Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Учет ограничений может проводиться различными способами. В этой связи отметим, например, классический метод штрафа. При изложении основных подходов к приближенному решению задач управления рассматриваются простейшие вариационные задачи, которые приводят к обычным краевым задачам стационарной теплопроводности. Для нахождения приближенного решения используется эквивалентное уравнение Эйлера (условие оптимальности). В общих задачах управления проблема сводится к нахождению градиента функционала на решениях соответствующей краевой задачи.
Решение уравнения Эйлера находится на основе использования итерационных методов. Отмечаются особенности использования таких градиентных методов при рассмотрении задач управления с ограничениями. Типичной проблемой управления в задачах теплообмена является задача термостатирования. Требуется подобрать тепловые источники так, чтобы температура была близка к некоторой заданной (постоянной). Проводится вычисление градиента функционала в различных условиях, формулируется соответствующая разностная задача. Условия оптимальности в задачах оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными, формулируются в виде системы уравнений для исходного и сопряженного состояния.
Обсуждаются итерационные методы решения задачи для этой системы уравнений. На примере задачи термостатирования рассмотрены принципиальные особенности приближенного решения задач управления системами, б42 Вава 12. Обратные задачи теплообмена 12.6,2. Литература 1. Адамар Ж Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. Мл Наука, 1978. 2. Алифаиов О.
М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). Мл Машиностроение, 1979. 3. Агафонов О. М. Обратные задачи теплообмеиа. Мл Машиностроение, 1988. 4. Алифаиав О. М., Артюхии Е.А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. Мл Наука, 1988. 5.
Бакушиисхий А. Б., Гоичарский А. В. Итерационные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 6. Беи Длс., Блакузлл Б., Сене-Клэр гу., мл. Некорректные обратные задачи теплопроводностн. М.: Мир, !989. 7. Вайяикка Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных зааачах. Мл Наука, 1986. 8. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Мл Наука,!981. 9. Иванов В.К., Васин В. В., Таиаиа В.П.
Теория линейных некорректных задач и ее прило:кения. Мл Наука, 1978. !О. Коздоба ХА., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев, Наукова думка, 1982. 1!. Лаврентьев М. М,, Романов В. Г., Шишатский С П. Некоррсктныс задачи математической физики и анализа. Мл Наука, 1980. 12. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. Мл Мир, 1970. 13. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых зааач. Мл Изд-во МГУ, 1987. 14.
Романов В. Г. Обратные задачи математической физики, Мл Наука, 1984. 15. Самарский А.А. Теория разностных схем. Мл Наука, 1983. 16. Самарский А.А., Гулиа А. В. Устойчивость разностных схем. Мл Наука, 1973. 17. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. Мл Наука, 1986.
Глава 13 Примеры чиспенного модеяирования теппофизических процессов В данной части работы рассмотренные ранее численные методы применяются для приближенного решения основных классов задач теплопередачи. При выборе примеров мы придерживались следующих позиций.
Во-первых, примеры должны иллюстрировать возможности описанных алгоритмов. При описании вычислительных алгоритмов мы ориентировали читателя на решение достаточно сложных многомерных прикладных задач. В силу этого здесь мы рассматриваем двумерные задачи тепло- передачи. Во-вторых, примеры решенных задач должны отражать достигнутый уровень численного моделирования. Поэтому предложенные примеры выполнены на достаточно высоком научном уровне„уровне оригинальных научных публикаций. В-третьих, прелложенный набор примеров в сочетании с достаточно подробным описанием вычислительных алгоритмов, структуры программы и приведенный текст программы на ФОРТРАНе могут служить основой самостоятельной работы по усвоению материала, основой вычислительного практикума.
На это ориентированы и сформулированные в конце каждого параграфа задачи. Мы предполагаем, что все это даст возможность более активного усвоения материала. Изложение начинается с постановки задачи, приведению ее к безразмерному виду. Далее строится разностная схема и обсуждается ее программная реализация. После этого приводятся характерные данные расчетов, выполненные на персональном компьютере. Необходимо сделать оговорку относительно представленных программ на ФОРТРАНе. Уровень разработанного программного обеспечения определяется поставленными целями демонстрации возможностей рассматриваемых методов.
Поэтому основное внимание уделяется вопросам наглядности программ в ущерб, быть может, их качеству. При написании программ мы ориентировались на «читаемость» алгоритма по программе. В ряде случаев лля достижения этой цели допуска~~тел повторныг вы пгг:тюпш,~тнцт ц гх жс вглп оо~ ю ~их лприцичв. Пава 13. Примеры численного моделирования попытки оптимизации даже в тех местах, где это для опытного программиста было бы естественным. Никаких специальных попыток оптимизации программ по быстродействию, объему требуемой памяти не делается.
Например, в программах решения систем линейных уравнений не делается попытки оптимизации с использованием того факта, чю при решении нестационарных задач изменяется лишь правая часть системы при неизменной матрице и т. д, 13.1. Стационарная теплопроводность в кусочно-однородном теле 13.1.1. Постановка задачи Рассматриваются процессы теплопередачи в твердом теле прямоугольного сечения Й = (х 1 х = (хп хз), О < х < 1, сг = 1, 2).
Среда предполагается кусочно-однородной. В двух частях области Й' С Й и Йи = Й ~ Й' теплофизические характеристики материала отличаются друг от друга. Пусть (рис. 13.1) = (х! х = (х1> хз)~ 0 < хв < 1„, сг = 1, 2). Процесс считается установившимся, и поэтому тепловое состояние описывается следующим стационарным уравнением теплопроводности: д г' да~ — — ~а(х) — ) = О, х б Й.
, дх. (, д*.,г' В рассматриваемом случае коэффициент теплопроводности 1с(х) является кусочно-постоянным: 1(х) = ( ио х 6 Й", х Е Й'. (2) 0 < хз < 1з (5) Верхняя и нижняя границы предполагаются теплоизолированными, т.е. выполнены однородные граничные условия второго рода: да 1с — =О, 0<х~ <1п хг=0,1п (3) дхз Левая граница поддерживается при постоянной температуре дв, т. е.
а(О,хз) =до 0 < хз < 1м (4) На правой боковой границе осуществляется конвективный теплообмен (коэффициент конвективного теплобмена о) со средой, которая имеет температуру д~ — — сопзг: да й — + о(а — д~) = О, дз'. 13.1. Снгаиионарная нгеллонроводноснгь в кусочно-однородном нгеле 645 На границе двух материалов Я (Я = дй' гз дй") предполагается идеальный тепловой контакт, т.е. непрерывны температура и тепловой поток. Такие условия естественны для уравяг пения (!) с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности (2), !г т. е.
непосредственно следуют из уравнения теплопроводности. В силу этого условия идеального сопряжения явно не выписываются. Уравнение (1), (2), дополненное краевыми условиями (3)-(5) полностью определяет стационарное температурное поле в кусочно-однородном теле прямоугольного сечения й с включением й'. Рис. 13.1 й,', а1~ к= —, В1= —. (б) но ко Приведем формулировку задачи (!)-(5) в безразмерных переменных.
Задача рассматривается в прямоугольнике й с 1, = 1. Уравнение теплопроводности имеет вид (!) при 1, хайя, !г(х) = к, хай~. (7) Граничные условия (3) остаются, а (4), (5) принимают вил О < хг < 1г, (В) в(0, хг) = О, ди — +В!(в — 1)=0, х,=1, 0<хг<!г. (9) дх~ Далее мы рассмотрим вопросы численного решения задачи (1), (3), (7) — (9) в безразмерных переменных, которая характеризуется двумя основными -зозмстпамп !О 13.1.2. Задача в безразмерных переменных Для численного исследования поставленной задачи (1) — (5) сформулируем задачу в безразмерных переменных. Будем использовать для безразмерных переменных те же обозначения, что и дня размерных.
В качестве линейного размера возьмем величину !и коэффициента теплопроводности — !гь. Пусть д, > дь (контакт с более нагретой окружающей средой). Безразмерную температуру определим отношением (в — дь)/(д~ — дь). Задача помимо линейных размеров (!(, !г, !г) будет характеризоваться величиной отношения коэффициентов теплопроводности к и числом Био Вй 13.1.3. Разноетиая задача В й введем прямоугольную сетку й с шагами Ь~ и Ьз.
Уравнение (1) во внутренних узлах аппроксимнруется разностным уравнением — ~ (а у:;-.),. = О, х Е ы. (10) и=! Принимая во внимание разрывность коэффициентов теплопроводности, для сеточных функций а,а = 1,2, будем использовать следующие выражения а~(хо хз) = Ь,(х~ — 0,5Ьн хз), (11) аз(хн хз) = Ьз(хн хз — 0,5Ьт), где 1 Ь~(хн хз) = — (Ь(хн хз — О 5Ьз) + Ь(хн хз+ О 5Ьз)), (12) 1 Ьз(хн хз) = — (Ь(х, — 0,5Ьо хт) + Ь(х~ + 0,5Ь!, хз)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
