Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Реиьекие. Несимметрия обусловлена множителем к(х). Разделим ~д уравнение (2) на (к(х)) и введем новую неизвестную ( ) 0(х) (к(х)) а; = 1 — чпб, 1,3 = 1, 2,..., пь. Переход от задачи (14) к задаче (23) связан с введением новых переменных согласно (22). Поэтому из положительности оператора А следует и положительность оператора А, т. е. в уравнении (23) 406 улана 8. Тенлообмен изнунениеи Уравнение (2) примет внд (25) о(х) — С(х, 6) Щ) 46 = ее(х), хб7. Здесь правая часть а ядро имеет вид 6(х,6) = (к(х)к(с)) С(х,6). В силу симметрии ядра С(х,б) (см. (5)) симметричным будет и ядро б(х, ~) интегрального уравнения (25).
! Задача 2. Показките снраведливость неравенства (13) днн угловых коэффициентов. Решение. Принимая во внимание определение (10) для угловых коэффициентов, получим г т г 1 ~~,1о;.= — / ~ / С(х,б)464х= / / б(х,6)сК4х. (26) й~~~~7~ шеза7~ / у=! 7 ~ и Для ядра С(х, 6), определяемого согласно (4), имеем С(х,6) ас < 1, (27) 7 причем равенство имеет место только для замкнутых поверхностей 7.
Подстановка (27) в (26) и дает доказываемое неравенство (13). ь 8.4. Теплоперенос излучением и теплопроводностью 8.4.1. Согласованная задача теплообмена излучением и теплопроводиостью Наибольший интерес представляет задача учета перензлучення лля невыпуклых тел (системы тел), когда необходимо учитывать переносы тепла внутри тела. Здесь такая согласованная задача учета теплообмена излучением и теплопроводности рассматривается дня модельной области (рис. 8.1).
4ОТ 8.4. Теллолереиос излучением и тепеолроеодиостью Остановимся на постановке стационарной задачи. В области П тепловое состояние описывается уравнением д у ди'1 — ) — ~1г(х) — ) =~(х), х Е П. дх, ~, дх,) В обозначениях п.8.3 (см. рис.8.1) будем считать, что (2) и(х) = д(х), х Е Г. На у происходит теплообмен с окружающей средой и осуществляется перенос тепла излучением. Пренебрегая излучением окружающей среды, граничное условие запишем в виде дв й — + о~(х)(и — у(х)) + д(х) = О, х Е Т, (3) дп где здесь д(х) — температура окружающей среды, о1(х) — коэффициент конвективного теплообмена, а д(х) — радиационный поток. Для неизвестной о(х) выполнено (см.
п. 8.3) интегральное уравнение Ч(х) — к(х) / С(х,б)ч(() И( = до(х,и), х Е у, (4) где О < к(х) < 1 — коэффициент отражения, а правая часть определяется выражением яо(х, и) = оз(х)я (х), (5) где оз(х) — излучательная способность тела. Поставленная согласованная задача теплообмена излучением и теплопроводностью (1)-(5) характеризуется тем, что неизвестные и(х) и д(х) завязаны в общую систему уравнений через граничные условия (3) и правую часть (5) интегрального уравнения (4). 8.4.2.
Сеточная задача Задача (1) — (5) включает в себя задачу расчета теплового поля внутри тела и задачу расчета потоков теплового излучения. Каждая такая отдельная задача рассматривалась ранее. В п. 8.1 обсуждались подходы к приближенному решению задачи теплопроводности с учетом излучения в упрощенной постановке, когда нет переизлучения.
Такая задача есть предельный случай (1)-(5), когда к(х) = О, Второй предельный случай связан с условием, когда температура внутри тела известна и рассчитывается поток теплового излучения, рассмотрен в п. 8.3. На основе этого можно подойти к приближенному решению согласованной задачи (1) — (5). Прежде всего выпишем соответствующую сеточную задачу. Будем считать, что в области П ввелена согласованная со всей границей равномерная прямоугольная сетка. Пусть ы — множество внутренних узлов 408 йгава 8. Теплообмен излучением сетки, а 7~, 7'~ — множества узлов, лежащих на 7' и ун соответственно (уь = уь О уь).
Пусть у(х), х б ы О ть — приближенная температура, а в(х), х б уь — поток. Тогда (1) — (3) ставится в соответствие разностная задача йу+ Рз(х)л = Р~(х), х б ы О уь. (6) Здесь й — линейный сеточный оператор, который соответствует краевой задаче с условиями третьего рода на у. Он определяется (см. п. 8.1) выражением — 2,(а,Уа ),, «=! 2 — (аг(х)ут, + о~(х)у) — (а,ут,)ло г х б гл, з б 7ь 2 — (а г(х) ун + ог(х)у) — (агут )л» ! х б ть. Сеточная функция Рс(х) отлична от нуля только на уь и определяется следующим образом О, хбиг> 2 ч х б уь, Ьг' Ро(х) = 2 — хб уь. 1 8.4.3.
Итерационные методы решения задачи При построении итерационных методов решения задачи (6), (7) будем ориентироваться на методы, которые основаны на такой организации, при которой на каждой итерации решаются обычная краевая задача теплопроводности и задача расчета теплообмена излучением в условиях заданных температур. Отметим некоторые возможности в этом направлении. Аналогично задается и правая часть уравнения (6).
Аппроксимация интегрального уравнения (4) с правой часть (5) (см. п. 8.3) приводит к сеточному уравнению, которое мы запишем в следующем виде (Š— В)в — Рг(х, у) = О, х б 'уь (7) Здесь оператор В соответствует аппроксимации интегрального оператора, а Рг(х, у) — правой части (5). Таким образом ставится задача решения системы уравнений (6), (7). В силу нелинейности для приближенного решения этой задачи используются те или иные итерационные методы решения систем нелинейных уравнений (см.
п.4.9). 409 8.4. Теплоперенос излучением и юеплопроводноапью Простейший подход связан с использованием метода Зейделя. Приближенное решение задачи (6), (7) на й-ой итерации обозначим уь(х), л (х) и определим новое приближение из решения следующей линейной задачи: ЛУ +Рь(х)л =Р1(х), хба>!З7ь, (8) (Š— В)л + — Рз(х,у + )=О, хЕ уь, 7ь=0,1,.... (9) Переход на новую итерацию осуществляется на основе решения краевой задачи теплопроводности при заданных потоках излучения (задача (8)) и расчете излучения (задача (9)) по полученному полю температур. В некоторых ситуациях полезно строить итерационные процессы, основанные на решении нелинейной краевой задачи при х Е ы 1з 7ь, подобные тем, что рассматривались в п.
8.1. С учетом (7) перепишем (6) в виде ЛУ + Рь(х)Рз(х, У) + Ро(х)Лл = Р~ (х), х Е ю О 7и (10) Здесь слагаемое Рь(х)Ял учитывает переизлучение. Для приближенного решения задачи (7), (10) можно использовать итерационный процесс, аналогичный (8), (9), когда вместо (8) решается уравнение + Ро(х)Рз(х, У ) + Рь(х)згл = Р1(х), х Е йУ О 7ь. (11) Нелинейная задача (!1) рассматривалась в п. 8.1 и соответствует тому, что с предыдущей итерации берется только переизлучение. Собственное тепловое излучение (слагаемое Рь(х)Рз(х, у)) выносится на верхний итерационный слой.
Обсуждаемые итерационные процессы (8), (9) и (9), (11) (а также и другие, не приведенные здесь) могут комбинироваться с внутренними итерационными процессами. Так, например, для приближенного решения уравнения (1!) может использоваться метод Ньютона. Мы, конечно, не будем даже пьпаться как-то охватить это многообразие таких двухступенчатых итерационных процессов для нашей задачи (6), (7). дв д / дв 1 с(х) — — ~ ~— 1 й(х) — ) =у(х,1), 01, дх. (, д*.,7' х б й1 0 <! < Т, (12) ' ~) с начальным н граничными условиями (13) ) (14) ) в(х, О) = вь(х), х Е й, в(х, 1) = у(х, 1), х Е Г, 0<1<Т, 8.4.4. Нествциоивриая задача Кратко обсудим вопросы приближенного решения нестационарных ' согласованных задач теплопереноса теплопроводностью и излучением.
' С атой целью сформулируем модельную нестационарную задачу. В области й рассматривается уравнение 410 Пагва 8. Тенлообмен излучением ди й — +о~(х)(и — у(х,1))+9(х,1) =О, х Е у, 0 <1 <Т. (15) Нестационарный поток теплового излучения определяется из интегрального уравнения Ч(х,1) — к(х) у С(х 6) Я,1) К = о,(х)ил(х 1) 7 хЕ7, 0<1<Т. (16) В этом уравнении время выступает в качестве параметра. 8.4.6. Ревностные схемы В качестве примера приведем некоторые разностные схемы для приближенного решения согласованной нестационарной задачи (12) — (16). При этом мы можем ориентироваться на результаты и. 8.2, где рассмотрена задача учета только собственного излучения.
Использование чисто неявной разностной схемы приводит нас к следующей разностной задаче: о(х) +ЛУ»~,+Ро(х)л»ы=Р~(х), хЕыы7ь, (17) т (Е-В)л»+! Рз(х~У»»-1)=0, хЕУю я=0,1,.... (18) При реализации разностной схемы (17), (18) используются итерационные методы типа (8), (9) и (9), (10). Можно использовать и различные линеаризованные разностные схемы для приближенного решения задачи (12)-(16). Имеет смысл привести разностные схемы, примыкающие к рассмотренным в п. 8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
