е ы~ т рассчитывая на увеличение запаса устойчивости линеаризованной разностной схемы. Можно рассмотреть и другие варианты разностных схем численного решения многомерных задач Стефана на основе использования экономичных аддитивных схем, описанных в главе 6.
Это относится, в частности, к схемам переменных направлений, которые позволяют Рассчитывать и стадию установления температурного Режима. 361 7.2. Мемеды сквазнага счеаа 7.2.4. Энтальнийиая формулировка задачи Стефана При решении заяач с фазовыми превращениями твердое тело— жидкость часто в качестве неизвестной функции используется не температура а(х, 1), а энтальпия м(х, г). Для задачи (7)-(9) новую функцию (энтальпию) зададим с помощью соотношения Йа — = с(а) + Лб(а). (29) ба Введение энтальпии соответствует (см.
п. 3.3) использованию преобразования гудмэна. В рассматриваемом случае однородных твердой н жилкой фаз в соответствии с (29) положим ) с+а+Л, а)0, (30) (с а, а< Как следует из (30), новая неизвестная функция м терпит разрыв на границе фазового перехода (при а = О). Уравнение теплопроводности (7) с учетом (30) принимает вид дв д / ди~ — — ~й(и) — ) =О, а, дх. Л, д*.) * (3)) Рис. 7.3 хбй, 0<1(Т. Для того, чтобы построить вычислительные алгоритмы сквозного счета, необходимо сглаживание разрывной функции га(а). Снова обозначим параметр сглаживания Ь и введем кусочно-линейную непрерывную функцию (рис. 7.3) м(а), !а~ > О, га(Ь) + и(-Ь) га(гХ) — и( — Ь) 2 + а) — бг(а(бг, 2Ь где в(бг) = с+гз+Л, м(-Ь) = -с Ь. Вместо (32) мы можем использовать и более сложные аппроксимационные формулы.
Точное уравнение (31) заменяется приближенным: — — ~й(а) — ) =О, хбй, 0<$<Т. (33) дмд д / даЛ дг, дх. ~ д*.) Полученная задача для (32), (33) решается численно. Если в качестве неизвестного используется функция гад(а), то в этом случае говорят о приближенном решении задачи Стефана в энтальпийной постановке. 362 Глава 7. Задачи теплолроеооиости с 9!азоомии переходами Исключение вд(а) в (32), (33) приводит нас к схеме со сглаживанием в рассмотренной выше температурной постановке (задача 2).
Из (32) непосредственно следует формула для определения а(х,1) по заданному вд(и): (вд — Л) ! вд > в(Ь), 2Ь х в(Ь) — в(-Ь) а(х,1) = (34) (1~)+ (-~) с х вд— 2 ! в(-Ь) < вд < в(-Ь), вд с вд <в( — гд). С учетом этого уравнение (33) примет вид ве в ( ввд~) 2 — — — к(ед) — ~ =О, хай, 0<1~(Т (35) , ( с соответствующим коэффициентом к(ед).
При заданном функциональном преобразовании (34) нет проблем с формулировкой начальных и граничных условий для уравнения (35). Следует заметить, что простые функциональные зависимости (32), (34) между в(х,1) и вд(х,1) имеют место при заданных постоянных коэффициентах теплоемкости. В более сложном случае с = с(п) переход к энтальпийной формулировке осуществляется не так просто. Для численного решения (35) используются разностные схемы, описанные выше при рассмотрении методов сквозного счета в температурной постановке. Для идентификации свободной границы используется условие (-в)+ (в) в(0) = которое соответствует (4).
7.2.б. Комбинированные алгоритмы К методам сквозного счета мы отнесли методы, которые не связаны с выделением свободной границы раздела фаз. При использовании сглаживания коэффициентов в обобщенной формулировке залачи Стефана (8), (9), (11) для вычисления коэффициентов разностной задачи (14)-(!9) используются простейшие формулы типа (15), (19), т. е. построение дискретной задачи проводится на основе непосредственной аппроксимации (см.
п.4.2). При построении разностных задач можно исходить из более совершенных процедур, в частности, использовать 363 7.2. Методы сквозного счета метод баланса (интегро-интерполяционный метод). Метод баланса можно использовать дяя построения разностной схемы непосредственно для задачи (7)-(9) в выделением границы. Применение интегро-интерполяционного метода связано с использованием квадратурных формул для вычисления коэффициентов соответствующей разностной задачи.
Для повышения точности необходимо учесть разрывы коэффициентов дифференциального уравнения. Это имеет место, например, при интезрировании уравнения (11) с разрывным коэффициентом теплоемкости. В силу этого, граница фазового перехода выделяется. При использовании аппроксимационных формул (12), (!3) с необходимой точностью следует выделять линии разрыва (изотермы и ж Л = согпг) коэффициента теплоемкости.
Это же замечание относится и к случаю использования энтальпийной формулировки задачи с фазовыми превращениями. Обсуждаемые разностные методы решения задачи со сглаженными коэффициентами (8), (9), (11) в части построения дискретной задачи близко примыкают к методам с выделением границы фазового перехода. Поэтому можно указать класс комбинированных методов, в которых идеи обоих подходов тем или иным способом сочетаются друг с другом. 7.2.6. Задачи ! Задача 1.
Для задачи (8), (9), (11) постройте линеаризованный аналог разностной схемы Дугласа-рзкфорда. Решение. В соответствии с п.6.2 аналогом этой схемы будет Ь(Ув) + Л,(рв)рв„„ + Л,(рв)Ув = О, Ул+!72 — Ув (36) т Ь(Уп) + Л2(Ув)(Ув+! Ул) О" (37) т Реализация поправки (второго этапа в схеме (36), (37)) может осуществляться на основе разностиого уравнения Уп+! Ув+!/2 Ь(Уча!72) + Л2(Ул+!/2)(Ув+! Ул) = О. т Это уравнение отличается от (37) только вычислением коэффициентов не по временному слою 1 = $в, а по решению Ув+ !72. ь ! Задача 2. Постройте линеаризованную ревностную схему е температуркой постановке на основе сглаживания (32).
Решение. Для задачи (32), (33) со сглаженными коэффициентами используем разностную схему юа(У.+ ) — Ъ(У.) + Л(рв)рв!-! = О, к Е ы, Глава 7. Задачи теле»провод»осе» с фазоеым» лереходом» 364 Линеаризация этой схемы дает схему (22), в которой Принимая во внимание (32), получим ! с+с Ы ди с(а), !и~ <Ь, 1а! > гз. Такая линеаризованная схема соответствует использованию аппроксимационной формулы (!2) лля б-функции. ь 7.3.
Преобразование зависимых переменных 7.3.1. Однофазная задача Стефана да д~и — —,=О, х=(хнхз)бй (С), 0<С(Т, (1) дхз да к которому добавим простейшие начальные н граничные условия (2) (3) а(х,О) = О, хай, а(х,С)=д+(х,С)>0, хб7+, 0<С(Т, гле у+ = 7+(С) = дй г! дй (С) и й+(0) = а. В твердой фазе температура постоянна и равна нулю; а(х,С)=0, хай (С)=й'!Й (С), 0<С<Т.
(4) В частности, на фиксированной части границы области Й (!) имеем и(х,С)=д (хС)=0, хбу (С)=дйГ!дй (С), 0<С<Т, (5) Ранее (см. п. 7.! ) мы рассматривали преобразования независимых переменных так, чтобы в новых координатах исходная область со свободной границей отображалась в фиксированную область. Вторая возможность преобразования исходной задачи связана с введением вместо и(х, С) новой неизвестной.
В качестве примера преобразования зависимых переменных отметим введение в п.7.2 энтальпии ге(х, С) вместо и(х, С). Здесь мы отметим еше одну возможность введения новой неизвестной. Рассматривается модельная однофазная задача Стефана в прямоугольнике й, та же, что и в и. 7.1. В жидкой фазе справедливо уравнение теплопроводности 365 7.3. Преабраювание зависимых переменных На свободной границе Щ = дй+ гз дй выполнены обычные условия и(х, !) = О, х Е д(!), 0 < ! < Т, (6) ди — (х, !) = — ЛУ„, х Е Я(!), 0 < ! < Т, (7) дп где ӄ— снова скорость движения границы фазового перехода. Будем считать, что граница фазового перехода Я(!) задается уравиеиием ! = г!(х), т.е. д(!) = ((х, !) ~ ! = г!(х), х Е й).
(8) Для определеииости положим Й (!) = ((х, !)~! > г!(х), х Е Й), й (!) = ((х, !)~Ф < 0(х), х Е Й). В этом случае граничное условие (7) (задача 1) принимает вид 8гаг! и 8габ г! = — Л, ! = г!(х), 0 < ! < Т. (9) Постаавеииая задача (1)-(7) характеризуется тем, что решение иепрерывио во всей области й, ио первые производные терпят разрыв при переходе свободной границы. Новая неизвестная функция вводится так, чтобы лля иее были непрерывны и первые производные. Для нахождеиия такого более гладкого приближенного решения можно использовать более простые вычислительные алгоритмы.
7.3.2. Преобрааоваиие Дюво В качестве новой неизвестной будем использовать функцию и(х, В) бВ, ! > г!(х) (х Е й'(!)), ги(х, !) = (! 0) О, ! < г!(х) (х Е Й (!) гз 3(!)). Преобразование, аналогичное (10), впервые предложил Байокки для задачи фильтрации через земляную дамбу со свободной (иеизвестиой) граиицей смачиваиия. Для тепловых задач Стефаиа такое преобразование использовал Дюво (преобразование Дюво).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
