Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Колебания лласаин Уравнения (1) — (3) с условиями (4)-(10) описывают временную эволюцию термоупругих напряжениИ в нагретой пластине прямоугольного сечения. 30.4.2. Дифференциально-разноетнаи задача Основываясь на результатах п. 10. 3, проведем дискретизацию по пространству в задаче (1) — (10). Основное внимание уделим задаче расчета напряжений, так как часть, связанная с расчетом температурных полей, в данной части работы большого интереса не представляет. Поэтому уравнение (1) запишем в виде 02 — з+1ГЬЬги = У(х,1), х б П, 0 <1 < Т, (11) где Ю 1 х = —, .г(*) = — (9- лм ). рй' рй Далее, не ограничивая общности, положим т = 1. Уравнение (11) рассматривается при краевых и начальных условиях (5)-(7) и (9)-(10) соответственно.
Поставленная задача для уравнения (11) решается разностными методами на равномерной прямоугольной сетке в П. Пусть ЛУ=ЕЛ У, Л У=-Уа„., а=1,2 (12) а=~ на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на йи. Уравнению (11) с граничными условиями (5) — (7) поставим (см. п. 10.3) в соответствие дифференциально-разностное уравнение —,+АУ=У(х,г), хеба, 0<1<т, (13) где А = Л, + 2Л1 Лз + й', + р(хз)Е. (14) Сеточная функция р(х,) < 0 обусловлена граничным условиями и определена формулой (12) в п.! 0.3.
Система уравнений (13) дополняется начальными условиями у(х, О) = е (х), х б ы, (15) — (х, 0) = д (х), х б ы. (16) Ф Для дифференциально-разностной задачи (13)-(16) легко получить (задача !) простейшую априорную оценку ! И(х,1)П.'<ее ~ЫхМР+(Аъ,яе)+- е-"61(х,тКС'Ат . (! ) е 530 Втааа 10.
Задачи термоупругасми Из (17) следует устойчивость решения задачи (13)-(1б) по начальным данным и правой части. 10А.З. Схемы е весами т„~1 — 2т„+ т„1 + А(!т1т„„1+ (1 — !т1 — >т2)т„+ азт„1) = 1»> т2 хбит, п=1,2,.... (18) Схема (18) записывается в каноническом виде В +т В +Ау» = Ф»> ч»»1 — т» — 1 2 т»»1 — Ч„+ т»-1 2Т т2 п=1,2,... при В = (>т1 — а2)тА, Я = т Е+ А. (20) Оператор А (см.
(14)) самосопряжен, постоянен и положителен. С учетом (20) можно использовать общие условия (см. п.5.4) устойчивости трехслойных разностных схем 1 В>0, В>-А. 4 (21) Принимая во внимание (14), имеем для оператора А оценку А < 25оЕ + шах р(а2)Е = дЕ. »> (22) В силу (см. (12) в п. 10.3) 2 шах Р(и2) = »> '22 4 4 ~0 + > 122 122' 1 2 получим Р = О(~Ц-4) Первое из неравенств (21) будет выполнено при (23) а! — 1т2 > О. Второе условие (21) с учетом (22) приводит к неравенству 1 2 121+ а'2 > — — —. 2 ртз (24) Для приближенного решения дифференциально-разностной задачи (13) — (16) (для эволюционного уравнения второю порядка) можно использовать схемы с весами, аналогичные приведенным в п.
10.2. Естественно начать с обычных схем с весами. Запишем для уравнения (13) следующую трехслойную разностную схему: 531 10.4. Халебания лласмии Из (23), (24) следует устойчивость явной разностной схемы (18) (а, = аз = 0) при т ( О(1Ь1~). При обычных ограничениях 1 а~ — аз > О, а~ + аз >~ — , 2' схема с весами (18) является абсолютно устойчивой.
10.4.4. Регулярнаованные схемы Реализация неявных схем с весами (18) связана с решением сеточной эллиптической задачи четвертого порядка 1 а~Атем + —,те+~ = 9», т х 6 ы. С этой целью используются прямые или итерационные методы, например, отмеченные в п. 10.3. Более-предпочтительными являются схемы, реализация которых связана с решением обычных эллиптических задач второго порядка. Для их построения привлекается принцип регуляризации. Рассмотрим в качестве исходной явную разностную схему Уен — 2уи + Уп-~ т' + Аре = ги~ хЕы, п=1,2, Она записывается в каноническом виде (19) при Е=т Е.
В=О, Регуляризованную схему построим на основе возмущения оператора Е, т.е. рассмотрим схему В=О, Е=т Е+ой (25) с регуляризатором К. Положим К = (Л')~, Л = Л+(2)нтЬз Е. (26) где Принимая во внимание зс=(Л') > Л +2Ьз Е > Л +р(хз)Е> условие устойчивости (21) регуляризованной схемы (19), (25), (26) будет выполнено при любых шагах по времени т > О, если а > 0,25.
Реализация рассматриваемой регуляризованной схемы связана с решением двух краевых задач с постоянными коэффициентами для эллиптического уравнения второго порядка. 532 Евава 10. Задачи пвермоупругости 10.4.б. Экономичные схемы Отметим возможности построения экономичных схем. Для задачи (13)-(1б) можно строить различные адаптивные схемы. Например, для оператора А, определяемого (14), можно использовать представление А = А2 + А2 + Аз + Ав, где А2 = Лн А2 = 2Л2Л2 (27) Аз = Лам Ав = р(х2)Е.
Ка2Кдый из этих операторов является неотрицательным, и поэтому можно пьпаться подобно эволюционным уравнениям первого порядка (см. п. 6.4) строить соответствующие схемы суммарной аппроксимации. Можно комбинировать операторы Ар,,б = 1,2,3,4, например, использовать расщепление А=А|+Аз, где А2 = Л1 +Лайз, А2 = Л2+Лй2+р(х2)Е. (28) Однако как в случае (27), так и в случае (28) эти аддитивные схемы не будут локально одномерными из-за оператора Л,Л2 (смешанные производные).
Для построения локально одномерных схем можно использовать различные подходы. Принимая во внимание (см. задачу 2 в п. 10.3) следующее неравенство А < 2(Л~ + Л2) + р(хз)Е, (29) построим регуляризованную факторизованную разностную схему (19) с 2 В=О, В=т П(Е+ат Яр), (30) в=1 где я, =л„ 2 (31) ж2 = йз+ Ь2 Е. С учетом (29) и (31) из (30) непосредственно следует Я > т Е+ а~й, + Л2+ — Е) > -А -2 2 2 Р(~2) 2 ) 2 и поэтому (см. (21)) регуляризованная схема (19), (30), (31) будет абсолютно устойчива при а > О, 5.
10.4. Колебания пластин 533 10.4.6. Задачи 1 Задача 1. Докаисите оценку (17) для решении задачи (13) — (16). Решение. Для доказательства (см. также п. 10.2) домножим уравнение (13) скалярно на би/41 и определим норму 1 3 !!р!!.' = д + (Ар, у) Из (13) получим — — !!р!!.= ! У,— ) < — ~ — ~ + —,!!,з!!. 2,И * ( '41( 2~ 41~ 2е Отсюда приходим к оценке ( 1)!!з < м !! ( . О)!!з+ — зги( ' т)!!з дт . (32) 2 1 — гг о Принимая во внимание (15), (16), имеем !!р(х, 0)!!, = !!о (х)!! +(Ао,о ).
(33) Подстановка (33) в (32) и приводит нас к доказываемой оценке (17). ь ! Задача 2. Сформулируйте разностную задачу для определения изгибающего момента 7узт, определяемого согласно (3). Решение. Для приближенного определения температуры воспользуемся разностной схемой +йз(аи„+~+ (1 — а)и„) = О, (34) т где йзи = — киез„ на равномерной сетке шз = (хз ! хз = -0,5Ь+1йз з = 1, 2 . йгз й1зйз = Д) Разностная схема дополняется обычными начальными и граничными условиями, вытекающими из (4) и (8).
Для определения изгибающего момента по формуле (3) на момент времени 1 = 1„.„~ используется простейшая квадратурная формула трапеций: нз Мт = Ф70 ЕМ'+ у' — )Ьз з=| где использованы обозначения Уз(хз) = и„+~(х, хз)хз, ~Р; = 1о( — 0,5й+ злз). 534 131ава 10. Задачи тврмаулругасти 10.5. Библиография и комментарий 10.5.1. Общие замечания 10.1. Математические модели термоупругости рассматриваются как в общих руководствах по теории упругости [4, 5], так и в более специализированных изданиях [1, 3]. При изложении разностных методов лля уравнений термоупругости мы следовали книгам [6, 7], в которых имеется материал по численному решению системы уравнений Ламе.
Итерационные методы излагаются в соответствии с [9]. 10.2. Разностные методы решения нестационарных задач термоупругости исследуются на основе принципа регуляризации. Зтот общий подход в соответствии с [6] применяется для построения факторизованных разностных схем. 10.3. Важнейшим классом задач упругости являются залачи расчета напряженного состояния пластин и оболочек. Здесь рассмотрена простейшая задача термоупругости для плоской прямоугольной пластины. Разностные схемы для приближенного расчета пластин наиболее полно представлены в [7]. Описанные итерационные методы решения краевых задач для модельных задач для эллиптических уравнений четвертого порядка базируются на общей теории итерационных методов решения сеточных уравнений [2,9].
Прямые методы решения сеточных уравнений изложены в книге [9]. Это относится, в частности, и к рассмотренному алгоритму пятиточечной прогонки. 10.4. Нестационарные задачи для уравнения колебания нагретых пластин рассматриваются с общих позиций теории устойчивости разностных схем [6,8] и принципа регуляризации разностных схем. 10.б.2. Литература 1. Боли Б., Узйнер Див. Теория температурных напряжений.
Мл Мир, 1964. 2. Вабишввин Н. Н. Численные методы решения задач со свободной границей. Мл Нза-во МГУ, 1987. 3. Коваленко А.Д. Основы термоулругости. Киев, Наукова думка, 1970. 4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. Мл Наука, 1965. 5. Новацкий В. Теория упругости. Мл Мир, 1975. 6. Самарский А.А. Теория разностных схем. Мл Наука, 1983. 7. Самарский А.А., Андреев В. Б. Разностные методы лля эллиптических уравнений.
Мл Наука, 1976. 8. Самарский А.А., Гулиа А. В. Устойчивость разностных схем. Мл Наука, 1973. 9. Самарский А.А., Никалавв Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Мл Наука, 1978. Глава 11 Задачи управления упепловыми проиессами Важный класс прикладных проблем составляют задачи управления тепловым состоянием исследуемого объекта.
Требуется подобрать управляющие воздействия так, чтобы достичь некоторого эффекта. Мы имеем дело с распределенными системами, так как состояние и описывается уравнением с частными производными (уравнением теплопроводности). Качество управления оценивается квадратичными функционалами качества. В более сложных задачах критерии могут быть другими, их вообще может быть несколько (многокритериальная оптимизация). Основное внимание уделяется задачам без ограничений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
