Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Разностные схемы в естественных переменных рассматриваются, например, в [1, 8, 17]. Переменные Мизеса наиболее полно представлены в книге [19]. 9.8.2. Литература 1. Андерсон Д, Таланкина Двс., Пленччер Р. Вычислительная гилролинамнка и теплообмсн. Мс Мнр, 1990. 2. Берковский Б. М., Поле«иное В. К. Вычислительный эксперимента конвекции. Минск: Университетское, ! 988. 3. Булееа П. П. Пространствсннан модель турбулентного обмена. Мс Наука, 1989. 4.
Вабии1«аич П. П. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. Мз Изд-во МГУ, 1991. 5. Ладылсенскаа О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Мс Наука, 1970. б. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Мс Наука, 1989. 7. Математическое моделирование коивсктявиого тспломассообмена иа основе уравнений Навьс — Стокса / В. И. Полежаев, А. В. Буна, Н.
А. Всризуб и др. Мс Наука, 1987, 8. Па«конон В. М, Повел«а«а В. П., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и мвссссбмеиа. Мз Наука, 1984. 9. Па»нанкар С. Численные методы решения такач тспнообмсна н динамики :кидкости. Мс Энсгроатомнзлат, 1984. 10. Роуч П. Вычислительная гидролинамика.
Мс Мнр, 1980. ! 1. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. Мс Наука, 1971. 9.8. Библиография и комнептарий 503 12, Самарский А.А. Теория разностных схем. Мл Наука, 1983. 13. бггмаггй!! А. А., УаЫзйсйе»!сй Р. К., Д!е» О, Р., Сйигйапо» А. О. !Чошепса! в!шо!айоп о! соп»есг!оп/й!йюоп рйазе сйапйе ргоЫешв — а ге»!е»г // 1п!. 5. Неаг Маза Тгапзгег. 1993. Ч. 36, 17. 4095-4106. 14. Самарский А.А., Г!глип А.
Я. Устойчивость разностных схем. Мл Наука, !973. 15. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Мл Наука, 1978. 16. 7ймам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анелин Мл Мир, 1981. !7. Флеш»ар К Вычислительные методы в динамике жидкостей. Мл Мнр, 1991. !8. Хейгемап'Л., ЯпгД. Прикладные итерационные методы. Мл Мир, 1986. 19. Ши Д.
Численные методы в задачах теплообмена. Мл Мир, 1988. 20. Шлкктинг Г. Теория пограничного слоя. Мл Наука, !969. Глава 10 Задачи термоупругости При изменении температуры происходит объемное расширение или сжатие твердого тела. Неравномерный нагрев приводит к возникновению внутренних напряжений, к деформированию твердого тела. Задачи такого класса имеют важное прикладное значение в технике. Здесь обсуждаются простейшие постановки задач расчета термоупругих напряжений и разностные методы их приближенного решения. Рассматриваются двумерные задачи стационарной термоупругости, когда для описания напряжений используется система уравнений Ламе в смещениях.
Исследуются свойства разностной задачи и особенности ее решения. Итерационные методы строятся на основе принципа регуляризации с использованием оператора Лапласа. Для динамических задач используется нестационарная система уравнений Ламе, которая является гиперболической.
Отмечаются особенности построения разностных схем для таких задач, исследование устойчивости ведется на основе общей теории устойчивости трехслойных разностных схем. Особенный интерес представляют проблемы построения экономичных схем для таких задач. Второй класс прикладных проблем термоупругости связан с пластинами и оболочками. Мы обсуждаем простейшие задачи для плоской пластины прямоугольного сечения. Рассматриваются отдельно стационарные и динамические задачи. Особый интерес представяяют методы решения соответствующих краевых задач для эллиптических уравнений четвертого порядка, к которым сводятся стационарные задачи термоупругости для пластин, Рассмотрены адаптивные разностные схемы для нестационарных задач.
Отдельного внимания заслуживают задачи термоупругости в других переменных. В частности, плоские задачи исследуются на основе введения функции Эйри. Следует заметить, что мы приводим лишь некоторые простейшие базовые задачи термоупругости. Другие более сложные модели можно найти в руководствах по теории упругости. 10.1. Равновесие нагретого упругого тела 505 10.1.
Равновесие нагретого упругого тела 10.1.1. Плоская задача Рассмотрим напряженное состояние твердого упругого изотропного тела с прямоугольным сечением й. Деформации предполагаются плоскими, и поэтому для перемещений т = (эн эг), э (х) = э (хн хз), а = 1, 2 выполнены (см. и. 2.б) уравнения Ламе РЬт+(Л+р)йгас1 Мчт — удгабв+Г=О, х б й, (1) где Л и р — постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды, 7 = (ЗЛ + 2р)а, а — коэффициент линейного расширения, 1 — вектор объемных сил.
В уравнении (1) Ь вЂ” оператор Лапласа, т. е. г дз аэ = ~~> , дх~ Стационарное тепловое поле однородного тела описывается уравнением (внутренние источники тепла отсутствуют) ггв=О, хбй. (2) Дополним систему уравнений (1), (2) простейшими граничными условиями. Будем считать, что на границе поддерживается заданный температурный режим и заданы перемещения, что позволяет граничные условия сформулировать в виде т(х) = й(х), х б дй, (3) э(х) = д(х), х Е дй. (4) Уравнение (1) для перемещений в отдельных направлениях записывается в виде системы уравнений дзэ дг„ д2 д (Л+ 2р) — + 1г — + (Л + р) — 7 — + ~~ —— О, (5) дх, дхг дх~ д э2 д эг д дэ р —., + (Л+ 2р) — г + (Л+ р) — у — + $з = О, (6) дхг дх2 дх~ дхг дхт хай.
Система уравнений (5), (б) характеризуется тем, что неизвестные э (х), а = 1, 2 входят в оба уравнения. Определим на множестве вектор-функций и, равных нулю на д й, оператор Хи = — ран — (Л+,и) йгаб О1т и, х б й. Пусть Нг = Н Ю Н, Н = Хз(й), тогда непосредственными выкладками убеждаемся, что (Ьи,т) = (и, Ьт), ймва 10. Задача глермоулругосчи т.е. оператор Ь самосопряжен. Кроме того имеем (Хч, ч) — 2И вЂ” + — + Л вЂ” + — дх, (7) и поэтому Х > 0 в силу того, что Л и р положительны. Покажем энергетическую эквивалентность оператора г и оператора Лапласа Ь, т.
е. справедливость оценки (8) с1(-йч,ч) < (гч,ч) < сг( — дч,ч). Учитывая, что и имеет место равенство из (7) получим ".=Й Уй)' ( —:::Л" ( (дв| дгог к кт + (Л + р) ( ( — + — ~ Нх ) гг (- гь ч, ч), р ~,дх~ дхг т.е. в (8) с~ — — р, Аналогично 507 1О.1. Равновесие пагревого упругого вела +(Л+И) 2 + ' Их < ~о-~лг'/[( — ') ~ ( — ') ) ~*, и поэтому сг = Л + 2р в неравенстве (8). Для дискретных аналогов оценки типа (8) позволяют строить регуляризованные итерационные методы на основе разностного оператора Лапласа.
10.1.2. Разностная схема При построении разностной схемы для задачи термоупругости (1) — (4) будем исходить из системы уравнений (5), (6). В прямоугольнике П вводится обычная равномерная по каждому направлению разностная сетка ы. Для аппроксимации смешанных производных в (5), (6) используются аппроксимации второго порядка, которые рассмотрены в п.4.2. Сохраним за разностными величинами те же обозначения, что и за дифференциальными. Тогда системе уравнений (5), (6) ставится в соответствие разностная система уравнений Л+р ("+20)(о~)хоп+>4(оь)гни+ — ((оз)эап+(ог)вг,) — 7нг, + Уь — — О> (9) л+р И(оз)гв + (Л+ 2И)(оз)хне + ((о~)гмг+ (о~)ед) 7вг + Уз = О, (1О) хна>.
Для уравнения теплопроводности (2) имеем (11) Аппраксимируем краевые условия (3), (4) простейшим образом: о (х) = д (х), х Е ды, а = 1, 2, (12) н(х) = у(х), х Е ды. (13) Неоднородные краевые условия обычным образом включаются в правую часть. Поэтому вместо разностной задачи (9)-(13) будем рассматривать задачу (14) Ат+ 6н = е', х 6 и, Ан=р, хЕы (15) на множестве сеточных функций, обрашаюшихся в нуль на ды.
В соответствии с (9), (10) имеем ~и =(7нга 7™У,), а А — разностный оператор Лапласа. 508 17иава 10. Задачи термоулругости 10.1.3. Сходимость рааиоетиой схемы Рассмотрим более подробно свойства разностного оператора задачи упругости Л. Пусть Нз = Н ш Н, скалярное произведение в Н определяется обычным образом: (а, е) = ~ а(х)в(х)Ь|йь С учетом (9), (10) имеем Л+д — (Лт)1 = (Л+ 2р)(в1)аии + Ф(е~);,„+ — ((т1)а„, + (тч) 00), (17) Л+р — (Лт)з = р(ез)з„, + (Л+ 2р)(ез)з,,г+ ((е~)ам + (и~)мз,) (18) На основании разностных формул интегрирования по частям (см. п.4.4) непосредственными выкладками убеждаемся в самосопряженности оператора Л: (Лт, чт) = (т, Ли).
(! 9) Из (17), (18) нетрудно получить и следуюшую оценку энергетической эквивалентности (задача 1) р(Ат, т) < (Лт, т) < (Л + 21з)(Ат, т). (20) Тем самым, разностный оператор Л наследует основные свойства дифференциального оператора упругости Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
