Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 87
Текст из файла (страница 87)
п.6.2). Полагая дп = /3(ял»!)*', запишем (66), (67) с учетом (61) в виде (Л+О 5тА!Л)фп»ц2 — — (Л вЂ” О 5тА2)фл + 0 5тдл, (Л + 0,5тА2)фл+! — — (Л вЂ” 0,5тА! й) фп» ц, + 0,5тдп. Отсюда непосредственно имеем )((Л+0,5тА2Л)фл+!/2(~ ! = ))(Л 0 5тА2)фл))л ~ + 0,5тЯдпД~л-ч (68) $0(Л+0,5тА2)фл,! 'Ол ! = '8(й — 0,5тА2Л)фл»!/2'йл, + 0,5т~!!дп*!!л-! ° На основании определения оператора конвективного переноса соглас- но (35) имеем (см. (36)) Поэтому (см. доказательство леммы в п.6.2) )~(й — 0,5тА!Л)ф„+!Дл, — )~(й+ 0,5тА!Л)фл»!/2~), = ((Л вЂ” О 5т(А!Л)')й '(й - О 5тА!Л)фп+!/2, фл+!/2)— — ((Л+ 052(А2Л)')Л (Л+05тА2Л)фп»!/2,фл+!/2) = = -2т(А!Лфп+!/и фп+!/2) = 2 = — 2т(2/(тп+!/2)йфл»!/2, фп»!/2) — 2тн(Л фл+2/2~ Фп»2/2) ~ О.
Это дает возможность получить из (68) оценку !!(Л+ 05тА,)ф„,,!1,, < !!(Л вЂ” 0,5тА2)ф„~~ф,, + 0,5т!1д»8л- . Вместо (62), (63) можно строить и другие адаптивные ревностные схемы. Учитывая, что часто стационарные задачи решаются на основе установления решения нестационарной задачи, приведем более удобную для этих целей схему переменных направлений: 480 1)2ава 9. Конеектиеный телеообмел Принимая во внимание лемму из п.6.2, приходим к искомой оценке ~~(Л+ 0,5тА2)3ав+!)~а-~ ~( )~(Л+ 0,5тА2)2(2в))а-1 + 0,5т!)двЦ-~ (69) Подобным образом рассматриваются и другие схемы„примыкающие к схеме (66), (67).
В качестве примера рассмотрим схему стабилизируюгцей поправки (чисто неявную факторизованную схему), которая записывается в виде ЛР.„„- ЛР„ 2 + в (ел+2(2)Л2/2лв-2(2+ иЛ 2/2л+!/2+ т + и(2(х)Ф« = /3(в.+ );, (70) Мл+ ! Лв(!в+ (/2 + иР(Х)(2/2„+! — 2/!„) = О, т хбл2, п=0,1,.... (71) Первый этап реализации схемы (70), (71) соответствует использованию обычной неявной схемы, когда с предыдущего временного слоя берутся только граничные условия для вихря. В этом контексте второй этап (разностное уравнение (71)) можно рассматривать как вычисление функции тока с коррекцией на явное задание граничных условий для вихря. Поэтому такие схемы и названы схемами коррекции по граничному условию. На основании (6), (7) имеем Определим вектор бге 2Е2 =— бх! бге Я2! =- —, дХ2 и = (2еп вез)1 (72) тогда можем записать конвективный перенос вихря в виде 32(т)ве = 3/(н)2/!, (73) В.б.б.
Устойчивые лииеариаованные схемы Отметим, что оценка (69), а равно и ранее приведенные оценки, получены при выбранной аппроксимации конвективного слагаемого согласно (35) для нелинейных схем. При линеаризации конвективных слагаемых такая устойчивость уже не имеет места. Здесь мы отметим возможности построения устойчивых линеаризованных схем, близких к линеаризованным схемам для уравнения теплопроводности с конвекцией (см., например, (53)).
Естественно новый класс разностных схем связывать с выбором новых аппроксимаций конвективных слагаемых. 9.5. Перемеппые «функция тока, вихрь скорости, температура» 481 т. е. мы интерпретируем конвективный перенос вихря скорости как эффективный перенос функции тока. В соответствии с (72), (73) используем симметричную аппроксимацию типа (41), (42): Р(н) = ,'> Р (и2.), «=! (74) где с учетом (72) 1 1'~(иц)Ф = --(~а,ф:, + (йа,ф)е,) 1 У2(тз)ф = 2(",фа, + (тд~~,). При аппроксимации конвективного переноса в соответствии с (73), (74) имеем (Р(тг)ф,ф) = О, (75) более того, кососимметричными будут и оба отдельных оператора У,(в ), а=1,2. Не останавливаясь подробно на схемах с такой аппроксимацией, приведем лишь некоторые из них.
Схеме (50), (51) соответствует следующая чисто неявная разностная схема с Лф„~, — Лф„ + У(и .н72)фи+1 + т +и(Л'ф„.ь1+Р(х)ф„ь~) —,6(и„ь1);, = О, х Е ь2, и = О, 1,.... (76) Так же, как (76), абсолютно устойчивой является и линеаризованная разностная схема А1 = иЛ, А2 = У(н) + ир(х)Е, (78) причем А2 ) 0 при любых 2».
Безусловно устойчивыми будут не только нелинейные алдитивные схемы для (60), (78) с коррекцией, но и линеаризованные. Например, (70), (71) будет соответствовать лннеаризованная схема вида Лт'и+1/2 ЛФ» 2 + К(и„)ф„+ иЛ ф ьц2+ ир(х)ф„= )5(ик ы)ао (79) + Р(ге„)ф„.„~ + +и(Л Р ~~+р(х)гр+,) — /7(экы);, =О, х Е ь2, и = О,1,..., (77) Можно получить и соответствующие схемы с коррекцией по граничному условию для вихря. Учитывая вопросы вычислительной реализации, здесь необходимо использовать запись (60) с 482 Б~ааа 9. Конеектиеный теплообмен + (У(и„) + ир(х)) Я„~ ~ — 1Ь„) = О, хЕы, в=0,1,2,.... (80) Разностное уравнение (79) можно записать как уравнение для вихря + иЛзо„.н(2 + У(и„)1й„+ ир(х)ф„=,й(а .„~)д . (81) Схема (80), (8!) характеризуется расчетом вихра, когда конвективный перенос и граничные условия берутся с предыдущего временного слоя, а уравнение для функции тока имеет существенно нестандартный вид.
9,6.7. Задачи Задача 1.,цля одномерной задави (14) — (16) рассмотрите разностную схему впюрого порядка аппроксимации с использованием направленных разностей для граничных условий. Решевие. Уравнение (14) аппроксимируется на равномерной сетке следующим образом: рв,х, = у(х), Ь < х < 1 — Ь.
(82) Из (15) имеем р(х)=0, хбды, (83) а лля аппроксимации второго граничного условия используем направлен- ные разности второго порядка аппроксимации, например дв -в(х + 2Ь) + 4в(х + Ь) — Зв(х) Ь дх 2Ь 2 Аппроксимируя (16), получим Ь р,— -9.,=0, 2 ** х=О, (84) Ь ре — — рея — — О, 3 Нетрудно видеть, что (82) — (84) есть разностная задача с несимметричной матрицей (разностный оператор, определенный на множестве внутренних узлов ы, не является самосопряженным). Ранее рассмотренная аппроксимация (18) — (20) таким недостатком не обладает.
Следует заметить, что используемые в вычислительной гидродинамике граничные условия для вихря, отличные от условия Тома, также чаще всего приводят к несамосопряженным сеточным операторам, подобно аппроксимациям (82)-(84). ь 9.5. Переменные ефункиин тока, вихрь скорости, темлератураь 483 Задача 2. Онератор конвектиеного лереноса в двумерных задачах непкимаемой зкидкости 3з(ч)в = К(ф, в) с учетом граничных условий (8), (9) обладает следующими свойствамгл (1ь(ф,в),ф) =О, (Цф,в),ы) =О, (85) Анкроксимируйте )з(ч) так, чтобы были вынолнены разностные аналоги (85). Решение.
Мы можем аппроксимировать центральными разностями конвективные слагаемые следуюшими тремя возможными способами: К~(ф,в) = ф; вг — ф;,в;,, К (Ф ) = (Ф;,в):, — (Ф;,в)4, Кз(Ф, в) = -( .,Ф);, + (:, ф);,. Определим К(ф, в) = (1 — а — р)КДтз, в) + аКзЯ, в) + 73Кз(ф, в) (8б) и подберем параметры а и,б так, чтобы были выполнены соотношения (К(ф,в),ф) =О, (К(ф,в),в) =О. (87) Выбор Кз(зр, в) соответствует использованию (35), поэтому (Кз(ф,в) Ф) =О (88) Выбор (74) соответствует полусумме К1(ф, в) и Кз(ф, в), и в силу (75) имеем ((К| (ф, в) + Кз(ф, в)), ф) = О. (89) Подстановка (8б) в первое равенство (87) при учете (88), (89) дает первое соотношение на параметры 1 — а — !3 =,6. (90) Нетрудно убедиться, что имеет место равенство (Кз(Ф в) ьз) = 0 (9!) Выбору конвективных слагаемых согласно (4!), (42) соответствует полусумма К~(ф, в) и КзЯ, в) и поэтому (см.
(43)) ((К~(ф, в) + Кз(ф, в)), ы) = О. (92) Из (8б), (91), (92) следует, что второе равенство (87) будет иметь место при выполнении 1 — а — !з = а. (93) Из (90) и (93) следует, что дая выполнения (87) достаточно положить (Аракава, 19бб г.) 1 К(ф,в) = -(К~(ф,в)+Кз(ф,в)+ Кз(ф,в)) 484 Б~ава 9. аоннекгннвный гненлообмен 9.6. Задачи тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями 9.6.1. Задача Стефана е учетом двиагеиия расплава Рассмотрим вопросы моделирования фазовых переходов твердое тело — жидкость при учете конвективных движений жидкой фазы. Остановимся на двухфазной задаче Стефана в прямоугольнике й. Свободную границу (см.
п.7.2) будем обозначать Я = Я(г), в подобласти й+(г) находится расплав, а в й (г) — твердая фаза. Тепловое поле описывается уравнением теплопроводности с учетом конвективного движения в жидкой фазе. Используя обобщенную формулировку задачи Стефана, уравнение переноса тепла запишем в виде (е(и) + Лб(и)) ~ — + У(»)и) — ~~~ — ~Й(и) — ) = О, (,И ), д*.~ дх.) ' (1) хай, 0<1<Т. Напомним, что коэффициенты теплоемкости и теплопроводности имеют вид с', и > 0 (х Е Й+), с(и) = с, и<0 (хай ), 1 »+, и>0 (хбй+), 7г(и) = й, и<0 (хай ), т.е. фазовый переход происходит при и(х, г) = 0: Я(Г) = (х ) х б й, и(х, 1) = О, О < $ ( Т).
Для скорости естественно положить (твердая фаза неподвижна) »(х,е) =О, хе й (1), 0(1<Т. (2) Уравнение (1) дополним условиями и(х, О) = и (х), х Е Й, (3) и(х,г) =д(х,й), х Е Вй, 0 <1(Т. (4) Движение в жидкой фазе обусловлено свободной конвекцией, В ка- честве равновесной температуры возьмем температуру фазового перехода, тогда уравнения Навье — Стокса в приближении Буссинеска будут иметь (см.
п.9.4) вил д» дз» вЂ” + у(»)» + агаб р — о ~~~, — — )Уеи = О, д1 , дх~ (5) сй»» = О, х Е й+(1), 0 < Г < Т. (6) 9.6. Задачи тепло- и масеопереноеа е фазовыми превращениями 485 Будем считать, что граница области дй твердая и неподвижная, т. е. на ней скорость отсутствует. Скорость будет равна нулю и на границе расплав — твердое тело при условии, что при фазовом превращении плотность не меняется. Поэтому можно принять следующие граничные условия для скорости ч(х, 1) = О, х Е дй+(1), 0 < 1 ( Т. (7) Кроме того, зададим некоторое начальное распределение скорости ч(х,0) = ч (х), х Е Й+(0). (8) Таким образом, задача описания тепло- и массопереноса с фазовыми переходами сводится к решению уравнения теплопроводности (1) с условиями (3), (4) во всей области й и определению распределения скорости согласно (2), (5)-(8).
При исследовании двумерных задач, подобных сформулированной выше, чаше всего ориентируются на использование переменных «функция тока, вихрь скорости» лля описания конвективного переноса. В этом случае (см. п.9.5) вместо (5), (6) рассматриваются уравнения дю дг«п ди — +У(т)иг — и~> —, —,д — =О, хбй+(1), 0<1(Т. (9) дг , дх,' дх, С учетом (1), (2) получим уравнение для функции тока; г дгф — —., =го, хб й+(1), 0<1(Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
