Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 90
Текст из файла (страница 90)
9.7.3. Аналог переменных «функция тока, вихрь скорости» Здесь мы отметим возможности приближенного решения задачи о течении на начальном участке канала (1)-(9) при использовании переменных «функция тока, вихрь скорости». Положим как обычно к= —, и= — —, дй д«г (22) дхз дх| тогда уравнение неразрывности (3) будет выполнено тождественно. Диф- ференцируя (10) по переменной хз с учетом (3) и (22), придем к системе уравнений д«а дга дб д~«е + 2' дх, дх, дх, дх", (23) (24) =и, хЕП. дх2 «б(х) = О, 11(х) = Я, хз = О, хз =1, (25) — (х) = О, ду1 дхз и*) = — 'е, (26) хз — — 0,1, (27) х| =О.
Задача в новых переменных (23)-(27), (6), (9) более удобна для численного решения„чем (1)-(9). Это связано, как и при рассмотрении полных»пленений Навье — Стокса. с тем. что уравнение неразрывности Эту систему уравнений можно рассматривать как приближение пограничного 'слоя для уравнений Навье — Стокса в переменных «функция тока, вихрь скорости». В данном случае величина «» лишь приближенно равна вихрю скорости, поэтому мы говорим лишь об аналоге переменных «функция тока, вихрь скорости».
Уравнения (23), (24) дополняются условиями (6), (9) и 498 ТЪава 9. Коиоективный теллообмен выполняется автоматически, меньше неизвестных. В новых переменных нет проблем с реализацией интегрального условия (12). Неудобства порождены отсутствием явных граничных условий для функции га. Приведем простейшую разностную схему для системы уравнений (23), (24). Положим с учетом (22) гР» — гР.н а„= (фа )„, е„=— 3 Ь~ и поставим в соответствие уравнению (23) разностное уравнение (30) (3!) 9.7.4. Переменные Мизеса Среди других подходов к решению задачи (1) — (9) (а равно и некоторых других задач теории пограничного слоя) отметим возможность использования в качестве независимых величин х~ и й — переменные Мизеса.
Пусть У(хп хз) = У(хп гр), тогда с учетом (22) имеем дУ дУ дУ дФ дУ дУ дУ дУ дгР дУ вЂ” = — + — — = — — й— — = — — = й —. д, =да, дРд*,=да, дР' дя,=дед*,= дд' В силу этого уравнение движения (10) примет вид дй д / дй~ й — = у(я~) + 13В + вй — ~в — ), дх~ дР(. дРУ' Замечательной особенностью уравнения (32) является то, что оно не содержит поперечной компоненты скорости. го»».1 м» и» + о»(га;,)»+1 — — —,О(д;,)»~1+ и(ва„,)»+ь (28) ! Аналогично для (24) имеем (гР»т»1)»+! — га»+1 ° (29) Из (25) следуют граничные условия для функции тока: гР»+1 (вз) = О, хз = О, гР»+1(вг) = ф хз = 1.
Граничные условия (26) аппроксимируются в соответствии с п. 9.5. Про- стейший вариант связан с использованием явных условий Тома: 2 га»».1(*з) = — — згр»(из+ лз) хз = О, ~2 2 м„+~(хз) = — з(1» — гр„(хг — лз)), яз =1. ~2 Разностная задача (28) — (31) на каждом новом слое по маршевой пере- менной я1 решается стандартным образом. 9.7. Прийлигкение пограничного слоя 499 Аналогично выписывается и уравнение для температуры: (33) Нетрудно сформулировать и соответствующие граничные условия для системы уравнений (32), (34).
Следует заметить, что при использовании переменных Мизеса проблема определения д!(х) в уравнении (32) остается. Здесь снова необходимо привлекать интегральное условие (12), которое (и это усложняет задачу) необходимо записать в новых условиях. После нахождения решения й(х„!й) и д(х!, гй) из соответствующих краевых задач необходимо найти и функцию хз(х!, !й). При постоянных х! это можно сделать, опираясь на равенство и= —, дхз простым интегрированием: Ф 1 хз = хз(х!,чр) = ав. ,I и(х!, в) ! (34) 9.7.б. Задачи Задача 1. Постройте вариант прогонки длл решения трехдиагональной системы линейных уравнений Соуо геоУ! = са -Л!Уг,+С!У;-В!дон!+~г Огуу=к;, 1=1 - 4 лУ~в-!+С~аде = Рт. 1 = 1, 2,..., и! — 1, (35) При построении квадратурных формул для (34) необходимо иметь в виду асимптотику продольной скорости вблизи стенок.
Например, при хз — 0 имеем с учетом (25), (26) !У(х) = 0(х~з). Для построения более удобных дая численного интегрирования формул чем (34) в качестве независимых переменных используются х! и у!'!~(х) (см. задачу 2). В настоящее время получили развитие и многие другие подходы к приближенному интегрированию уравнений тепло- и массопереноса в приближении пограничного слоя. Мы фактически отметили только отдельные возможные направления в таких исследованиях: использование естественных переменных, новые зависимые переменные (функция тока, вихрь скорости) и новые независимые переменные (переменные Мизеса).
Вгава 9. Конеектиеный теплообмен Решение. Будем искать решение системы уравнений (35) в виде у; =е; — 1ион 1=0,1,...,пз, (36) где р = ~',тру. (37) 1=! Подстановка (36) в (35) позволяет вьщелить следующую задачу для ш;: Ссгпо — Веш1 = О, -А;ш; 1+ С;ш; — Вгшгзн + 1 = О, -А„,ш ~ + Сыгит = О. 1 = 1, 2,..., пз — 1, Для решения этой задачи используется обычная прогонка. Для о; соответствующая задача имеет вид Сове — Все~ = ео -Ар, ~ +С;о; — В;огы —— Р;, -4 ~о ~+С о =Р. 1= 1,2,...,гп — 1, Для этой задачи снова применяется обычный алгоритм прогонки. Причем в обоих вспомогательных задачах имеется общий прогоночный множитель. После того, как е; и ти; найдены, для определения параметра д из (36), (37) получим искомую формулу ы Е 221оу гш р= 1+~ Юушу 1=1 ! Задача 2.
Заяишите уравнения пограничного слоя (3), (10) е новых переменных (енФ' (е)). решение. Имеем у(янез) = гг(е! Ф ) д~ д~ 1 д~, дх~ 2~Ф~' дФ~' ОУ з гы~ л гоп для параметра в представлении (36) решения задачи (35). На основании этого можно сформулировать достаточные условия устойчивости прогонки. Помимо обычных условий (см. п. 4.5) необходимо потребовать 27~ < О, 1= 0,1,...,пз. ь 501 9.8. Библиография и комиеня!арий Для уравнения (1О) в новых переменных получим дй д !г 1 дй '1 й — = 9(х!) + !99+ ий — — [ ив дх, 2ф!/2 дф!/2 [ 2ф!/2 дф!/2) ' Снова приходим к одному уравнению для продольной скорости.
Так же как и в переменных (х!, ф), необходимо отдельно рассматривать вопросы определения функции 9(х!). Для определения хз(х!, гр ~ ) при постоянных х! используется соот- ношение д >,!д 2Ф!/2 Ф вЂ” й, дхг интегрирование которого дает !и! хз — — хз(х!,Ф) =2 ! бя.
й(хн ) ' о (38) В отличие от (34), подынтегральная функция в (38) уже не имеет особенностей. Поэтому лри вычислении (38) можно использовать обычные квадратурные формулы. ь 9.8. Библиография и комментарий 9.8.1. Общие замечания 9.1. Монотонные схемы для уравнения теплолроводности с недивергентным конвективным слагаемым рассматриваются во многих работах. Данная проблематика затрагивается в общих руководствах по методам решения задач математической физики, см., например, [б, 12].
Наиболее широко вопросы построения монотонных схем обсуждаются в работах по вычислительной гидродинамике и тепломассообмену [2,3, 8 — 10]. В данной работе монотонные схемы строятся на основе общего принципа регуляризации разностных схем. Для задач с дивергентными конвехтивными слагаемыми принцип максимума для трекдиагональной системы уравнений сформулирован Н. В. Кареткиной (1980 г.). 9.2. Итерационные методы решения задач с несамосолряженными операторами рассматриваются в общих руководствах [15, 18]. Для задач теплопроводности с конвекцией, которые характеризуются подчиненностью кососимметричной части, итерационные методы строятся на основе простейшего итерационного метода простой итерации. Здесь изложение ведется в соответствии с [11, 15].
Метод переменных направлений для несамосолряженных задач рассматривается в соответствии с книгой [11]. 502 йчава 9. Конаекн!ианый гленлообмен 9.3. Теория разностных методов решения нестационарных задач с несамосопряженными операторами затрагивается в книгах [11, 12], где рассматриваются, например, схемы с весами. Наиболее полные результаты, которых здесь конкретизируются лля рассматриваемых задач конвективного теплолереноса, имеются в книге [14]. 9.4.
Численные методы решения задач конвективного переноса излагаются в книгах [1, 8-10, 17]. Общее исследование разностных схем для уравнений Навье — Стокса в естественных переменных проведено в работе [5]. Книга [16] посвящена тем же вопросам при использовании схем конечных элементов. 9.5. Моделирование задач свободной конвекции в переменных «функция тока„вихрь скорости, температура» наиболее широко представлено в вычислительной практике. Отметим в этой связи книги [2,7]. Схемы коррекции по граничному условию предложены П.
Н. Вабищевичем (1983 г.). 9.6. Обзору литературы по методам решения задач тепло- и массопереноса с фазовыми переходами посвящена работа [13]. Методы сквозного счета для задач гидродйнамики строятся на основе метода фиктивных областей в соответствии с [4]. 9.7, Методы решения задач пограничного слоя [20] хорошо представлены в литературе по тепло- и массопереносу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
