Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 66
Текст из файла (страница 66)
После того, как найден шаг сетки, обратной прогонкой восстанавливается решение разностной задачи. Слелует подчеркнуть, что описанный алгоритм ловли фронта безытерационный, хотя разностная задача (38)-(40) и нелинейна. ь 355 7.1. Методы с выделением границы фазового перехода Задача 2. Запишите уравнение теплопроводности (24) в новых незави- симых переменных (~п Сг) при заданном динамическом преобразовании переменных (37).
Решение. Полагая и(х,1) = о(4,1), получим дв до 06 до дег дв + + (41) 01 01 01 06, 01 дбг Из (37) имеем дх~ 0(~ дх1 06 дхг — + — — + — — =0 01 01 09 01 жг дхг 06 дхг 06 дхг — + — — + — — =О, 01 01 06 01 06 и поэтому дх1 дх1 дх1 = — Ж+ — дег, дс1 дег дхг дхг дхг = — йс| + — йсг. 06 д6 Поэтому для компонент метрического тензора получим 91! — О + да~ дхг дхг дхг 91г =Уг| = — — + — —, 06 06 06 д6 0 + (43) Для ассоциативного метрического тензора непосредственные выкладки лают У =У Ун, У = —.Г 9пь У =,Г 9н.
(44) дх~ дхг дх10хг Здесь Х = — — — — — — якобиан преобразования. д~ 06 0~ 06 Запишем теперь оператор Лапласа в новых переменных, используя лля этого общее представление (31). Для преобразования (37) имеем 356 П>ава 7. Задачи тепеопроеодности с Сбазоеыми переходами Подстановка (31), (41)-(44) в уравнение (24) дает искомое уравнение 1С'дх дх, дх,дх ~ д 1(гдх дх дх дх Л ди дС .7(, дС 0$д дС 0(з,г д~~ .Г (, дС 0(~ дС дб1,I дб г 10( и дс! ч, и 06 и дсзу Здсг ~ и 042 и 06~ Здесь коэффициенты метрического тензора преобразования (37) определяются по формулам (43), ь 7.2.
Методы сквозного счета 7.2.1. Двухфазная задача Стефана В п.2.3 отмечалось, что классическая задача Стефана допускает обобщенную формулировку в виде одного нелинейного уравнения теплопроводности, при которой реализуются необходимые условия на границе фазового перехода. Это дает возможность строить вычислительные алгоритмы приближенного решения задач с фазовыми превращениями без явного выделения свободной границы. О таких методах мы говорим как о методах сквозного счета.
Рассматривается модельная двухфазная задача Стефана в прямоугольнике й. Свободная граница Я = Я(С) разбивает й на две подобласти й+(С) и й (С) (рис.7.1). В обоих подобластях выполняется уравнение теплопроводности. Как обычно, будем считать„что теплофизические параметры твердой и жидкой фаз постоянны, для обозначения принадлежности к той или иной области будем использовать индекс «+» или « — ».
Запишем в каждой подобласти уравнение теплопроводности 2 з идя м да с — — Ус ~~> — =О, х=(хнхз)бй (С), 0<С(2'. (1) «=! В начальный момент задается некоторое распределение температуры: и+(х, 0) = ие(х), х б й+(0). (2) Пу 7'=7'(С)=дйпдй+(С) и и+(х,С) = О(х,С), х Е 7+, 0 < С < т. (3) Температуру фазового перехода принимаем равной нулю и поэтому свободная граница Я = Я(С) определяется следующим образом: Я(С) = (х ) х Е Й, и(х,С) =О).
(4) Па ней выполнены (см. п.2.3) два условия сопряжения, отражающие непрерывность температуры и закон сохранения тепла: [и)=0, хбд(С), (5) ! С« — ~ = — ЛЪ'„, х Е Я(С), ди1 (б) 357 72. Методы сквозного счета ди Л (с(а) + Лб(в)) — — ~~) — ~й(а) — ~ = О, дг , О*. Л, дх„,у' а=! (7) хбй, 0<1<Т. Здесь коэффициенты теплоемкости и теплопроводности разрывны и име- ют вид ) с~, и>0, (хбй~), ~[с, а<0, (х611 ), ) й+, а>0, (хай+), (к, а<0, (хай ). В соответствии с (2) и (3) уравнение (7) дополняется условиями в(х, О) = ая(х), х Е й, а(х,1) = у(х, 1), х Е дй, 0 < 1 < Т.
(8) (9) Особенность задачи Стефана проявляется в наличии слагаемого с б-функцией в левой части уравнения (7). Выделение илн поглощение тепла при фазовом переходе соответствует наличию сосредоточенной теплоемкости на границе фазового перехода. Сама краевая задача (7)-(9) не очень сильно отличается от рассмотренных выше квазилинейных задач теплопроводности (см. и, 5.9). Это позволяет нам перейти к построению соответствующих разностных схем. 7.2.2.
Рааноетная схема ео сглаженными коэффициентами Простейший подход к приближенному решению задачи Стефана в формулировке (7)-(9) состоит в том, что коэффициенты уравнения (7) сглаживаются, т.е. совершается переход к обычной задаче теплопроводности. В уравнении (7) теплоемкость с(и) и слагаемое Лб(а) входят одинаковым образом.
Заменим б-функцию б(а) некоторой функцией б(и, Ь), которая отлична от нуля только внутри интервала сглаживания [ — бг, бг), и введем эффективную сглаженную теплоемкость с(и) = с(и) + б(и, Ь). (10) При необходимости проводится сглаживание и коэффициента тепло"оояолиостп (Ия1 зчюняется пз Ь(я)) о выест тоавиенпя Гт1 'чисто~ где Л вЂ” энтальпия фазового перехода, а ʄ— скорость движения свободной границы по нормали к Я(1). Рассматриваемая двухфазная задача Стефана (1) — (6) может быть записана в виде одного общего уравнения теплопроводности во всей области П. Пусть б(и) — дельта-функция, тогда вместо уравнений (!) и условий сопряжения (4) — (б) можно рассматривать одно уравнение теплопроводности 358 й~ава 7. Задачи тенаонроводности с 4уазовыми нереходами решение уравнения со сглаженными коэффициентами Оа ' О т'- Оа 1 с(а) — — ~~~ — ~й(а) — ) =О, х б П, 0 <1< Т, (11) О1 , Оха (, О*.) В вычислительной практике получили распространение различные аппроксимационные формулы для 6(а, дг), которые строятся из условия сохранения баланса тепла на интервале ] — гз, сз].
Простейшая их них связана с заданием 1 б(а, Ь) = 2Ь' О, ]а] < ег, ]а] > сХ. (12) В качестве второго примера может отметить параболическую аппрокси- мацию, когда 31 а'1 6(а, 6Г) = 4сЪ |, Ы) О, ]а] < г3, ]а] >Ь, (13) для которой условие д 6(а, дг) да = 1 У»ч-1 У» Ь(у»ч ~) + »(у»ч„~)у»ч ! = 0 х б ы~ т Здесь а=0,1,....
(14) ~~ »~ -4 также, очевидно, выполнено. Как показывают численные эксперименты, точность разностного решения слабо зависит от выбора той или иной аппроксимационной формулы для б-функции, в частности, от выбора (12) либо (13). Более существенное влияние оказывает величина параметра сглаживания сз, который естественно зависит от используемой сетки и определяется, чаще всего, эмпирически в результате методических расчетов. В методах сквозного счета разностную схему строят на основе использования уравнения (11), считая коэффициенты этого уравнения достаточно гладкими. Сама граница фазового перехода не выделяется, не участвует в построении разностной схемы, При необходимости свободная граница идентифицируется как нулевая изотерма (см. (4)) после того, как решение найдено.
Для решения задачи (8), (9), (11) применяются рассмотренные ранее разностные методы. В соответствии с и. 5.9 применим, например, чисто неявную разностную схему 359 7.2. Методы сквозного счета Л(э)у ~~~ ~г Л (о)у ч=! Л„(о)у = -(а„(о)уя ) Граничные и начальные условия (8), (9) дают уо(х) = яс(х), х Е сг, уоы(х) = у(х~1л ы)1 * Е Й~I1 (1б) хЕы, (17) (18) п = О, 1, Ь(уп) + Л(уп)учт~ = О, х Е ~д, и = О, 1,..., (22) т дополненное граничными условиями (18).
При решении задач с фазовыми превращениями безытерационная разностная схема (!8), (22) зачастую оказывается более предпочтительной по сравнению с чисто неявной схемой (14)-(19) по суммарным вычислительным затратам. 7.2.3. Эиоиомичяыс схемы Для решения многомерных задач типа Стефана естественно использовать экономичные раэностные схемы. Для общих трехмерных задач устойчивые разностные схемы могут быть построены на основе аддитивных локально-одномерных раэностных схем, схем суммарной аппрокчмапин Гсм и б 51.
Лвя рассматриваемой лвчмсрной эалачи (8), (9). Для определенности положим а~(у) = Гс(0,5(у(х) + у(х~ — Ьн хэ))), (19) аэ(у) = М(0,5(у(х) + у(х1 хэ — Ггэ))). Реализация нелинейной разностной схемы (14) †(19) осуществляется на основе итерационных методов. Простейший из них связан с итера- ционным уточнением коэффициентов.
Новое приближение находится из решения линейной разностной задачи (см. п. 5.9) ьч! Ь(в ) " + Л(в )в +' = О, х Е ы, (20) т в +'(х) =у(х,1„+,), х Еды, и = О,1,.... (21) Как правило, достаточно нескольких итераций (20), (21), чтобы обеспе- чить хорошую точность. Вместо итерационного процесса (20), (21) можно использовать метод Ньютона, который приводит к несамосопряженной сеточной эллиптической задаче лля нового прибдижения. В вычислительной практике большой популярностью пользуется ли- неаризованная чисто неявная разностная схема, когда коэффициенты бе- рутся с предыдущего временного слоя. Для рассматриваемой задачи (8), (9), (11) во внутренних узлах сетки используется уравнение 360 П~ава 7.
Задачи гпеплопроводпосгпи с фазовыми переходами (11) можно применять и факторизованные разностные схемы (см. п.6.3) (разностные схемы переменных направлений). Приведем в качестве примера локально-одномерную разностную схему дяя задачи (8), (9), (11), основываясь на чисто неявной схеме для промежуточных задач. В соответствии с и. 6.5 определим приближенное решение в два этапа. Сначала с учетом адцитивного представления (16) находиться разностное решение у„цз как решение следующей разностной задачи: Упн/г У» Ь(уп~1/г) +Л1(ув~Ьо)уи+Уз = О, *Е ы, (23) т у„+Оч(х) =д(х,1„.,~), х Е ды.
(24) После этого из решения сеточной краевой задачи Ув+1 — У н-цг Ь(у~< ~) + Лз(уп М)ул+~ = О, х Е ы, (25) У4 м(х) = д(х, 1п м), х Е ды (26) находится решение уп.м на новом временном слое. Реализация схемы суммарной аппроксимации (23) — (26) связана с решением ряда одномерных нелинейных сеточных уравнений для нахождением у„,~п и у„+о С этой целью может использоваться итерационный процесс типа (20), (2!) либо метод Ньютона. При этом соответствующие системы линейных уравнений решаются методом прогонки. Линеаризованной разностной схеме (18), (22) будет соответствовать разностная схема с уравнениями Уп~-уЗ вЂ” Уп ь(у„) + Л,(у„)у„,ц, = о, т Упн — Уп-;-Нз ь(у„) + л,(у„)у„„ = о, т (27) хЕы (28) и граничными условиями (24), (26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
