Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 80
Текст из файла (страница 80)
4.б) случай самосопряженного оператора С соответствует 7з = 0 в (27). Представим оператор перехода а явной схемы (24) в виде Я = ВŠ— тСа+ (1 — В)Š— тСь Неравенство треугольника дает при 0 < В < 1 для нормы оператора Я оценку !щ < в ~~е- -"с.!)+ !!(1 — в)е-.с,!!. (28) Тогда в качестве Р можно взять оператор В и в этом случае С=В '~АВ (2б) Будем считать, что априорная информация для несамосопряженного оператора 436 Вава 9. Конвективный тенлообмвн Необходимо указать значения параметров В и т, при которых эта норма минимальна.
Первое слагаемое в правой части (28) представляет собой оператор перехода для явной схемы с самосопряженным оператором Со, когда в качестве итерационного параметра выступает тгВ. В силу теоремы 1 из п. 4.б при выполнении первого операторного неравенства (27) оптимальным является т 2 — =то> то= —, (29) В 7+7з и в этом случае Для второго слагаемого в (28) с учетом (сз е, е) = О, (29) и оценки (27) имеем !1((1 — В)Š— тСз)е!! = (1 — В)зЦеЦз — 2т(1 — В)(Сзе, е) + +т ЦСзеЦ ( ((1 — В) +то7,В )ЦеЦ . Подстановка в (28) с учетом оценки (30) дает ЦВЦ ( >Р(В)> >Р(В) РоВ+ ((1 — В) + го7зВ ) Функция 9>(В) достигает минимума (задача 1) при 1 к 7з кж 1 + кРо (7з7з + 7з) и в этом случае (35) 1-б — 1-к Ъ ЦУЦ(Р., Р.== (32) 1+4' 1+к 7з Тем самым, влияние несамосопряженной части оператора С оценивается отношением (1 — к)/(! + к).
Возвращаясь от (24) к исходной задаче (23), (25), получим оценку погрешности ЦзоЦв ( РоЦзо!!в (33) Переформулируем оценки (27) в виде операторных неравенств для итерационного процесса (23), (25). Подставляя (2б) в первое неравенство (27) и учитывая (25), придем к двухстороннему неравенству 7зВ ( А ( 7зВ, 7з > О. (34) Второе неравенство (27) эквивалентно (Сзе, Сзе) (7з(е,е).
Принимая во внимание (26) и полагая В з>зе = у, получим (В 'АзУ,АзУ) ( узз(ВУ,У). Тем самым, можно сформулировать следующее утверждение. 9.2. Итерационные методы решения задач теплопроводности 437 Теорема 1. л(лн метода простой итерации (23), (25) при оптимальном значении итерационного параметра (29), (3!) справедлива оценка (32), (33), где 7, а = 1, 2, 3 — постоянные в неравенствах (34), (35).
Этот результат можно рассматривать как непосредственное обобщение теоремы о скорости сходимости метода простой итерации в самосопряженном случае (см. п.4.б). (Авь, вн) (В 'Авн, Авь) (37) Для скорости сходимости метода минимальных поправок (22), (37) справедлива оценка (ЗЗ) при выполнении неравенств (34), (35). При вычислении итерационных параметров по формуле (37) априорная информация об операторах в виде неравенств (34), (35) не используется. Необходимо заметить, что реализация метода минимальных поправок (22), (37) связана с двукратным обращением оператора В (для нахождения поправки вь н для определения сеточной функции В 'Аеь, которая необходима для определения итерационного параметра по формуле (37)). В настоящее время большое внимание уделяется различным обобщениям трехслойных вариационных итерационныхметодов для решения задач с несамосопряженными операторами.
В своем изложении мы ориентируемся на построение простейших итерационных методов дпя решения несамосопряженных сеточных эллиптических задач. Поэтому мы ограничимся методом простой итерации и методом минимальных поправок. 9.2.4. Метод минимальных поправок Среди двухслойных итерационных методов вариационного типа (см. п.4.6) можно выделить метод минимальных поправок, который минимизирует норму погрешности в Нп, В = А'В 'А при В = В' > О, причем (и это для нас наиболее важно) от оператора А требуется только положительная определенность, т.
е. оператор А может быть несамосопряжен. Обозначим невязку гв — — Ау, — 7 и поправку вд = В 'гь. Для поправки из (22) нетрудно при выполнении (25) получить уравнение В + +Авь=О, й=0,1... (Зб) та~1 В методе минимальных поправок минимизируется норма поправки вь+~ в Нв. Из (Зб) имеем ))вь~1~)в — — (В(Š— та+~В 'А)вы(Š— т~~1В 'А)вь) = = !)вь!(л~ — 2тз~.~(Авь, вн) + т~~~~(В 1Аеы Авь).
Отсюда и следует, что при А > 0 норма на новой итерации будет минимальной при выборе 438 1)юава 9. Конвектиеный теплообмен (38) (39) 7~В » (Л ~ ~72В, 71 > О, (В У(Ь)у, У(Ь)у) < уз(Ву, у). Отметим некоторые возможности по выбору оператора В. В простейшем случае явного итерационного метола (В = Е) для постоянных 7„а = 1, 2, 3 в неравенстве (39) из (! 9) имеем 7~ =о 7з=~Ь (40) Получим теперь оценку сверху для нормы оператора конвективного переноса. Для конкретизации результатов рассмотрим его в виде (10), который соответствует использованию центральных разностных производных. Аналогично рассматривается и случай аппроксимаций направленнымн разностями, когда У(Ь) определяется согласно (!2).
Запишем одномерный аналог оператора конвективного переноса (10) в виде Ус(Ь)у = - «Ь(к)у)е + Ь(в)уг) = ! 1 = — ~(Ь(к + Ь) + Ь(х)) у(х + Ь) — (Ь(х — Ь) + Ь(х)) у(х — Ь)) . Непосредственные выкладки дают '!!Уе(Ь)у!! = ~~> — ((Ь(х+ Ь) + Ь(к))у(х+ Ь)— иги 1 — (Ь(х — Ь) + Ь(х)) у(х — Ь)) < — шах Ь (кНу, у). ееи В силу этого неравенство (39) при В = Е будет иметь место с 2 7з = ~~~,шах)Ь,(х)! —. ееи Ьи «=1 (4! ) Подстановка (40), (41) в (31), (32) дает к = О(1), и, тем самым, зависимость скорости сходимости от шагов сетки явного итерационною метода простой итерации остается такой же, как и в самосопряженном случае.
9.2.б, Выбор оператора В Рассмотрим сеточную задачу (б), которая возникает при аппроксимации первой краевой задачи для уравнения теплопроводности с конвекцией. Запишем ее в виде (15), (!6), причем при использовании аппроксимаций конвектнвного переноса, удовлетворяюшего условию (11), получим представление (17), (18). При итерационном решении задачи (15), (16) методом простой итерации (23), (25) скорость сходимости определяется параметрами 7и, а = 1, 2, 3 в неравенствах (см. (34), (35)): 9.2.
Итерационные методы решения задач теняонроеодности 439 7! =1 уз=1. (42) Для получения оценки (39) при В = Л воспользуемся неравенством (Л '~(Ь)у, У(Ь)у) < д-'(У(Ь)у,1(Ь)у), (43) которое следует из (19). Для оценки нормы оператора снова рассмотрим одномерный пример. Имеем 1 гя(6)у= — ((Ь(х+Ь)+Ь(х))у(х+Ь) — (6(х-Ь)+Ь(х))у(х — А)) = ! = — ((6(х+ Ь)+ Ь(х)) (у(х+ Ь) — у(х)) + 46 + (Ь(х — Ь) + 6(х)) (у(х) — у(х — Ь)) + (Ь(х+ Ь) — Ь(х — Ь)) у(х)) . Принимая во внимание неравенство т з т (к ) -к' я=! я=! при гп = 3, приходим к оценке Я ея(Ь) уф < — в!ах 6 (х)((у„у,) + (ут ух)) + — гпах Ье(х)(у, у). С учетом неравенства (у, у ) + (у-, у-) < -2(у-, у) и сеточного аналога неравенства Фриврихса (см.
п. 4.б) (у, у) < С— М(у;„у) (44) из (44) получим Ц ~ге(6)уЦ < — ~2 и!ах Ь (х) + М игах (Ь;(х)) ) ( — уя„у), где постоянная М зависит только от размера области. На основании полученной оценки лля исходного оператора конвективного переноса (10) получим искомую оценку 2 $!г(ь)и!3!'~-(г ! ь'.!,!!~и'~ *!!ь.(*!1,!')(лр,р!. а=! Как и следовало ожидать, она замедляется при возрастании скорости движения среды. Естественным является использование итерационного метода простой итерации (23), (25) при В = Л, т.е. на верхний итерационный слой выносится оператор теплопроводности, а конвективные слагаемые берутся с предыдушей итерации.
При таком выборе в операторном неравенстве (34) имеем 440 1)сава 9. Конеектнвный тенлооомен С учетом (43) полученное неравенство дает г 1 СЬЛ ~н~ .*1О.( цг 1'). НС 4 ~, а нен нсн На основании (42), (43) можно сделать заключения о скорости сход и мости метода простой итерации (23) при выборе В = Л для приближенного решения задачи (15) — (18), Прежде всего, скорость сходимости не зависит от параметров расчет- ной сетки.
Естественно, что в таких задачах скорость сходимости зависит от величины конвективных слагаемых. Однако в рассматриваемом случае, вообше говоря, есть зависимость и от градиента конвективных слагаемых (см. (45)). Реализация метода простой итерации с В = Л может быть основана на использовании прямых методов (см. п.4.5), или итерационных методов решения самосопряженных эллиптических задач (см.
и.4.7), В последнем случае речь идет о применении двухступенчатых итерационных методов. 9.2.8. Метод переменных направлений В качестве еще одного (помимо рассмотренного выше явного метода) примера построения итерационного метода к несамосопряженной сеточной задаче рассмотрим метод переменных направлений. Метод переменных направлений в самосопряженном случае рассматривался ранее в п.4.6.
Будем рассматривать уравнение (15), когда оператор А представим в виде суммы двух операторов, каждый из которых теперь несамосопряжен: А = А1+Аь (46) Для задачи (5), (6), (1О) разложению (46) соответствует выбор А,=Ъ;(Ь,)+Л, а=1,2, (47) где У(Ь) = ~1.(Ь.), «=1 (48) 1 У.(Ь.)У = 2 ((Ь (х)У)с. + Ь (х)У;„). Будем рассматривать метод переменных направлений для приближенного решения задачи (15), (46) с постоянным итерационным параметром ы, когда (см.
п.4.6) Ус ыд — Ус +АУс+цз+ АсУс = У ы (49) Усн — Ус+на + А~Уьснс+ Асус+~ = У Оценку скорости сходнмости итерационного метода (49) при несамосопряженных операторах А, а = 1, 2 пронедем в условиях, когда априорная информация задана в следующем виде: Аа~>баЕ, 6~>0, (50) ЦА уЦ «5 (А у, у), а = 1, 2. Как и в самосопряженном случае (см. п.4.6) обозначим через з» погрешность и пусть о» = (.Е+ ыАг)л». Тогда имеет место равенство о»»< = Юо» л = о<ог.
(51) где Я< =(Е+ыА<) '(Š— »<А<), Из (51) получим оценку Цо»е<Ц С !!о<Ц При ныполнении условий (50) (задача 2) величиной Яг = (Е+ ь<Аг) (Š— ь<Аг). ЦФ»Ц Цо»Ц. норма оператора Я оценинается ЦМ' <— 1+я ' ' 1+и<гб»ь, и достигает минимума при ь< = ы = (б„Ь,) '. При таком значении итерационного параметра </г щ!пЦЯ,Ц = —,,„б = —, а=!,2. В наиболее благоприятном случае 6< = бг —— б, д<< —— <5г = <» имеем щ!пЦЩ=р=,, (= —. и Сравнение с методом переменных направлений в самосопряженном слу- чае (п.4.6) показынает, что скорость сходимости для несамосопряженных задач в два раза ниже, Для анализа скорости сходимости метода переменных направлений в задаче теплопроводности с конвекцией (н задаче (15), (46) — (48)) необхо- димо получить оценки для постоянных б„, Ь, а = 1, 2 в (50).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
