Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Будем рассматривать уравнение Ь(х) — — — = г(х), О < х < 1, (11) дх Охз с граничными условиями и(0) =д„и(1) =дн (12) Для приближенного решения задачи (11), (12) введем равномерную разностную сетку й с шагом Ь. Приведем вначале разностную схему с центральными разностями Ь(х)уе — ув, = у(х), х Е ы, (13) уз=дн ун =дг (14) Разностная схема (13), (14) во внутренних узлах сетки записывается в следующем каноническом виде (см.
п. 4.3): А(х)У(х) = В+(х)у(х+ 6)+В (х)у(х — Ь)+Г(х), х Е ы (15) при 2 А(х) = — з, 1 Ь(х) 1 Ь(х) (1б) В+(х) = — — —, В (х) = — + —, Ьз 2Ь' Ьз 2и Р(х) = 7(х), х Е ы. Для разностной схемы (15) достаточные условия выполнения прин- ципа максимума имеют (см. п. 4.3) вид: А(х) > О, В+(х) > О, Р(х) > О, х Е ы, (17) где Р(х) = А(х) — В+(х) — В (х).
Условия (17) для схемы с центральными разностями будут выполнены лишь при достаточно малых шагах сетки (малых скоростях в задачах конвективного переноса тепла): Ьшах!6(х)! < 2. (18) нви Безусловно монотонные разностные схемы для задачи (11), (12) можно построить при использовании аппроксимаций первого порядка направленными разностями. Введем обозначения Ь(х) = Ь+(х) + Ь (х), 1 Ь+(х) = -(Ь(х) + /Ь(х)/) > О, 6 (х) = — (Ь(х) — 36(х)!) < О, 2 2 так что Ь+(х) = Ь(х), если Ь(х) > 0 и Ь"(х) = 0 пРи 6(х) < О. 418 1)2ава 9.
Кояаекл2иалмй л2еллообмел Вместо (13) будем рассматривать разностное уравнение Ь (х)рв+ Ь (х)у~ — рва = У(з), х Е ь2, (19) с граничными условиями (14). Легко проверяется выполнение принципа максимума (условия (15), (!7)) для схемы с направленными разностями (14), (19). Такие разностные схемы, учитывая конвективную природу коэффициента Ь(х) в уравнении (11), называют схемами с разностями против потока.
Схема с направленными разностями является монотонной при любых шагах сетки. Ее недостатки связаны с тем, что в отличие от схемы с центральными разностями, она имеет лишь первый порядок аппроксимации. Поэтому были предприняты многочисленные попытки построения монотонных разностных схем второго порядка аппроксимации, для которых удалось бы избавиться от ограничений типа (18). Отметим некоторые основные результаты в этом направлении. В методическом плане удобно от уравнения (11) перейти к самосопряженному уравнению И Ии — — Ь(а) — = у2(а), 0 ~ х < 1.
(20) Иа Иа Нетрудно убедиться, что для этого достаточно положить ч*>= *о( — 1 ксч), и*~=а*~гь>. о Далее строятся обычные разностные схемы второго порядка точности для задачи (12), (20). Например, лля гладких коэффициентов и правой части можно использовать разностную схему — (аут)к = ЩХ), Х Е Ь2, (21) где аппроксимация правой части не конкретизируется, а -ь12 а(а) = й и — — = ехр — Ь(~) Ие' (22) о Очевидно, что схема (14), (21) является монотонной. С учетом (22) положим в-ь/2 й 4-Л12 ь)= *о(- 1 чсч) Р(-/ь|се)=ке.*р( — 1 чек). т о е С точностью О(д~) зададим а(х) = й(х) ехр [ Г Ь(х)Ь1 ( 2 ) 9.1.
Сн!ационарные задачи гнеллолроводносгли с конвекциед 419 Тогда левая часть (2!) преобразуется следующим образом -(аув), = — ехр — — у, — ехр — ув Принимая во внимание равенства Ь Ут = Ув Уаь> Ь У*=УВ+ 2У* получим + — ехр + ехр — у;,. Поэтому схему (21) можно записать в виде Е(х)УЗ вЂ” (1+ В)ра~ = ~(к), и б ы, (23) где ее!*>+ е ц*> о(и)Ь 1 + и = В(к) , „, = В(з) сбт В(л), В(к) = . (24) сбтВ(к) ж — + —, 1 В(к) В(з) 3 положим в (23) В= —, В(к) = В~(х) Ь(к)Ь 3 ' 2 (25) Нетрудно убелиться, что схема (14), (23), (25) является монотонной при любых шагах сетки.
Разностная схема (23) отличается от схемы с центральными разностями (13) дополнительным слагаемым, пропорциональным В. Нетрудно видеть из(24), что В-~ О при Ь- О. Экспоненциональная схема (14), (23), (24) является безусловно монотонной, имеет второй порядок аппроксимации. Ее недостаток обусловлен тем, что вычисление коэффициентов разностной схемы связано с многократным вычислением экспонент. Поэтому естественным является желание упростить коэффициенты разностной схемы, сохранив при этом ее качества.
Используя разложение при малых В(х) 420 Езава 9. Коявектявяый темообмен 9.1.3. Принцип регулярнаацни для построения монотонных рааноетных схем А(х) = (1+ В) —, 2 1 6(х) В+(х) = (! + В) — — —, Ьз 2Ь л'(я) = 7(х), х Е м. Условия (17) будут выполнены при 1+ В+ д(я) > О, В (х) = (1+В) — + —, 6(з) Ьт 2Ь ' 6(х)Ь (26) 1 +  — о(я) > О, о(х) = Так как о(х) = О(Ь), то для выполнения (26) и сохранения второго порядка достаточно положить В = В(х) = аот(х), а > —. 4 (27) Тем самым, регулярнзованная схема (14), (23), (27) является безусловно монотонной и имеет второй порядок аппроксимации.
Конечно, вместо (27) можно использовать и более сложные регуляризаторы. Таким примером служит зкспоненпиальная схема. когда выбор регуляризатора Ранее принцип регуляризации как способ улучшения качества разностных схем обсуждался нами при построении итерационных методов (см.
и. 4.7) для получения устойчивых разносгных схем (см. п. 5.8). Понятным является желание использовать принцип регуляризации для построения монотонных разностных схем (как схем, для которых выполнен принцип максимума). Будем исходить из некоторой исходной разностной схемы, для которой безусловное выполнение принципа максимума не имеет места. Применительно к рассматриваемой задаче (11), (12) в качестве таковой естественно взять разностную схему с центральными разностями (13), (14).
Она является условно монотонной (см. ограничения на шаг сетки (18)). Построение монотонной схемы по схеме второго порядка аппроксимации осуществляется на основе возмущения сеточных операторов так, чтобы для возмущенной схемы достаточные условия выполнения принципа максимума (17) при записи схемы в каноническом виде (15) имели место. В качестве регуляризованной для схемы с центральными разностями (13) возьмем схему (23), где  — регуляризирующий множитель, Для сохранения второго порядка аппроксимации необходимо выбрать В = О(Ь~).
Регуляризованная схема (23) записывается в каноническом виде (15) при 9.1. Стационарные задачи твлланраваднасти с канвекцивй 421 осуществляется согласно (24). Полученная ранее схема (14), (23), (25) принадлежит классу регуляризованных разностных схем (14), (23), (27). Интересно отметить, что достаточные условия (2б) монотонности регуляризованной схемы (14), (23) можно удовлетворить за счет выбора Я = В(х) = а~д(х)), а > 1.
(28) Однако в этом случае нарушается порядок аппроксимации — регуляризованная схема (14), (23), (28) имеет первый порядок аппроксимации. В наиболее приемлемом случае регуляризации (28) при а = 1 мы имеем обычную схему с направленными разностями (14), (19). Действительно, прямые вычисления дают Ь(х)у; — ~д(х)~уу, — — у,+ — ув — — — Ь+(х)ув+Ь (х)у,. Ь(х) Ь(х) 1Ь(хЯЬ у — ув Лри построении монотонных схем мы исходили из условно монотонной схемы второго порядка. Регуляризация проводилась в направлении сохранения этого порядка с улучшением свойств монотонности.
Вторая возможность связана с выбором в качестве первичной безусловно монотонной схемы первого порядка аппроксимации, а регуляризацию осуществить с целью повышения порядка аппроксимации. Приведем пример такой регуляризованной схемы. Будем исходить из безусловно монотонной схемы с направленными разностями первого порядка аппроксимации (19). В качестве регуляризованной схемы возьмем Ь+(х)уи+ Ь (х)у, — (1+К)у-„= „у(х), х Е ьг. (29) Эту схему удобно записать в виде Ь(х)Уа — (1+Я+~д(х)1)Ул — — У(х), х б ьг. (30) В (30) для получения схемы второго порядка можно положить В = Я(х) = — ф(х)~ + ад (х), а > —, г 1 4' т.е. мы приходим к рассмотренной ранее схеме (14), (23), (27). Можно предложить простые регуляризованные схемы (14), (29), непосредственно не связанные со схемами, полученными на основе регуляризованных схем с центральными разностями. Примером может служить выбор 1 1+22 = (31) 1+ 1д(хИ Схема (14), (29), (31) имеет второй порядок аппроксимации и является безусловно монотонной.
Построение регуляризованных монотонных схем фактически прова- лилось на основе изменения коэффициента теплопроводности — вместо 422 Емва 9. Конвективнмй тенлообнен коэффициента, равного 1, использовался коэффициент, равный 1+ Я. Вторая фактически эквивалентная возможность связана с изменением скорости. Вместо (23) будем теперь использовать регуляризованную схему в виде Ь(х) рд — р;, = у(х), х б !в, (32) 1+Я(х) * 9.1.4. Моиотоииыо схемы дяя миогомериык задач После рассмотрения модельной одномерной задачи (11), (12) и обсуждения различных полходов к построению монотонных схем можем перейти к построению монотонных схем для двумерных задач теплопроводности с конвекцией. Будем рассматривать модельную задачу для уравнения (1) с граничными условиями первого рода (3) в прямоугольнике й. Монотонные схемы будем строить на основе схемы с центральными разностями.
Во внутренних узлах равномерной прямоугольной сетки уравнению (1) поставим в соответствие разностное уравнение ~~У Ь,(х)у; — ~~! ' Ьу;-... = !в(х), х Е !е, (33) а=! где Ь,(х) соответствует аппроксимации е,(х), а = 1, 2. Граничные условия (4) дают !!(х) = ч(х1 т с йы !'!41 т. е. модуль скорости соответствующим образом уменьшается. Далее совершенно аналогично регуляризованной схеме (23) показывается безусловная монотонность схемы (14), (32) при выборе регуляризоторов согласно формулам (27), (28). Монотонизация разностных схем основана на том или ином подавлении конвективных слагаемых за счет изменения либо коэффициента теплопроводности (регуляризованная схема (23)), либо за счет уменьшения самих конвективных слагаемых (регуляризованная схема (32)).
Такие процедуры оправданы только для задач, котла преобладание конвективных слагаемых имеет место только в небольшой части расчетной области. Для того, чтобы сохранить качество решения (его монотонность) мы идем на потери в точности аппроксимации в этой локальной области. И в этом смысле важна точность регуляризованной схемы только вне этой области. Поэтому мы и говорим, что регуляризованиая схема (23), (27) (либо схема (27), (32)) имеет второй порядок аппроксимации.
Это утверждение никак не относится к части расчетной области, где монотонизация работает (в части области, где В(х) = О(1)). 423 9.1. Стаиионарные задачи теллолроводности с конаекцией Разностная схема (33), (34) аппроксимирует уравнение (1) с точностью 0(Ь, + Ьз) и будет монотонной при выполнении условий Ь,й шах/о,(х)! ( 2, а = 1,2, которые являются непосредственным обобщением условий (18). Для построения монотонных разностных схем второго порядка аппроксимации применим принцип регуляризации. Регуляризованную схему запишем в виде (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
