Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 93
Текст из файла (страница 93)
(17) Принимая во внимание (10), получим Л ( (Л + 2р)А ( (Л+ 2р)ЬоЕ~ (18) где теперь 4 4 Ь = — +— йз ! 2 Первое из неравенств (17) будет выполнено при (19) а! — !тз > О, а второе с учетом (16), (18) — при 1 2р тз !т! +аз > —— (20) 2 Л+2р Ло Из (19), (20) следует абсолютная устойчивость разностной схемы (14) при следующих ограничениях на веса: 1 а! — ог! > О, о ! + <г! > —. 2 Мы не привцдим соответствующие оценки устойчивости ввиду их громоздкости. Для симметричной схемы разностный аналог оценки (13) дается в задаче 2. 10.2.3.
Рааностные схемы е весами Для нестационарной задачи (5) — (9) сложно использовать обычные трехслойные схемы с весами. С учетом того, что температура может рассчитываться независимо, мы будем ориентироваться на исследование устойчивости разностной схемы для уравнений упругости. Рассматривая температуру как известную величину, запишем для перемещений следующую схему: тпн — 2тп+тп-! р + А(а! чп ! +(1- !г! — оз)тп+ азтп !) = Гп+ Онп, тз (14) хбы, п=1,2,.... 516 П~ава 10.
Задачи термоулругисти Реализация неявных схем (14) связана с решением следующей сеточной задачи Р и~Луп~.1+ — тупы = геп, а Е ы. (21) Задача (21) соответствует решению связанной системы эллиптических уравнений ворога порядка. Это не совсем удобно, поэтому будем строить класс регулярнзованных разностных схем для уравнения (8), которые более удобны для вычислительной практики. 10.2А. Регулярнаоваяяые схемы В соответствии с принципом регуляризации разностных схем используем в качестве исходной простейшую явную разностную схему тпч1- 2чп + чп-1 Р т +Лчп=рп — Овп, хЕы, п=1,2,.... (22) Схема (22) имеет канонический внд (15) при В=О, Е=рт 'Е, А=Л. В соответствии с условиями устойчивости (17) регуляризованную схему построим на основе возмущения оператора Е, т.
е. рассмотрим схему В=О, Е=рт Е+аЯ, А=Л (23) с регуляризатором Я„ Положим К = А и выпишем условие устойчивости 1 рт зЕ+ аА — -Л ) О. 4 Принимая во внимание (10), это неравенство будет выполнено при всех т ) О, если а ) —. Л+ 2р (24) При реализации безусловно устойчивой регуляризованной разностной схемы (15), (23), (24) необходимо теперь обращать оператор рт ~Е+ аА, т. е. решаются отдельные не связанные друг с другом сеточные эллиптические задачи для различных компонент смещения.
10.2.5. Экономичные схемы Принцип регуляризации может быть положен в основу построения экономичных разностных схем для решения задач упругости, подобно тому как это имеет место (см. главу 6) для задач теплопроводности. Построим регуляризованную факторизованную разностную схему для уравнения (8) на основе явной схемы (22). Определим одномерные сеточные операторы Аав = — и-„,„, я Е ы, 13 = 1, 2 10,2. Динамическая задача термоулругости 517 на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на ди!, и поэтому А = А!+ А!.
Рассмотрим регуляризованную разностную схему в виде =" 'и("."- .) р= р В=О, (25) А=Л, В данном случае -з зт Е=рт Е+аА+а — А!Аз, р 10.2.6. Задачи ! Задача 1. Аляроксимируйте начальные условия (5), (б) со вторым норядкам яо времени Решение. Аппроксимация (5), (6) должна давать приближенное решение на временных слоя п = О, 1. Из (5) непосредственно положим че(х) =и (х), х бы. Для следующего временного слоя имеем дч т дч + — + — — + О(т ).
д1 2 д1з На решения уравнения (8) это дает т ч! = и~ + ти' — — (Ли + !за — Р(х, О)). 2р Для нахождения решения на других временных слоях используется та или иная трехслойная схема, ь Задача 2. Для симметричной разностной схемы чч+! — 2чч + чи-! р + -Л(т„ч! + 2ч„ + ч„ !) = О, тз 4 (26) хны, и=1,2,... яолучите разностный аналог оценки (13).
и поэтому в силу перестановочности и положительности операторов Ар, ,д = 1,2 условие устойчивости (17) будет выполнено при ограничениях (24) на параметр регуляризации а. Факторизованная схема (15), (24), (25) так же как и схема (15), (23), (24) построена на основе оператора Лапласа. Вторая возможность связана с выбором в качестве регуляризатора диагональной части оператора Л и здесь не рассматривается. 518 Езава 1О. Задачи аермоулругости Решение. Для получения априорной оценки введем (см. также п. 5.7) новые сеточные Функции 1 уи = -(ти + ти 1), 2 1 ии — (ти тп-|). т (27) Тогда схема (26) примет вид Жн-1 ип р + -Л(уи„+уи) = О.
т 2 Домножим зто уравнения скалярно на 2 иип1+ ип = (Уп» Уп)~ т что дает /и„~, — ии 1 Р~ 1ии+~ + ни) + (Л(уп+~ + Уп)|упн Уи) = О (28) т ) т Из (28) следует равенство Р!!Ипп-1!! + !!Рпп.1!!л Р!!Иим!! + !!Упп1!!л~ (29) где !!У!!л = (ЛУ, У). Приведенное равенство есть искомая оценка, выражающая соответствующий закон сохранения. ь 10.3. Термоупругие напряжения в пластинах 10.3.1. Равновесие неравномерно нагретой пластины Рассмотрим задачу расчета термоупругих напряжений лля тонкой пластины с прямоугольным сечением П. Будем считать пластину плоской, а ее толщину — постоянной и равной Л. Пусть м(х), х = (хихз)— прогиб пластины, д(х) — нагрузка, Р— цилиндрическая жесткость, тогда равновесие описывается (см.
п. 2.6) уравнением РРлРлии = д — 7ЛМт, х б П, о и — =О, ахз Ь Л хай, — — <хз< —. 2 2 (2) где Ь вЂ” двумерный оператор Лапласа, а Мг — изгибающий момент, обусловленный температурными воздействиями. Пластина неравномерно нагрета, причем для описания стационарного трехмерного температурного поля используется приближение, основанное (см. задачу 2 в п.
2.6) на пренебрежении тепловыми потоками в продольном направлении,т.е. уравнение 519 10.3. 7ермауяругне нанряхсення в пластинах Это уравнение дополняется соответствующими граничными условиями, например, простейшими условиями первого рода: и(х, -0,56) = а (х), и(х, 0,5Ь) = у+(х). (3) Задача (2), (3) в каждой точке сечения пластины х Е й интегрируется (если зто необходимо) и определяется температурное поле всей пластины. Для Мт в уравнении (1) имеем ь/2 Мт = 2Ф7о и(х, хз)хз "хз -Ь/2 (4) где, напомним, р — коэффициентЛаме, а уо — коэффициент линейного расширения. В простейшем случае (2), (3) формула (4) дает 1зз Мт = 7з7о 10 (х) у (х)).
6 (5) Таким образом, в нашей простейшей задаче (1)-(3) величина Мт легко вычисляется. Как и в других задачах термоупругости, мы рассматриваем отдельно задачу расчета температурного поля, а затем уже соответствующие напряжения. Поэтому наш основной интерес связан именно с той частью общей задачи, которая связана с расчетом упругого состояния твердого тела. Уравнение равновесия (бигармоническое уравнение) как эллиптическое уравнение четвертого порядка требует формулирования двух граничных условий. Будем считать, что пластина закреплена на границе, т.
е. она не может в точках границы прогибаться: (6) из(х) = О, х Е дй. Через у обозначим часть границы расчетной области: 7 = (х1х Е дй, хз — — 1з) д~за — =О, хЕГ, (7) дпз диз — =О, х67. (8) дп Тем самым, приходим к краевой задаче для уравнения (1) (лравая часть (1) считается заданной) со смешанными граничными условиями (6)-(8). и пусть Г = дй ~ 7. Будем считать, что на Г имеет место шарнирное закрепление, а на 7 — жесткое зашелление.
Это соответствует тому, что на Г выполнены условия 520 афгана 1О. Задачи термоупруггсоги 10.3.2. Разноетная задача Уравнение (1) запишем в виде ЛЛы = У(х), (9) хай, где 1 У(х) = — (9 — дгМт). В Используем для приближенного решения задачи (1), (б)-(8) равномерную разностную сетку с шагами Ьг и Ьз. Проблема аппроксимации граничных задач для бигармонического уравнения затрагивалась нами в п. 9.5.
Поэтому мы не будем останавливаться на этом подробно. Определим сеточный оператор Лапласа на множестве сеточных функций Н, обращающихся в нуль на диг, обычным образом: Лу=~ ,'Л.у, Л у= — у;,, а=!,2. (10) а=г Л у+ р(хз)у = у(х)г х Е иг. (!1) Сеточная функция р(хз) обусловлена граничным условиями (6), (8) на у и определяется следующим образом: р(хз) = 2 О, Ьг~хз<1з — Ьн (12) х2 12 Ь2 Ь4 г 2 Разностная задача (!1), (12) при явном задании граничных условий соответствует следующему расщеплению на две задачи. Первая из них имеет вид — еч, = у(х), а=г (х) = Ф(у( )), (13) х бог, (!4) х Е дог, где О, Ф(у(х)) = 2 — зу(хн х2 — Ь2)г Х Е Г Гз дигг х Е 7 О диг.
Для разностного бигармонического оператора Л~ на расширенной сетке имеем гз Л у = уагчгагчг + 2уегчгагчг + уегчгнчг х Е иг' Уравнению (9) поставим в соответствие разностное уравнение 521 10.3. Термаупругие напряжения а плаегпинах Вторая задача формулируется более просто: из (17) получим РИ < Р 'У1!. (18) Оценка (18) может быть положена в основу соответствующей оценки для погрешности разностного решения. 10.3,3. Прямой метод решения сеточной задачи Разностное уравнение (11) можно решить быстрыми прямыми методами, так как переменные разделяются.
Поясним это на примере использования быстрого преобразования Фурье (см. п.4.5) по переменной х!. Запишем (11) с учетом (10) в виде Л,у+ 2ЛгЛгу+ Лз~у+ р(хг)у = г(х), х б и!. (19) Определим 4, г Ьгв! Л» — — — яп —, Ь2 21! / 2 1 '~~, Ьгх! еь(х!) = ~-) згп — > Ь) 1,' й = 1, 2, ..., Лг! — 1. собственные значения и собственные функции задачи Л, +1е=О, Л <х! <1! — Лн е(0) = О, е(1!) = О.
Решение уравнения (19) ищется в виде разложения: л) — ! у(х) = ~» еь(хз)еь(х!), х Е и!. (20) г уе„е. = е(х), х Е иг, (15) и=! у(х) = О, х Е О!и. (16) Задачи (13), (14) и (15), (16) зацеплены граничным условием (14) и поэтому не могут решаться независимо. Для задачи (11) нетрудно получить простейшую априорную оценку. Для этого домножим (1!) скалярно в Ы на у, что дает ПЛуИ'+ (ру у) = (У у) (17) Принимая во внимание (см. (12)) неотрицательность р(хз) и оценивая правую часть следующим образом (У,у) < ОЛ-!У~! ОЛу11, 522 Егава 10. Задачи л!ерзгоулругася!и Подстановка (20) в уравнение (19) приводит к системе уравнений Агась — 2ЛьЛзсь + Льсь + р(х!)сь — — Д(х!), (21) 7гз 'ч хз 'ч 1! 7гм й 1> 2~ ..
где уь(х!) — коэффициенты Фурье правой части: л~-! Уь(х!) = ~~', У(х)еь(х!)Ь!. (22) ь=! Матрица разностной задачи (21) при каждом я = 1, 2,...,1т! — 1 является пятидиагональиой. Для ее решения используется метод прогонки (задача 1). При Ф! = 2' для вычисления коэффициентов уь(хз) по формуле (22) и нахождения решения по формуле (20) можно использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье. Тем самым, двумерная задача (11) может быть решена с затратой Г„! = 0(Ю!Фз 1ой йГ!) арифметических действий. 10.3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
